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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第7章 第1节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图


第一节

空间几何体的结构特 征及三视图和直观图

[主干知识梳理] 一、多面体的结构特征 多面体 棱柱 结构特征 有两个面 互相平行 ,其余各面都是四边形,并且每 相邻两个面的交线都 平行且相等

棱锥

有一个面是 多边形 ,而其余各面都是有一个公共顶点 的 三角形 棱锥被平行于 底面 的平

面所截, 截面 和 底面之间的部分

棱台

二、旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 任一边 所在的直线

圆柱
圆锥

矩形

直角三角形 一条直角边 所在的直线

圆台


直角梯形
半圆

垂直于底边的腰所在的直线

直径 所在的直线

三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何 体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而 成,有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋 转体的组合体.

四、平行投影与直观图

空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画,其规则是:
1.原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的 夹角为 垂直 . 2.原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍 平行于坐标轴 . 45°(或135° ) z′轴与x′轴和y′轴所在平面 ,

平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ,平行
于y轴的线段长度在直观图中 变为原来的一半 .

五、三视图 几何体的三视图包括 正视图 、 侧视图 、 俯视图 ,分

别是从几何体的 正前方 、 正左方 、 正上方 观察几何
体画出的轮廓线.

[基础自测自评]

1.(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中,正确
的是 ( A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 )

C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 A [B中正方体的放置方向不明,不正确.C中三视图不 全是正三角形.D中俯视图是两个同心圆.]

2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则
这个几何体一定是 ( A.圆柱 C.球体 B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 )

C [当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩 形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.]

3.下列三种叙述,其中正确的有

(
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是 棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是 棱台;

)

③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面
体是棱台.

A.0个 C.2个

B.1个 D.3个

A [①中的平面不一定平行于底面,故①错.②③可用下图
反例检验,故②③不正确.]

4.(教材习题改编)利用斜二测画法得到的: ①正方形的直观图一定是菱形; ②菱形的直观图一定是菱形;

③三角形的直观图一定是三角形.
以上结论正确的是________. 解析 ①中其直观图是一般的平行四边形,②菱形的直 观图不一定是菱形,③正确. 答案 ③

5.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与

侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为______.

解析 由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所 示,所以该几何体的俯视图为③.

答案 ③

[关键要点点拨] 1.正棱柱与正棱锥

(1)底面是正多边形的直棱柱,叫正棱柱,注意正棱柱中
“正”字包含两层含义:①侧棱垂直于底面;②底面是 正多边形. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形 的中心的棱锥叫正棱锥,注意正棱锥中“正”字包含两

层含义:①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的
中心,②底面是正多边形,特别地,各棱均相等的正三 棱锥叫正四面体.

2.对三视图的认识及三视图画法

(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平
面上的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的侧 面表示的图形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线 和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线.

(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的
正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的 轮廓线.

3.对斜二测画法的认识及直观图的画法 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段, “平行于 x 轴 的线段平行性不变, 长度不变; 平行于 y 轴的线段平行性不变, 长度减半. ” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图, 其面积与原图形 的面积有以下关系: 2 S 直观图= S 原图形,S 原图形=2 2S 直观图. 4

空间几何体的结构特征 [典题导入] 下列结论正确的是 A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转 轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可 能是六棱锥 ( )

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

[听课记录]

A错误,如图1是由两个相同的

三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个
面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误, 如图2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC

是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的
几何体都不是圆锥; 图1

图2

C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易

证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.
答案 D

[规律方法] 解决此类题目要准确理解几何体的定义,把握几何体的结构

特征,并会通过反例对概念进行辨析.举反例时可利用最熟
悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱 台等,也可利用它们的组合体去判断.

[跟踪训练]

1.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱
锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,假命题是 ( A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 )

C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

B [如图,等腰四棱锥的侧棱均相等,

其侧棱在底面的射影也相等,则其腰
与底面所成角相等,即A正确;底面四 边形必有一个外接圆,即C正确;在高 线上可以找到一个点O,使得该点到四 棱锥各个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即D

正确;但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为
正四棱锥则成立).故仅命题B为假命题.]

几何体的三视图

[典题导入]
(2013·新课标全国Ⅱ高考)一个四面体的顶点在空间 直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0, 1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为

(

)

[听课记录] 如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz

的图象为

则它在平面zOx上的投影即正视图为 答案 A

, 故选A.

[规律方法] 三视图的长度特征 三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,

侧视图和俯视图一样宽,即“长对正,宽相等,高平齐”.
[注意] 画三视图时,要注意虚、实线的区别.

[跟踪训练]
2.(1)(2014·东莞调研)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所 示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图 可能为 ( )

B [由三视图间的关系,易知其侧视图是一个底边为,高为 2的直角三角形,故选B.]

(2)(2014·烟台适应性一)如图,三棱柱的侧棱长为2,底面是 边长为2的正三角形,AA1⊥平面A1B1C1,正视图是边长为2 的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为______.

解析 该几何体的左视图的面积等于 3×2=2 3. 答案 2 3

几何体的直观图 [典题导入] 已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求 原△ABC的面积. [听课记录] 建立如图所示的坐标系xOy′, △A′B′C′的顶点C′在y′轴上,A′B′

边在x轴上,
把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴, 则点C′变为点C,且OC=2OC′,A,B点

即为A′,B′点,长度不变.

已知 A′B′=A′C′=a,在△ OA′C′中, 由正弦定理得 OC′ A′C′ = , sin∠OA′C′ sin 45° sin 120° 6 所以 OC′= a= a, sin 45° 2 所以原三角形 ABC 的高 OC= 6a. 1 6 2 所以 S△ ABC= × a× 6a= a . 2 2

[互动探究]

若将本例中△A′B′C′的边长为a改为△ABC的边长为a,求原
△ABC的面积改为求直观图△A′B′C′的面积,结果如何? 解析 如图所示的实际图形和直观图.

1 3 由图可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a, 2 4 2 6 在图中作 C′D′⊥A′B′于 D′,则 C′D′= O′C′= a. 2 8 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′= A′B′·C′D′= ×a× a= a . 2 2 8 16

[规律方法] 用斜二测画法画几何体的直观图时,要注意原图形与直观图中的 “三变、三不变” . ?坐标轴的夹角改变, ? “三变”?与y轴平行线段的长度改变, ?图形改变; ? ?平行性不变, ? “三不变”?与x轴平行的线段长度不变, ?相对位置不变. ?

[跟踪训练] 3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°, 腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是 ( A.2+ 2 1+ 2 B. 2 2+ 2 C. 2 D.1+ 2 )

A [恢复后的原图形为一直角梯形 1 S= (1+ 2+1)×2=2+ 2.] 2

【创新探究】 三视图识图不准致误 (2012·高考湖南卷)某几何体的 正视图和侧视图均如图所示,则该几何

体的俯视图不可能是
( )

【思路导析】 根据几何体三视图之间的关系用排除法求解.

【解析】 由“正视图与俯视图等长,侧视图与俯视图等

宽”,知该几何体正视图与侧视图相同,而D项中正视图与
侧视图不同,可知选D. 【答案】 D

【高手支招】

1.掌握三视图的确定方法,能准确熟练地判

断几何体的三视图. 2.三视图,关键在“视”.要弄清楚“怎么视”,“从何

角度视”,“看”到的“平面”图形是什么.
3.三视图考查的是想象能力,必须能想象出几何体在垂直 光线照射下的投影.

[体验高考] 1.(理)(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则

该几何体的直观图可以是
( )

D [由三视图可知该几何体为一个上部为圆台,下部为图柱 的组合体,故选D.]

1.(文)(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则 该几何体可以是

(

)

A.棱柱
C.圆柱

B.棱台
D.圆台

D

[从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆,正

视图与侧视图为等腰梯形,故此几何体为圆台.]

2.(2013· 湖南高考)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积 为 1 的正方形, 侧视图是一个面积为 2的矩形, 则该正方体的 正视图的面积等于 ( 3 A. 2 2+1 C. 2 B.1 D. 2 )

D [由已知,正方体的正视图与侧视图都是长为 2,宽为 1 的 矩形,所以正视图的面积等于侧视图的面积,为 2.]

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