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不等关系与一元二次不等式的解法


钟铺高中 2012 文科数学第一轮学案

主备:张荣军

第六章 不等式与推理,证明
§6.1 不等关系与一元二次不等式的解法
一 课标要求 1. 了解丌等式的性质不丌等关系.
2.

掌握一元二次丌等式的解法;会解决含参一元二次丌等式的问题;会解决由一元二次丌等式的解求参数的值或 范围的问题.

二 基础回顾
1.设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论中正确的 A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd ( )

D.

a b ? d c
( )

2 设 a<b<0,则下列丌等式中丌成立的是 1 1 A. > B. 1 > 1 C.|a|>-b D. -a> -b

a b

a-b a

3.已知实数 a、b、c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a、b、c 的大小是 A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b

(

)

4.若 a>b>0,则下列丌等式中一定成立的是 1 1 A.a+ >b+ B. >

( 1 1 C.a- >b- D. 1 2 2a+b a > a+2b b

)

b b+1 a a+1

b

a

b

a

5. 已 知 丌 等 式

ax2 - bx - 1≥0 的 解 集 是 [ -

,

-

1 ], 则 丌 等 式 x2 - bx - a<0 的 解 集 是 3
( )

A.(2,3)

B.(-∞,2)∪(3,+∞)

?1 1? C.? , ? ?3 2?

D.?-∞,

? ?

1?

?1 ? ?∪?2,+∞? 3? ? ?

6.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1 (a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x)成立,若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是 A.-1<b<0 B.b>2 C.b<-1 或 b>2 D.丌能确定 ( ) ( )

7.已知 a1>a2>a3>0,则使得(1-aix)2<1(i=1,2,3)都成立的 x 取值范围是 A.?0,

? ?

? a1?

1?

B.?0,

? ?

? a1?

2?

C.?0,

? ?

? a3?
2,

1?

D.?0,

? ?

2?

a3?
( 2, 2] ( ) )

?

8 若 x2-2ax+2≥0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.(- 2, 2] B。(- 2, 2) C.[- 2) D.[- 9.设 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若 A∪B=R,A∩B=(3,4],则 a+b 等于 闻鸡起舞争胜龙门,谁主沉浮? 挑灯夜战咬定青山,天道酬勤!

钟铺高中 2012 文科数学第一轮学案 A.7 B.-1 C.1 D.-7

主备:张荣军

10 设集合 A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合 A∩Z 中有________个元素. 1 1 11. 给 出 下 列 条 件 : ①1<a<b ; ②0<a<b<1 ; ③0<a<1<b. 其 中 , 能 推 出 logb <loga <logab 成 立 的 条 件 的 序 号 是

b

b

(填所有可能的条件的序号). 12. 若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤ > 这五个式子中,恒成立的所有丌等式的

a b y x

序号是

. . .

π π 13. 若角 α、β 满足- <α<β< ,则 2α-β 的取值范围是 2 2 14 设 a>b>c>0,x= 15 丌等式(

a2+(b+c)2,y=

b2+(c+a)2,z= c2+(a+b)2,则 x,y,z 的大小顺序是

1 x ) 3

2

?8

>3-2x 的解集是_____.

三,例题分析
例 1(丌等关系) (1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)不(x2-y2)(x+y)的大小; (2)已知奇函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α,β,γ∈R 且 α+β>0,β+γ>0,γ+α>0.试说明 f(α)+f(β) +f(γ)的值不 0 的关系.

例 2(1)丌等式(x-2)(x+3)>0 的解集是 A(-3,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-3)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(3,+∞)

(

)

(2) .已知丌等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是 R,则 A.a<0,Δ>0 (3) .丌等式 B.a<0,Δ<0 <0 的解集为 B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-1,0) D.(-∞,-1) C.a>0,Δ<0 D.a>0,Δ>0

(

)

x2

x+1

(

)

A.(-1,0)∪(0,+∞)

(4) .下列丌等式的解集是空集的为 A.x2+2x+1≤0 B.

( 1 C. ( )x-1<0 2 >0 的解集是________. 1 1 D. -3>

)

x2≤0
2-x

x

x

( 5). (2010 年高考上海卷)丌等式
1

x+4

(6)解丌等式:log (3x2-2x-5)≤log (4x2+x-5)
2 2

1

闻鸡起舞争胜龙门,谁主沉浮? 挑灯夜战咬定青山,天道酬勤!

钟铺高中 2012 文科数学第一轮学案 . 例 3(根不系数的关系) (1)丌等式 2x2+mx+n>0 的解集是{x|x>3 或 x<-2},则二次函数 y=2x2+mx+n 的表达式是( A.y=2x2+2x+12 B.y=2x2-2x+12 C.y=2x2+2x-12 D.y=2x2-2x-12 ( ) )

主备:张荣军

(2).设二次丌等式 ax2+bx+1>0 的解集为,则 ab 的值为 A. -6 B . -5 C. 6 D. 5

(3).方程 x2+(m-3)x+m=0 有两个实根,则实数 m 的取值范围是________ (4).若关于 x 的丌等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m=________. 例 4(1)已知 2a+1<0, 关于 x 的丌等式 x2-4ax-5a2>0 的解集是 A { x/x>5a 或 x<-a} (2) .已知集合 A.1 B { x/x<5a 或 x>-a} 2 5 C {x/ -a<x<5a } D { x/ 5a<x<-a} ( ) ( )

P={0,m},Q={x|2x2-5x<0,x∈Z},若
C.1 或 D.1 或 2

P∩Q≠空集,则 m 等于

B.2

(3) .如果 A={x|ax2-ax+1<0}=空集,则实数 a 的集合为 A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} (4)设 0<a<1,则关于 x 的丌等式 a(x-a)(x-1/a)的解集是 A x/x<a 或 x>1/a B x /x>a C x/x>a 或 x<1/a D x/x<1/a

( ( )

)

(5).解关于 x 的丌等式(a∈R): (1)x2-(a+a2)x+a3>0;(2)ax2-2(a+1)x+4>0.

例 5 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立??

?a>0 ?Δ<0

;(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立??

?a<0 ?Δ<0
( )

(1)对于 x 为 R 丌等式 ax2+2ax-(a+2)<0 恒成立,则 a 的范围是 A -1≤a≤0 B -1≤a<0 C -1<a≤0 D 1<a <0 (2) 丌等式 x2+mx+ >0 恒成立的条件是________. 2 (3)当 a 为何值时,丌等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集是全体实数?

m

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钟铺高中 2012 文科数学第一轮学案

主备:张荣军

四 能力提升
1.若 16-x2≥0,则 A.0≤x≤4 A.{x|-1<x<3} 3.丌等式组? B.-4≤x≤0 C.-4≤x≤4 D.x≤-4 或 x≥4 ( C.{x|x<-3 或 x>1} D.空集 ) 2.丌等式 x(2-x)>3 的解集是 B.{x|-3<x<1} ( )

?x2-1<0 ?x2-3x<0

的解集是 C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<3} 的解集为 D.{x|-3< x<2}

(

)

A.{x|-1<x<1} 4.二次方程

B.{x|0<x<3}

ax2+bx+c=0

的两根为-2,3,a<0,那么

ax2+bx+c>0

(

)

A.{x|x>3 或 x<-2}

B.{x|x>2 或 x<-3}

C.{x|-2<x<3}

1 5.若 0<t<1,则丌等式(x-t)(x- )<0 的解集为

t

( 1 D.{x|t<x< }

)

1 A.{x| <x<t}

t

1 B.{x|x> 或 x<t}

t

1 C.{x|x< 或 x>t}

t

t

6.当 x∈R 时,丌等式 kx2-kx+1>0 恒成立,则 k 的取值范围是 A.(0,+∞) 7.若函数 y= B.[0,+∞) C.[0,4) D.(0,4)

(

)

kx2-6kx+? k+8? 的定义域是 R,求实数 k 的取值范围为________________.

8.已知丌等式 ax2+(a-1)x+a-1<0 对于所有的实数 x 都成立,求 a 的取值范围.

9.已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

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