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高中数学高考总复习双曲线习题及详解


高考总复习

高中数学高考总复习双曲线习题及详解
一、选择题 1.(文)(2010· 山东潍坊)已知焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是 y=± 4x,则该双曲 线的离心率是 ( A. 17 C. 17 4 ) B. 15 D. 15 4

[答案] C y2 x2 a a2 17 [解析] 设双曲线方程为 2- 2=1,则由题

意得, =4,∴ 2 =16,∴e= . a b b 4 c -a2 x2 y2 (理)(2010· 河北唐山)过双曲线 2- 2=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰 a b 在线段 OF(O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为( A.2 C. 2 [答案] C [解析] 如图,FM⊥l,垂足为 M, B. 5 D. 3 )

∵M 在 OF 的中垂线上, ∴△OFM 为等腰直角三角形,∴∠MOF=45° , b 即 =1,∴e= 2. a 2.(2010· 全国Ⅰ文)已知 F1、F2 为双曲线 C?x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ∠F1PF2=60° ,则|PF1|· 2|=( |PF A.2 C.6 [答案] B [解析] 在△F1PF2 中,由余弦定理 cos60° = |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1|· 2| |PF ) B.4 D.8

含详解答案

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= =

?|PF1|-|PF2|?2-|F1F2|2+2|PF1|· 2| |PF 2|PF1|· 2| |PF 4a2-4c2 -2b2 +1= +1, 2|PF1||PF2| |PF1|· 2| |PF

∵b=1,∴|PF1|· 2|=4. |PF 3. (文)(2010· 合肥市)中心在原点, 对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆(x-2)2 +y2=1 都相切,则双曲线 C 的离心率是( 2 3 A. 或2 3 C. 3或 6 2 )

B.2 或 3 2 3 6 D. 或 3 2

[答案] A c2-a2 1 b 1 c 2 3 [解析] 焦点在 x 轴上时,由条件知 = ,∴ 2 = ,∴e= = ,同理,焦点 a a 3 a 3 3 b 在 y 轴上时, = 3,此时 e=2. a x2 y2 (理)已知 F1、 2 是双曲线 2- 2=1(a>0, F b>0)的两个焦点, 以线段 F1F2 为边作正△MF1F2, a b 若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1 )

[答案] D [解析] 设线段 MF1 的中点为 P,由已知△F1PF2 为有一锐角为 60° 的直角三角形, ∴|PF1|、|PF2|的长度分别为 c 和 3c. 由双曲线的定义知:( 3-1)c=2a, ∴e= 2 = 3+1. 3-1

x2 y2 x2 y2 4.已知椭圆 2+ 2=1 和双曲线 2- 2=1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方 3m 5n 2m 3n 程为( ) 15 y 2 B.y=± 15 x 2

A.x=±

3 C.x=± y 4 [答案] D

3 D.y=± x 4

[解析] 由题意 c2=3m2-5n2=2m2+3n2, ∴m2=8n2,
含详解答案

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∴双曲线渐近线的斜率 k=± 3 方程为 y=± x. 4

3|n| 3 =± . 4 2|m|

x2 y2 5.(文)(2010· 湖南师大附中模拟)已知双曲线 - =1,直线 l 过其左焦点 F1,交双曲 m 7 线左支于 A、B 两点,且|AB|=4,F2 为双曲线的右焦点,△ABF2 的周长为 20,则 m 的值为 ( ) A.8 C.16 [答案] B [解析] 由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20,又|AB|=4,则|AF2|+|BF2|=16. 据双曲线定义,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以 4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)= 16-4=12,即 a=3,所以 m=a2=9,故选 B. m m (理)(2010· 辽宁锦州)△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B?- 2 ,0?,C? 2 ,0?(其中 ? ? ? ? 1 m>0,且 m 为常数),且满足条件 sinC-sinB= sinA,则动点 A 的轨迹方程为( 2 16y2 16x2 A. 2 - 2 =1 m 3m 16x2 16y2 m C. 2 - 2 =1(x> ) m 3m 4 [答案] C 1 m [解析] 依据正弦定理得:|AB|-|AC|= |BC|= <|BC| 2 2 m m 3m2 ∴点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支,且 a= ,c= ,∴b2=c2-a2= 4 2 16 16x2 16y2 m ∴双曲线方程为 2 - 2 =1(x> ) m 3m 4 x2 y2 6.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点为 F1、F2,点 Q 为双曲线左支上除顶点外的 a b 任一点,过 F1 作∠F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是( A.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 [答案] D [解析] 延长 F1P 交 QF2 于 R,则|QF1|=|QR|. ∵|QF2|-|QF1|=2a,∴|QF2|-|QR|=2a=|RF2|, B.双曲线的一部分 D.圆的一部分 ) x2 y2 B. - =1 16 16 3 16x2 16y2 D. 2 - 2 =1 m 3m ) B.9 D.20

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1 又|OP|= |RF2|,∴|OP|=a. 2 x2 y2 7.(文)(2010· 温州市十校)已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该 a b 双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角 形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) [答案] B b2 b2 [解析] 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A?-c, a ?,B?-c,- a ?,E(a,0),因为△ ? ? ? ? b2 ? b2 → → → → ? -c-a, ?·-c-a,- ?>0,整理得 3e2 ABE 是锐角三角形,所以EA· >0,即EA· =? EB EB a? ? a? +2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0,∴e(e+1)2(e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1,∴e∈(1,2),故 选 B. x2 y2 (理)(2010· 浙江杭州质检)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 引它的渐近线的垂 a b 线,垂足为 M,延长 FM 交 y 轴于 E,若 FM=ME,则该双曲线的离心率为( A.3 C. 3 [答案] D b |bc| [解析] 由条件知 l: y= x 是线段 FE 的垂直平分线, ∴|OE|=|OF|=c, 又|FM|= 2 2 a a +b =b, B.2 D. 2 ) )

B.(1,2) D.(2,1+ 2)

∴在 Rt△OEF 中,2c2=4b2=4(c2-a2), c ∵e= >1,∴e= 2. a 8. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点, k 的取值范围是( 则 A.?- )

?

15 15? , 3 3 ? 15 ? ,0 3 ?

B.?0,

?

15? 3 ? 15 ? ,-1 3 ?

C.?-

?

D.?-

?

含详解答案

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[答案] D [解析] 直线与双曲线右支相切时,k=- 15 ,直线 y=kx+2 过定点(0,2),当 k=-1 3

时,直线与双曲线渐近线平行,顺时针旋转直线 y=-x+2 时,直线与双曲线右支有两个交 点, ∴- 15 <k<-1. 3

x2 9. (文)(2010· 福建理)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y2=1(a>0)的中心和左焦点, a → → 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP· 的取值范围为( FP A.[3-2 3,+∞) 7 C.[- ,+∞) 4 [答案] B [解析] 由条件知 a2+1=22=4,∴a2=3, x2 ∴双曲线方程为 -y2=1. 3 → → 设 P 点坐标为(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+2,y), x2 → → ∵y2= -1,∴OP· =x2+2x+y2 FP 3 x2 4 =x2+2x+ -1= x2+2x-1 3 3 4 3 7 = (x+ )2- . 3 4 4 又∵x≥ 3(P 为右支上任意一点) → → ∴OP· ≥3+2 3.故选 B. FP (理)(2010· 新课标全国理)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( x2 y2 A. - =1 3 6 x2 y2 C. - =1 6 3 [答案] B x2 y2 [解析] 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a2+b2=9,设 A(x1, a b x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 5 4 ) B.[3+2 3,+∞) 7 D.[ ,+∞) 4 )

含详解答案

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y1),B(x2,y2)则有:

? ?x y ? a - b =1
2 2 2 2 2 2

x12 y12 - =1 a2 b2

y1-y2 b2?x1+x2? 4b2 y1-y2 ,两式作差得: = 2 = 2,∵kAB= , x1-x2 a ?y1+y2? 5a x1-x2

且 kAB=

-15-0 =1,所以 4b2=5a2 代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5,所以双曲线标准方程 -12-3

x2 y2 是 - =1,故选 B. 4 5 x2 y2 1 x2 y2 10.(文)过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点垂直于 x 轴的弦长为 a,则双曲线 2- 2=1 的 a b 2 a b 离心率 e 的值是( 5 A. 4 3 C. 2 [答案] B c2 y2 [解析] 将 x=c 代入椭圆方程得, 2+ 2=1, a b c2 a2-c2 b2 b2 ∴y2=?1-a2?×b2= 2 ×b2= 2×b2,∴y=± . ? ? a a a 1 a2+ a2 4 b 1 1 c 5 ∴ = a,∴b2= a2,e2= 2= = , a 4 4 a a2 4
2 2

) B. D. 5 2 5 4

∴e=

5 ,故选 B. 2

y2 x2 (理)(2010· 福建宁德一中)已知抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线 2- 2=1 的一 a b 个焦点,且两条曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为( A. 2 C.1+ 2 [答案] C p [解析] 由题意知 =c, 根据圆锥曲线图象的对称性, 两条曲线交点的连线垂直于 y 轴, 2 2b2 对双曲线来说,这两个交点连线的长度是 ,对抛物线来说,这两个交点连线的长度是 2p, a 2b2 ∵p=2c, =4c,∴b2=2ac, a ∴c2-a2=2ac,∴e2-2e-1=0,解得 e=1± 2, ∵e>1,∴e=1+ 2. 二、填空题
含详解答案

)

B.1± 2 D.无法确定

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x2 y2 11. (文)(2010· 广东实验中学)已知 P 是双曲线 2- =1 右支上的一点, 双曲线的一条渐 a 9 近线的方程为 3x-y=0.设 F1、 2 分别为双曲线的左、 F 右焦点. 若|PF2|=3, 则|PF1|=________. [答案] 5 [解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为 3x-y=0 且 b=3 可得:a=1,由双曲线的定 义知|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF1|-3=2,∴|PF1|=5. x2 y2 (理)(2010· 东营质检)已知双曲线 - =1 的右焦点为( 13,0),则该双曲线的渐近线方 9 a 程为________. 2 [答案] y=± x 3 [解析] 由题意知 9+a=13,∴a=4, 故双曲线的实半轴长为 a′=3,虚半轴长 b′=2, 2 从而渐近线方程为 y=± x. 3 x2 12.(2010· 惠州市模考)已知双曲线 2-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 焦点重合, a 则此双曲线的渐近线方程是________. 3 [答案] y=± x 3 [解析] y2=8x 焦点是(2,0), x2 ∴双曲线 2-y2=1 的半焦距 c=2, a 又虚半轴 b=1, 又 a>0,∴a= 22-12= 3, 3 ∴双曲线渐近线的方程是 y=± x. 3 x2 y2 13.(2010· 北京东城区)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1,F2,P 为双曲线 a b 上一点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线离心率的取值范围是________. [答案] 1<e≤2
?|PF1|-|PF2|=2a ? [解析] 由题意? , ? ?|PF1|=3|PF2|

含详解答案

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?|PF1|=3a ? ∴? , ? ?|PF2|=a

∵|PF1|≥|AF1|,∴3a≥a+c, c ∴e= ≤2,∴1<e≤2. a 14.下列有四个命题: ①若 m 是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条 3 渐近线方程为 mx-y=0,则双曲线的离心率小于 4 的概率为 . 5 x2 y2 ②若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= 3x,且其一个焦点与抛物线 a b y2=8x 的焦点重合,则双曲线的离心率为 2; π π ③将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y=sin?2x-6?的图象; ? ? 6 ④在 Rt△ABC 中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC 的外接圆半径 r= a2+b2 ;类 2

比到空间,若三棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,且长度分别为 a、b、 c,则三棱锥 S-ABC 的外接球的半径 R= a2+b2+c2 . 2

其中真命题的序号为________.(把你认为是真命题的序号都填上) [答案] ①②④ [解析] ①设双曲线方程为 m2x2-y2=1, m2+1 1 ∵a2= 2,b2=1,c2=a2+b2= 2 m m c ∴e= = m2+1<4,∴m< 15 a ∴m 取值 1、2、3 3 故所求概率为 ,故①正确. 5 x2 y2 b ②根据双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= 3x,可得 = 3,因此离心 a b a a2+b2 a2+? 3a?2 c 率 e= = = =2,②正确; a a a
含详解答案

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π π π π π ③函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位得 y=cos2(x- )=cos(2x- )=sin[ +(2x- )] 6 6 3 2 3 π =sin(2x+ )的图象,③错误; 6 ④将三棱锥 S-ABC 补成如图的长方体, 可知三棱锥 S-ABC 外接球的直径就等于该长 a2+b2+c2 方体的体对角线的长,则 R= ,④正确. 2

三、解答题 15.(文)已知双曲线的中心在原点,离心率为 2,一个焦点 F(-2,0) (1)求双曲线方程; → → (2)设 Q 是双曲线上一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M,若|MQ|=2|QF|,求 直线 l 的方程. [解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 c 则有 e= =2,c=2,∴a=1,则 b= 3 a y2 ∴所求的双曲线方程为 x2- =1. 3 (2)∵直线 l 与 y 轴相交于 M 且过焦点 F(-2,0) ∴l 的斜率 k 一定存在,设为 k,则 l:y=k(x+2) 令 x=0 得 M(0,2k) → → ∵|MQ|=2|QF|且 M、Q、F 共线于 l → → → → ∴MQ=2QF或MQ=-2QF 4 2 → → 当MQ=2QF时,xQ=- ,yQ= k 3 3 4 2 ∴Q?-3,3k?, ? ? y2 ∵Q 在双曲线 x2- =1 上, 3 ∴ 16 4k2 21 - =1,∴k=± , 9 27 2

→ → 当MQ=-2QF时,
含详解答案

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同理求得 Q(-4,-2k)代入双曲线方程得, 4k2 3 16- =1,∴k=± 5 3 2 则所求的直线 l 的方程为: y=± 21 3 5 (x+2)或 y=± (x+2) 2 2

(理)(2010· 湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; → → (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA· >2(其中 O 为 OB 原点),求 k 的取值范围. x2 y2 [解析] (1)设双曲线 2- 2=1, a b 由已知得 a= 3,c=2,再由 a2+b2=22 得,b2=1, x2 故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y2=1 中得, 3 (1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得

?1-3k ≠0 , ? ?Δ=?6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0
1 ∴k2≠ 且 k2<1① 3 设 A(xA,yA),B(xB,yB), -9 6 2k 则 xA+xB= ,x x = 1-3k2 A B 1-3k2 → → 由OA· >2 得,xAxB+yAyB>2, OB xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2 -9 3k2+7 6 2k =(k2+1)· 2+ 2k· 2+2= 2 1-3k 1-3k 3k -1 3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 解此不等式得 <k2<3② 3 1 3 3 由①②得 <k2<1,∴ <k<1 或-1<k<- . 3 3 3
含详解答案

2

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故 k 的取值范围为?-1,-

?

3? ? 3 ? ∪ ,1 . 3? ?3 ?

x2 y2 16.(2010· 江苏苏州模拟)已知二次曲线 Ck 的方程: + =1. 9-k 4-k (1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件; (2)若双曲线 Ck 与直线 y=x+1 有公共点且实轴最长,求双曲线方程; (3)m、n 为正整数,且 m<n,是否存在两条曲线 Cm、Cn,其交点 P 与点 F1(- 5,0), → → F2( 5,0)满足PF1· 2=0?若存在,求 m、n 的值;若不存在,说明理由. PF
?9-k>0 ? [解析] (1)当且仅当? ,即 k<4 时,方程表示椭圆. ? ?4-k>0

当且仅当(9-k)(4-k)<0,即 4<k<9 时,方程表示双曲线.

?y=x+1 ? (2)解法一:由? x2 化简得, y2 + ?9-k 4-k=1 ?
(13-2k)x2+2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0 ∵Δ≥0,∴k≥6 或 k≤4(舍) ∵双曲线实轴最长,∴k 取最小值 6 时,9-k 最大即双曲线实轴最长, x2 y2 此时双曲线方程为 - =1. 3 2 x2 y2 解法二:若 Ck 表示双曲线,则 k∈(4,9),不妨设双曲线方程为 2- =1, a 5-a2

?y=x+1 ? 联立?x2 消去 y 得, y2 2- ?a 5-a2=1 ?
(5-2a2)x2-2a2x-6a2+a4=0 ∵Ck 与直线 y=x+1 有公共点, ∴Δ=4a4-4(5-2a2)(a4-6a2)≥0, 即 a4-8a2+15≥0,∴a2≤3 或 a2≥5(舍), x2 y2 ∴实轴最长的双曲线方程为 - =1. 3 2 x2 y2 解法三:双曲线 + =1 中 c2=(9-k)+(k-4)=5,∴c= 5,∴F1(- 5,0), 9-k 4-k 不妨先求得 F1(- 5,0)关于直线 y=x+1 的对称点 F(-1,1- 5), 设直线与双曲线左支交点为 M,则 2a=|MF2|-|MF1|=|MF2|-|MF|≤|FF2| = ?-1- 5?2+?1- 5?2=2 3

含详解答案

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x2 y2 ∴a≤ 3,∴实轴最长的双曲线方程为 - =1. 3 2 (3)由(1)知 C1、C2、C3 是椭圆,C5、C6、C7、C8 是双曲线,结合图象的几何性质,任意 两椭圆之间无公共点,任意两双曲线之间也无公共点 设|PF1|=d1,|PF2|=d2,m∈{1,2,3},n∈{5,6,7,8} → → 则根据椭圆、双曲线定义及PF1· 2=0(即 PF1⊥PF2),应有 PF

?d +d =2 9-m ?|d -d |=2 9-n ?d +d =20
1 2 1 2 2 2 1 2

,所以 m+n=8.

? ? ? ?m=1 ?m=2 ?m=3 所以这样的 Cm、Cn 存在,且? 或? 或? . ? ? ? ?n=7 ?n=6 ?n=5

x2 y2 17.(文)(2010· 全国Ⅱ文)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)相交 a b 于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3). (1)求 C 的离心率; (2)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|· |BF|=17,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. [解析] (1)由题意知,l 的方程为:y=x+2, 代入 C 的方程并化简得, (b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0 设 B(x1,y1),D(x2,y2), 4a2+a2b2 4a2 则 x1+x2= 2 ,x1·2=- 2 x ① b -a2 b -a2 x1+x2 1 4a2 由 M(1,3)为 BD 的中点知 =1,故 × 2 2=1 2 2 b -a 即 b2=3a2② 故 c= a2+b2=2a, c ∴C 的离心率 e= =2. a (2)由②知,C 的方程为 3x2-y2=3a2, 4+3a2 A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1·2=- x <0, 2 故不妨设 x1≤-a,x2≥a, |BF|= ?x1-2a?2+y12= ?x1-2a?2+3x12-3a2=a-2x1, |FD|= ?x2-2a?2+y22= ?x2-2a?2+3x22-3a2=2x2-a,

含详解答案

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|BF|· |FD|=(a-2x1)(2x2-a) =-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8. 又|BF|· |FD|=17,故 5a2+4a+8=17, 9 解得 a=1,或 a=- . 5 故|BD|= 2|x1-x2|= 2 ?x1+x2?2-4x1·2=6 x 连结 MA,则由 A(1,0),M(1,3)知|MA|=3, 从而 MA=MB=MD,∠DAB=90° , 因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆过 A、B、D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切, 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. x2 (理)(2010· 广东理)已知双曲线 -y2=1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P(x1,y1),Q(x1, 2 -y1)是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, l1⊥l2.求 h 的值. 且 [分析] (1)由条件写出直线 A1P 与 A2Q 的方程,两式相乘后消去 x1,y1 得交点 E 的方 程; (2)l1,l2 与 E 只有一个交点,写出 l1 与 l2 的方程与曲线 E 的方程联立,运用 Δ=0 求解. [解析] (1)由条件知|x1|> 2,∵A1、A2 为双曲线的左、右顶点∴,A1(- 2,0),A2( 2, 0). y1-0 -y1-0 A1P?y= (x+ 2),A2Q?y= (x- 2), x1+ 2 x1- 2 -y12 2 两式相乘得 y = 2 (x -2),① x1 -2
2

x12 而点 P(x1,y1)在双曲线上,所以 -y12=1, 2 即 y12 1 = ,代入①式,整理得, x12-2 2

x2 2 +y =1. 2 ∵|x1|> 2,∴点 A1(- 2,0),A2( 2,0)均不在轨迹 E 上,又双曲线的渐近线方程为 y 2 =± x,故过点(0,1)和 A2( 2,0)的直线与双曲线仅有一个交点 A2( 2,0),故点(0,1)不在 2 x2 轨迹 E 上, 同理点(0, -1)也不在轨迹 E 上, ∴轨迹 E 的方程为 +y2=1(x≠± 2, x≠0). 且 2 1 (2)设 l1?y=kx+h,则由 l1⊥l2 知,l2?y=- x+h. k

含详解答案

高考总复习

x2 将 l1?y=kx+h 代入 +y2=1 得 2 x2 +(kx+h)2=1,即(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0, 2 由 l1 与 E 只有一个交点知,Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0, ∴1+2k2=h2. 1 同理,由 l2 与 E 只有一个交点知,1+2·2=h2, k 1 消去 h2 得 2=k2, k 即 k2=1,从而 h2=1+2k2=3,即 h= 3. 又分别过 A1、A2 且互相垂直的直线与 y 轴正半轴交于点(0, 2),∴h= 2符合题意, 综上知 h= 2或 3.

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