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22.2.2平面与平面平行的判定


2.2.2平面与平面平行的判定

1.线面平行的判定定理

2、空间两平面的位置关系有哪些?
位置关系 图形语言
两平面平行
?
?

符号语言

公共点个数


? // ?
?

两平面相交

r />
?

a

??? ?a

一条公共直线

思考:三角板的一条边所 在直线与桌面平行,这个三 角板所在平面与桌面平行吗? ?

β

思考:三角板的两条边所在直线分别与桌 面平行,三角板所在平面与桌面平行吗?
β

?

思考:通过以上实验,是否能得出平面α内有 两条直线平行于平面β,那么平面α与平面β 就一定平行?
α
A1 E D1 B1 C1

D F
A

β
C

B

平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行。

a?? ? ? b?? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? ? a // ? ? b // ? ? ?
线面平行

b
β α P a

α∥ β

面面平行 ?

推论: 如果一个平 面内有两条相交直 线分别平行于另一 个平面内的两条直 线,那么这两个平 面平行. p pp

a α

p

b

β

基础尝试性练习 判断下列命题是否正确:
( )1、如果一个平面内有两条直线平行于另一个

平面,那么这两个平面平行;
( ) 2、如果一个平面内有两条不平行的直线都平

行于另一个平面,那么这两个平面平行;
( )3、如果一个平面内有无数条直线分别平行于

另一个平面,那么这两个平面平行;
( )4、如果一个平面内任意一条直线都平行于另

一个平面,那么这两个平面平行.

定理的理解:
2、平面和平面平行的条件可以是( D,F,G)
(A) ? 内有无数多条直线都与 ? 平行 (B)直线 a // ? , a // ? , (C)直线 a ? ?,直线 b ? ?,且a // ? , b // ?

? 内的任何一条直线都与? 平行 (D)
(E)平面 ? 内不共线的三点到 (F)

? ? // r ,

?

的距离相等

// r.

(G) α⊥AA’,β⊥AA’

理论迁移 例1 在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证:平面AB′D′∥平面BC′D.
D′
A′ B′

C′

D
A B

C

定理应用

已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M , N , E , F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点, 求证:平面AMN∥平面EFDB
N A1 D1 M D A

F
B1

C1 E

C

B

证明:连接B1D1 ,MF
? M,N,E,F分别是棱A1 B1 , A1 D 1 , B1C1 , C1 D1的中点, ∴MN∥B1D1 B1D1∥EF ∴MN∥EF N D1 F

C1 E

又? MN ? 平面DBEF, EF ? 平面DBEF A
MN∥平面BDFE
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
?

1

M D

B1

MF∥A1D1, A1D1∥AD∴ MF∥AD AM ∥DF

且MF=A1D1= AD ? ADFM为平行四边行,

A

C B

又 ? AM ? 平面DBEF 又 ? DF ? 平面DBEF

∴ AM∥平面DBEF 又AM ? MN=M ∴平面AMN∥平面EFDB

定理应用
拓展探究
如图,ABCD和ABEF均为正方形,M、N分别 是对角线AC、BF上的一点,且AM=FN,如果 过 MN 作一平面平行于平面 BCE ,应该怎样画 线? D C
D C M A

M
A G N F B E

G
N F

B
E

新知识总结
通过这节课的学习,你觉得掌握了哪 些知识和方法?有哪些体会?
平面和平面平行的判定方法: 线面平行 面面平行 ?

如右图,B为△ADC所在平面外一点,

M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心,
求证:平面GMN∥平面ACD.

B

A

M

N G
D

C

证明:连接B1D1 ,MF ? M,N,E,F分别是棱A1 B1 , A1 D 1 , B1C1 , C1 D1的中点, ? MN ? B1D1 EF ? B1D1则MN ? EF 又 ? MN ? 平面DBEF , EF ? 平面DBEF ? MN ? 平面DBEF

D F C1 1 N E A B 1 M
1

D

A

C

B

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,MF ? A1D1 AD ? A1D1 ? MF ? AD ? ADFF 为平行四边行, ? AM ? DF 又 ? AM ? 平面DBEF 又 ? DF ? 平面DBEF AM ? 平面DBEF 又AM ? MN=M ? 平面AMN ? 平面DBEF

例2 在三棱锥P-ABC中,点D、E、F分别 是△PAB、△PBC、△PAC的重心,求证: 平面DEF//平面ABC.
P F A D M E C

N B

已知: a ?? , b ??

a∩ b?P a // ? , b // ?
证明:用反证法证明. 假设 ? ? ? ? c .

求证:

? // ?

? a // ? , a ? ? ,

? a // c

同理 b // c ,

? a // b
这与题设a 和 b是相交直线是矛盾的.

? ? // ?


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