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高中数学+导数的测试题


高中数学 导数的测试题
一.选择题(共 22 小题) 1. (2014?郑州模拟)曲线 A. B. 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( C. D. )

2. (2014?西藏一模)已知曲线 A .1 B.2

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C .3
3

) D.4 )

>
3. (2014?上海二模)已知 f(x)=(2x+1) ﹣ A .4 B.5
2

+3a,若 f′ (﹣1)=8,则 f(﹣1)=( C.﹣2 D.﹣3

4. (2011?江西)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′ (x)>0 的解集为( ) A.(0,+∞) B.(﹣1,0)∪ (2,+∞) C.(2,+∞)
3 2 2

D.(﹣1,0)

5. (2011?日照模拟)如图中,有一个是函数 f(x)= x +ax +(a ﹣1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 f′ (x)的图象, 则 f(﹣1)=( )

A.

B.



C.

D. ﹣ 或

6. (2011?重庆三模)若函数 y=f(x)的导数 f′ (x)=6x +5,则 f(x)可以是( A.3x2+5x B.2x3+5x+6 C.2x3+5 7. (2010?江西)若 f(x)=ax +bx +c 满足 f′ (1)=2,则 f′ (﹣1)=( A.﹣4 B.﹣2 C .2 8. (2008?海南)设 f(x)=xlnx,若 f′ (x0)=2,则 x0=( 2 A .e B.e C. )
4 2

2

) D.6x2+5x+6

) D.4

D.ln2

9. (2008?西城区一模)设 a∈R,函数 f(x)=x +ax +(a﹣3)x 的导函数是 f′ (x) ,若 f′ (x)是偶函数,则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为( ) A.y=﹣3x B.y=﹣2x C.y=3x D.y=2x 10. (2006?杭州一模)若 f(x)=x ,f′ (x0)=3,则 x0 的值是( A .1 B.﹣1 C.±1 11. (2004?贵州)函数 y=(x+1) (x﹣1)在 x=1 处的导数等于(
1
2 3

3

2

) D.3 )

A .1
3 2

B.2

C .3 )

D.4

12.设 f(x)=ax +3x +2,若 f′ (﹣1)=4,则 a 的值等于( A. B. C.

D.

13.下列求导数运算正确的是( A.(x+ )′ B. =1+

) (log2x)′ =
x C.(3x)′ =3 log3e

D.(x2cosx)′ =﹣2xsinx

14.若 f(x)=sinα﹣cosx,则 f′ (α)等于( A.cosα B.sinα

) C.sinα+cosα ) D.0 D.2sinα

15.曲线 y=ln(2x﹣1)上的点到直线 2x﹣y+3=0 的最短距离是( A. B. C. 16.已知 A. ,则 B. =( C. )

D.

17. (2014?武汉模拟)若函数 f(x)=x +ax+ A.[﹣1,0] B.[﹣1,∞]

2

是增函数,则 a 的取值范围是( C.[0,3] D.[3,+∞]
2



18. (2014?抚州模拟)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上满足 f′ (x)>0,则满足 f(x ﹣2x)<f(x)的 x 的 取值范围是( ) A.(1,3) B.(﹣∞,﹣3)∪ (3,+∞) C.(﹣3,3) D.(﹣3,1) 19.下列式子不正确的是( 2 A.(3x +cosx)′ =6x﹣sinx C. (2sin2x)′ =2cos2x ) B. (lnx﹣2 )′ =
x

ln2

D. (

)′ =

20.函数 A. C.

的导数是(

) B. D.

21.函数 y=sin(2x +x)导数是( ) 2 2 A.y′ B.y′ =cos(2x +x) =2xsin(2x +x)
2

2

2 2 C.y′ D.y′ =(4x+1)cos(2x +x) =4cos(2x +x)

22.已知曲线 y= x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为(



2

A .4

B.3

C .2

D.

二.解答题(共 8 小题) 23. (2010?广东模拟)记函数 f(x)=log2(2x﹣3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 义域为集合 N.求: (1)集合 M、N; (2)集合 M∩ N、M∪ N. 的定

24.求下列函数的导数: (1)y=x ﹣3x ﹣5x+6; (2)y=xsinx; (3)y= .
4 2

25.设函数



(I)求 f′ (x)的表达式; (Ⅱ )求函数 f(x)的单调区间、极大值和极小值; (Ⅲ )若 x∈[a+1,a+2]时,恒有 f′ (x)>﹣3a,求实数 a 的取值范围.

26. (2014?武汉模拟)己知函数 f(x)=x e (Ⅰ )求 f(x)的极小值和极大值; (Ⅱ )当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

2

﹣x

3

27. (2014?大港区二模)已知函数



(Ⅰ )若 a=4,求曲线 f(x)在点(e,f(e) )处的切线方程; (Ⅱ )求 f(x)的极值; 2 (Ⅲ )若函数 f(x)的图象与函数 g(x)=1 的图象在区间(0,e ]上有公共点,求实数 a 的取值范围.

28. (2014?安徽)设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x ﹣x ,其中 a>0. (Ⅰ )讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅱ )当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.

2

3

29. (2014?马鞍山一模)已知函数 f(x)=lnx﹣ax +(a﹣2)x. (Ⅰ )若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; 2 (Ⅱ )求函数 y=f(x)在[a ,a]上的最大值.

2

30. (2014?朝阳区一模)已知函数 f(x)= ax ﹣lnx,a∈R. (Ⅰ )求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ )若函数 f(x)在区间[1,e]的最小值为 1,求 a 的值.

2

4

高中数学 导数的测试题
参考答案与试题解析
一.选择题(共 22 小题) 1. (2014?郑州模拟)曲线 A. B. 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( C. D. )

考点: 导数的几何意义. 专题: 压轴题. 分析: (1)首先利用导数的几何意义,求出曲线在 P(x0,y0)处的切线斜率,进而得到切线方程; (2)利用切 线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标(3)利用面积公式求出面积. 解答: 3 解:若 y= x +x,则 y′ |x=1=2,即曲线 在点 处的切线方程是 ,它与
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坐标轴的交点是( ,0) , (0,﹣ ) ,围成的三角形面积为 ,故选 A. 点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,过点 P 的切线方程为:y﹣y0=f′ (x0) (x﹣x0)

2. (2014?西藏一模)已知曲线 A .1 B.2

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( C .3

) D.4

考点: 导数的几何意义. 分析: 利用导数的几何意义,列出关于斜率的等式,进而得到切点横坐标. 解答: 解:已知曲线 的一条切线的斜率为 ,∵ = ,
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∴ x=1,则切点的横坐标为 1, 故选 A. 点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率.应熟练 掌握斜率与导数的关系.
3

3. (2014?上海二模)已知 f(x)=(2x+1) ﹣ A .4 B.5

+3a,若 f′ (﹣1)=8,则 f(﹣1)=( C.﹣2 D.﹣3



考点: 导数的加法与减法法则. 专题: 计算题. 分析: 先求出函数的导数,再把 x=﹣1 代入 f′ (x)的解析式得到 f'(﹣1) ,再由 f'(﹣1)=8,求得 a 的值,即 可得到函数 f(x)的解析式,从而求得 f(﹣1)的值. 解答: 解:已知 ,
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∴ f′ (x)=3(2x+1) ×2+ ∵ f'(﹣1)=8,

2



5

∴ 3×2+2a=8,故有 a=1, ∴ = ,

∴ f(﹣1)=﹣1+2+3=4, 故选 A. 点评: 本题主要考查函数在某一点的导数的定义,求一个函数的导数的方法,属于基础题. 4. (2011?江西)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′ (x)>0 的解集为( ) A.(0,+∞) B.(﹣1,0)∪ (2,+∞) C.(2,+∞)
2

D.(﹣1,0)

考点: 导数的加法与减法法则;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可先求出函数的定义域及函数的导数,再解出不等式 f′ (x)>0 的解集与函数的定义域取交集, 即可选出正确选项 解答: 解:由题,f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′ (x)=2x﹣2﹣
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令 2x﹣2﹣ >0,整理得 x ﹣x﹣2>0,解得 x>2 或 x<﹣1 结合函数的定义域知,f′ (x)>0 的解集为(2,+∞) , 故选 C 点评: 本题考查导数的加法与减法法则,一元二次不等式的解法,计算题,基本题型,属于基础题. 5. (2011?日照模拟)如图中,有一个是函数 f(x)= x +ax +(a ﹣1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 f′ (x)的图象, 则 f(﹣1)=( )
3 2 2

2

A.

B.



C.

D. ﹣ 或

考点: 导数的运算;函数的图象;函数的值. 专题: 数形结合. 分析: 求出 f 的导函数发现为开口向上的抛物线,由 a≠0 得到其图象必为第(3)个图,由图象知 f′ (0)=0 解得 a 的值,即可求出 f(﹣1) 2 2 解答: 解:∵ f′ (x)=x +2ax+(a ﹣1) , ∴ 导函数 f′ (x)的图象开口向上. 又∵ a≠0,∴ 其图象必为第(3)个图. 由图象特征知 f′ (0)=0,且﹣a>0,∴ a=﹣1.
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故 f(﹣1)=﹣ ﹣1+1=﹣ . 故选 B 点评: 考查学生导数的运算能力.熟悉函数图象的能力,以及会求函数值的能力. 6. (2011?重庆三模)若函数 y=f(x)的导数 f′ (x)=6x +5,则 f(x)可以是( 2 3 A.3x +5x B.2x +5x+6 C.2x3+5
6
2

) D.6x2+5x+6

考点: 专题: 分析: 解答:

导数的运算. 计算题. 先根据 f'(x)的解析式和多项式函数的导数可表示出函数 f(x)的一般表达式,再对选项逐一验证即可.
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解:∵ f'(x)=6x +5 3 ∴ f(x)=2x +5x+c(c 为常数) 故选 B. 点评: 本题主要考查了导数的逆运算,以及多项式函数的导数,属于基础题. 7. (2010?江西)若 f(x)=ax +bx +c 满足 f′ (1)=2,则 f′ (﹣1)=( A.﹣4 B.﹣2 C .2 考点: 专题: 分析: 解答:
4 2

2

) D.4

导数的运算. 整体思想. 先求导,然后表示出 f′ (1)与 f′ (﹣1) ,易得 f′ (﹣1)=﹣f′ (1) ,结合已知,即可求解.
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解:∵ f(x)=ax +bx +c, 3 ∴ f′ (x)=4ax +2bx, ∴ f′ (1)=4a+2b=2, ∴ f′ (﹣1)=﹣4a﹣2b=﹣(4a+2b)=﹣2, 故选 B. 点评: 本题考查了导数的运算,注意整体思想的应用. 8. (2008?海南)设 f(x)=xlnx,若 f′ (x0)=2,则 x0=( 2 e A .e B. C. ) D.ln2

4

2

考点: 导数的乘法与除法法则. 分析: 利用乘积的运算法则求出函数的导数,求出 f'(x0)=2 解方程即可. 解答: 解:∵ f(x)=xlnx
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∴ ∵ f′ (x0)=2 ∴ lnx0+1=2 ∴ x0=e, 故选 B. 点评: 本题考查两个函数积的导数及简单应用.导数及应用是高考中的常考内容,要认真掌握,并确保得分. 9. (2008?西城区一模)设 a∈R,函数 f(x)=x +ax +(a﹣3)x 的导函数是 f′ (x) ,若 f′ (x)是偶函数,则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为( ) A.y=﹣3x B.y=﹣2x C.y=3x D.y=2x 考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 先由求导公式求出 f′ (x) ,根据偶函数的性质,可得 f′ (﹣x)=f′ (x) ,从而求出 a 的值,然后利用导数 的几何意义求出切线的斜率,进而写出切线方程. 2 解答: 解:f′ (x)=3x +2ax+(a﹣3) , ∵ f′ (x)是偶函数, 2 2 ∴ 3(﹣x) +2a(﹣x)+(a﹣3)=3x +2ax+(a﹣3) , 解得 a=0,
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3

2

7

∴ k=f′ (0)=﹣3, ∴ 切线方程为 y=﹣3x. 故选 A. 点评: 本题主要考查求导公式,偶函数的性质以及导数的几何意义,难度中等. 10. (2006?杭州一模)若 f(x)=x ,f′ (x0)=3,则 x0 的值是( A .1 B.﹣1 C.±1 考点: 专题: 分析: 解答: 导数的运算. 方程思想.
3

) D.3

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利用幂函数的求导公式求出 f′ (x) ,令 f′ (x0)=3,建立方程,即可求解. 3 解:∵ f(x)=x , 2 ∴ f′ (x)=3x , ∵ f′ (x0)=3, 2 ∴ 3x0 =3, ∴ x0=±1. 故选 C. 点评: 本题考查了幂函数的求导公式,比较简单,注意方程思想的应用. 11. (2004?贵州)函数 y=(x+1) (x﹣1)在 x=1 处的导数等于( A .1 B.2 C .3 考点: 专题: 分析: 解答: 导数的运算. 计算题.
2

) D.4

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将函数 y=(x+1) (x﹣1)化简成多项式函数后求导,将 x=1 代入便求得结果. 2 解:y′ |x=1=[(x +2x+1) (x﹣1)]′ |x=1 3 2 =[x +x ﹣x﹣1]′ |xx=1 2 =(3x +2x﹣1)|x=1=4. 故选 D 点评: 本题考查了导数的运算,属于基础题. 12.设 f(x)=ax +3x +2,若 f′ (﹣1)=4,则 a 的值等于( A. B. C.
3 2

2

) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

导数的运算. 计算题. 先求出导函数,再代值算出 a.
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解:f′ (x)=3ax +6x, ∴ f′ (﹣1)=3a﹣6=4,∴ a=

2

故选 D. 点评: 本题是对导数基本知识的考查,属于容易题,在近几年的高考中,对于导数的考查基本围绕导数的计算和 导数的几何意义展开,是考生复习时的重点内容. 13.下列求导数运算正确的是( A.(x+ )′ B. =1+ ) (log2x)′ = C.(3 )′ =3 log3e
x x

D.(x cosx)′ =﹣2xsinx

2

8

考点: 专题: 分析: 解答:

导数的运算. 计算题. 根据常见函数的求导公式和导数的运算法则进行解答.
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解:A、 (x+ )′ =1﹣

,故错误;

B、符合对数函数的求导公式,故正确; C、 (3 )′ =3 ln3,故错误; 2 2 D、 (x cosx)′ =2xcosx﹣x sinx,故错误. 故选 B. 点评: 本题考查了常见函数的求导公式和导数的运算法则,要求熟练掌握. 14.若 f(x)=sinα﹣cosx,则 f′ (α)等于( A.cosα B.sinα 考点: 分析: 解答: 点评: 导数的运算. 求导时应注意 α,x 的区分. f'(x)=sinx,f'(α)=sinα.故选 B. 计算时应分清式子中的常量和自变量.
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x

x

) C.sinα+cosα D.2sinα

15.曲线 y=ln(2x﹣1)上的点到直线 2x﹣y+3=0 的最短距离是( A. B. C.

) D.0

考点: 导数的运算;点到直线的距离公式. 专题: 压轴题. 分析: 作曲线 y=ln(2x﹣1)的切线与直线 2x﹣y+3=0 平行,切点到直线 2x﹣y+3=0 的距离,就是所求. 解答: 解:由曲线得 ,设直线 2x﹣y+c=0 与曲线切于点 P(x0,y0) ,则 ,
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∴ x0=1,y0=ln(2x0﹣1)=0,得 P(1,0) ,所求的最短距离为 故选 A. 点评: 本题主要考查利用导数解决曲线上的点到直线的距离问题,属于基础题.



16.已知 A.

,则 B.

=( C.

) D.

考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 对 f(x)进行求导,再将 x=
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代入 f′ (x) ,进行求解,从而求出



解答:

解:∵



∴ f′ (x)=﹣

×cosx+



9

∴ f′ (

)=﹣

×cos

+

=﹣



∵ f(π)= ∴

=﹣

, =﹣ ﹣ =﹣ ,

故选 D; 点评: 此题主要考查导数的运算,解决此题的关键是能否对 f(x)进行求导,是一道基础题; 17. (2014?武汉模拟)若函数 f(x)=x +ax+ A.[﹣1,0] B.[﹣1,∞]
2

是增函数,则 a 的取值范围是( C.[0,3] D.[3,+∞]



考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由函数 在( ,+∞)上是增函数,可得
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≥0 在( ,+∞)上恒成 ﹣2x 在( ,+∞)上的最值,可得

立,进而可转化为 a≥ a 的取值范围. 解答: 解:∵ 故 即 a≥

﹣2x 在( ,+∞)上恒成立,构造函数求出

在( ,+∞)上是增函数 ≥0 在( ,+∞)上恒成立 ﹣2x 在( ,+∞)上恒成立 ﹣2x, ﹣2

令 h(x)=

则 h′ (x)=﹣

当 x∈( ,+∞)时,h′ (x)<0,则 h(x)为减函数 ∴ h(x)<h( )=3 ∴ a≥3 故选 D 点评: 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,是导数的综合应用,难度中档. 18. (2014?抚州模拟)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上满足 f′ (x)>0,则满足 f(x ﹣2x)<f(x)的 x 的 取值范围是( ) A.(1,3) B.(﹣∞,﹣3)∪ (3,+∞) C.(﹣3,3) D.(﹣3,1) 考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 根据导数符号可判断函数的单调性,再利用条件偶函数可把 f(x2﹣2x)<f(x)转化为 x2﹣2x 与 x 间不等 式,从而得到 x 的取值范围. 2 2 解答: 解:因为函数 f(x)为偶函数,所以 f(x ﹣2x)<f(x)等价于 f(|x ﹣2x|)<f(|x|) .
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2

10

又函数 f(x)在区间[0,+∞)上满足 f′ (x)>0,所以函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增. 所以|x ﹣2x|<|x|,两边平方并化简得 x (x﹣1) (x﹣3)<0,解得 1<x<3. 故选 A. 点评: 本题为函数奇偶性、单调性及导数的综合题,考查了相关的基础知识及分析问题、解决问题的能力.解决 本题的关键是去掉符号“f”,转化为自变量间的不等关系. 19.下列式子不正确的是( A.(3x2+cosx)′ =6x﹣sinx C. (2sin2x)′ =2cos2x ) B. (lnx﹣2 )′ =
x 2 2

ln2

D. (

)′ =

考点: 简单复合函数的导数. 专题: 计算题. 分析: 观察四个选项,是四个复合函数求导的问题,故依据复合函数求导的法则依次对四个选项的正误进行判断 即可. 解答: 解:由复合函数的求导法则
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对于选项 A, (3x +cosx)′ =6x﹣sinx 成立,故 A 正确 对于选项 B, 成立,故 B 正确

2

对于选项 C, (2sin2x)′ =4cos2x≠2cos2x,故 C 不正确 对于选项 D, 成立,故 D 正确

故选 C 点评: 本题考查了复合函数的求导法则, 求解中要特别注意复合函数的求导法则 (2sin2x) ′ =2cos2x? (2x) '=4cos2x, 对函数的求导法则要求熟练记忆,本题属于基础题.

20.函数 A. C.

的导数是(

) B. D.

考点: 简单复合函数的导数. 专题: 计算题. 分析: 根据 y=sinx 的求导法则对函数
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进行求导; ,

解答:

解:∵ 函数 ∴ y′ =3

cos(3x+

)×3=



故选 B. 点评: 此题主要考查简单复合函数的导数,复合函数求导要一步一步的求,此题是一道基础题. 21.函数 y=sin(2x +x)导数是( ) 2 2 A.y′ B.y′ =cos(2x +x) =2xsin(2x +x)
2

2 2 C.y′ D.y′ =(4x+1)cos(2x +x) =4cos(2x +x)

11

考点: 简单复合函数的导数. 分析: 设 H(x)=f(u) ,u=g(x) ,则 H′ (x)=f′ (u)g′ (x) . 2 解答: 解:设 y=sinu,u=2x +x, 则 y′ =cosu,u′ =4x+1,
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∴ y′ =(4x+1)cosu=(4x+1)cos(2x +x) , 故选 C. 点评: 牢记复合函数的导数求解方法,在实际学习过程中能够熟练运用.
2

2

22.已知曲线 y= x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( A .4 B.3 C .2

) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单复合函数的导数. 计算题. 根据切点处的导数即为切线的斜率建立等式关系,解出方程,问题得解. 解:设切点的横坐标为 t
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y′ |x=t=

= ,解得 t=2,

故选 C. 点评: 本题考查了导数的几何意义,切点处的导数即为切线的斜率,属于基础题. 二.解答题(共 8 小题) 23. (2010?广东模拟)记函数 f(x)=log2(2x﹣3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 义域为集合 N.求: (1)集合 M、N; (2)集合 M∩ N、M∪ N. 考点: 对数函数的定义域;并集及其运算;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1)对数的真数大于 0 求出集合 M;开偶次方的被开方数非负,求出集合 N; (2)直接利用集合的运算求出集合 M∩ N、M∪ N 解答: 解: (1)M={x|2x﹣3>0}={x|x> },
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的定

N={x|(x﹣3) (x﹣1)≥0}={x|x≥3 或 x≤1}; (2)M∩ N={x|x≥3}, M∪ N={x|x≤1 或 x> }. 点评: 本题考查对数函数的定义域,交集、并集及其运算;是基础题. 24.求下列函数的导数: 4 2 (1)y=x ﹣3x ﹣5x+6; (2)y=xsinx; (3)y= .

考点: 导数的运算.

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12

专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用导数公式分别计算函数的导数即可. 3 解答: 解: (1)f'(x)=4x ﹣6x﹣5. (2)f'(x)=(xsinx)'=sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx. (3) .

点评: 本题主要考查了函数的导数公式,要求熟练掌握导数的四则运算法则以及常见函数的导数公式.

25.设函数



(I)求 f′ (x)的表达式; (Ⅱ )求函数 f(x)的单调区间、极大值和极小值; (Ⅲ )若 x∈[a+1,a+2]时,恒有 f′ (x)>﹣3a,求实数 a 的取值范围. 考点: 导数的运算;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题. 分析: (1)直接利用多项式函数的求导公式求解 (2)判定函数当 x 变化时,f'(x)的变化情况,f'(x)>0 求得单调增区间,f'(x)<0 求得单调减区间, f'(x)的变化情况研究出函数的极值 (3)研究 x∈[a+1,a+2]时,恒有 f'(x)>﹣3a 成立的问题,可转化成 f'(x)的最小值大于﹣3a 成立. 2 2 解答: 解: (I)f'(x)=x ﹣2ax﹣3a . (3 分) 2 2 (Ⅱ )令 f'(x)=x ﹣2ax﹣3a =0,得 x=﹣a 或 x=3a. (5 分) 则当 x 变化时,f(x)与 f'(x)的变化情况如下表:
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可知:当 x∈(﹣∞,﹣a)时,函数 f(x)为增函数,当 x∈(3a,+∞)时,函数 f(x)也为增函数. (6 分) 当 x∈(﹣a,3a)时,函数 f(x)为减函数. (7 分) 当 x=3a 时,f(x)的极小值为﹣9a +1. (9 分) 2 2 (Ⅲ )因为 f'(x)=x ﹣2ax﹣3a 的对称轴为 x=a, 且其图象的开口向上,所以 f'(x)在区间[a+1,a+2]上是增函数. (10 分) 则在区间[a+1,a+2]上恒有 f'(x)>﹣3a 等价于 f'(x)的最小值大于﹣3a 成立. 2 2 2 所以 f'(a+1)=(a+1) ﹣2a(a+1)﹣3a =﹣4a +1>﹣3a. (12 分) 解得 .又 a>0,故 a 的取值范围是(0,1)
3

; (8 分)

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值以及恒成立问题 26. (2014?武汉模拟)己知函数 f(x)=x e (Ⅰ )求 f(x)的极小值和极大值; (Ⅱ )当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;根据实际问题选择函数类型;利用导数研究曲线上某点切线方程.
13
2
﹣x

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专题: 综合题;压轴题;转化思想;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )利用导数的运算法则即可得出 f′ (x) ,利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义,即可求 出函数的极值; (Ⅱ )利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,得出切线的方程,利用方程求出与 x 轴交点的横坐标,再 利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可. ﹣x 2 ﹣x 2 ﹣x ﹣x 2 解答: 解: (Ⅰ )∵ f(x)=x e ,∴ f′ (x)=2xe ﹣x e =e (2x﹣x ) , 令 f′ (x)=0,解得 x=0 或 x=2, 令 f′ (x)>0,可解得 0<x<2;令 f′ (x)<0,可解得 x<0 或 x>2, 故函数在区间(﹣∞,0)与(2,+∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数. ∴ x=0 是极小值点,x=2 极大值点,又 f(0)=0,f(2)= 故 f(x)的极小值和极大值分别为 0, (II)设切点为( 则切线方程为 y﹣ = ) , (x﹣x0) , . .

令 y=0,解得 x=

=



因为曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数,∴ 令 ,



<0,∴ x0<0 或 x0>2,



=



① 当 x0<0 时, (0)=0; ② 当 x0>2 时,令 f′ (x0)=0,解得 当 单调递减. 故当

0,即 f′ (x0)>0,∴ f(x0)在(﹣∞,0)上单调递增,∴ f(x0)<f

. 时,f′ (x0)<0,函数 f(x0)

时,f′ (x0)>0,函数 f(x0)单调递增;当

时,函数 f(x0)取得极小值,也即最小值,且

=



综上可知:切线 l 在 x 轴上截距的取值范围是(﹣∞,0)∪ . 点评: 本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域,综合性强,考查了推 理能力和计算能力.

27. (2014?大港区二模)已知函数



(Ⅰ )若 a=4,求曲线 f(x)在点(e,f(e) )处的切线方程; (Ⅱ )求 f(x)的极值; 2 (Ⅲ )若函数 f(x)的图象与函数 g(x)=1 的图象在区间(0,e ]上有公共点,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.
14

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专题: 计算题;分类讨论;转化思想. 分析: (Ⅰ )求直线方程一般用点斜式,本题中已知切点,故可以根据导数的几何意义,求出该点的导数值,即得 曲线在此点处的切线的斜率,然后用点斜式写出切线方程即可 (Ⅱ )求出函数 的导函数,令导数大于 0 解出增区间,令导数小于 0,解出函数

的减区间,然后由极值判断规则确定出极值即可. 2 2 (Ⅲ )若函数 f(x)的图象与函数 g(x)=1 的图象在区间(0,e ]上有公共点,即在区间(0,e ]上,函数 f(x)存在自变量取某个值时,函数值等于 1,故问题可以转化为求出函数 f(x)最值,保证函数的最大值 大于等于 1,最小值小于等于 1 即可得到关于参数 a 的不等式,解之即得. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a=4, ∴ 且 . (1 分)

又∵





. (3 分)

∴ f(x)在点(e,f(e) )处的切线方程为: 即 4x+e y﹣9e=0. (4 分) (Ⅱ )f(x)的定义域为(0,+∞) ,
1﹣a 2



, (5 分)

令 f'(x)=0 得 x=e . 1﹣a 当 x∈(0,e )时,f'(x)>0,f(x)是增函数; ﹣ 1 a 当 x∈(e ,+∞)时,f'(x)<0,f(x)是减函数; (7 分) 1﹣a 1﹣a a﹣1 ∴ f(x)在 x=e 处取得极大值,即 f(x)极大值=f(e )=e . (8 分) 1﹣a 2 (Ⅲ ) (i)当 e <e ,即 a>﹣1 时, 1﹣a 1﹣a 2 由(Ⅱ )知 f(x)在(0,e )上是增函数,在(e ,e ]上是减函数, 1﹣a a﹣1 ∴ 当 x=e 时,f(x)取得最大值,即 f(x)max=e . ﹣a ﹣a 又当 x=e 时,f(x)=0,当 x∈(0,e ]时,f(x)<0, ﹣a 2 a﹣1 当 x∈(e ,e ]时,f(x)∈(0,e ], 2 所以,f(x)的图象与 g(x)=1 的图象在(0,e ]上有公共点, a﹣1 等价于 e ≥1,解得 a≥1, 又因为 a>﹣1,所以 a≥1. (11 分) (ii)当 e
1﹣a

≥e ,即 a≤﹣1 时,f(x)在(0,e ]上是增函数,
2

2

2

∴ f(x)在(0,e ]上的最大值为 ∴ 原问题等价于 ,解得 a≥e ﹣2,
2



又∵ a≤﹣1∴ 无解 综上,a 的取值范围是 a≥1. (14 分) 点评: 本题考点是利用导数研究函数极值,考查了用导数研究函数的单调性以及借助单调性确定函数的极值、最 值的位置,解决与极值、最值有关的一些问题,本题综合性较强,涉及到的知识与运算规则较多,题目难 度较大,做题时要注意体会本题的这些特点. 28. (2014?安徽)设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x ﹣x ,其中 a>0. (Ⅰ )讨论 f(x)在其定义域上的单调性;
15
2 3

(Ⅱ )当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )利用导数判断函数的单调性即可; (Ⅱ )利用(Ⅰ )的结论,讨论两根与 1 的大小关系,判断函数在[0,1]时的单调性,得出取最值时的 x 的取 值. 2 解答: 解: (Ⅰ )f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) ,f′ (x)=1+a﹣2x﹣3x ,
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由 f′ (x)=0,得 x1= ∴ 由 f′ (x)<0 得 x< 由 f′ (x)>0 得 故 f(x)在(﹣∞, 在( ,

,x2= ,x> <x< )和( )上单调递增; ;

,x1<x2, ;

,+∞)单调递减,

(Ⅱ )∵ a>0,∴ x1<0,x2>0, (i)当 a≥4 时,x2≥1,由(Ⅰ )知,f(x)在[0,1]上单调递增,∴ f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和 最大值. (ii)当 0<a<4 时,x2<1,由(Ⅰ )知,f(x)在[0,x2]单调递增,在[x2,1]上单调递减, 因此 f(x)在 x=x2= 处取得最大值,又 f(0)=1,f(1)=a,

∴ 当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识,考查学生分类讨论思想的运用能力,属中档题. 29. (2014?马鞍山一模)已知函数 f(x)=lnx﹣ax +(a﹣2)x. (Ⅰ )若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; 2 (Ⅱ )求函数 y=f(x)在[a ,a]上的最大值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. 分析: (I)先求函数的定义域,然后求出导函数,根据 f(x)在 x=1 处取得极值,则 f'(1)=0,求出 a 的值,然 后验证即可;
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2

(II)先求出 a 的范围,然后利用导数研究函数的单调性,当 (x)=f(a) ,当 当 ,即 时,f(x)在
2

时,f(x)在[a ,a]单调递增,则 fmax 单调递减,fmax(x)=f( ) ,
2

2

单调递增,在

时,f(x)在[a ,a]单调递减,则 fmax(x)=f(a ) ,从而求出所求.
2

解答: 解: (Ⅰ )∵ f(x)=lnx﹣ax +(a﹣2)x,∴ 函数的定义域为(0,+∞) . ∴ ∵ f(x)在 x=1 处取得极值, 即 f'(1)=﹣(2﹣1) (a+1)=0,
16

…(1 分) . …(3 分)

∴ a=﹣1. 当 a=﹣1 时,在 内 f'(x)<0,在(1,+∞)内 f'(x)>0,

…(5 分)

∴ x=1 是函数 y=f(x)的极小值点.∴ a=﹣1. 2 (Ⅱ )∵ a <a,∴ 0<a<1.

…(6 分) …(7 分)

∵ x∈(0,+∞) ,∴ ax+1>0, ∴ f(x)在 ① 当 上单调递增;在 时,f(x)在[a ,a]单调递增,
3 2 2

上单调递减,…(9 分)

∴ fmax(x)=f(a)=lna﹣a +a ﹣2a;

…(10 分)

② 当

,即

时,f(x)在

单调递增,在

单调递减,

∴ ③ 当 ,即
2 2

; 时,f(x)在[a ,a]单调递减,
5 3 2

…(11 分)

∴ fmax(x)=f(a )=2lna﹣a +a ﹣2a . 综上所述,当 当 当 1>
2

…(12 分)
3 2

时,函数 y=f(x)在[a ,a]上的最大值是 lna﹣a +a ﹣2a; 时,函数 y=f(x)在[a ,a]上的最大值是
2 5 3 2


2

时,函数 y=f(x)在[a ,a]上的最大值是 2lna﹣a +a ﹣2a .

…(13 分) 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及利用导数研究函数在闭区间上的最值,是一道综合题,有 一定的难度,属于中档题. 30. (2014?朝阳区一模)已知函数 f(x)= ax ﹣lnx,a∈R. (Ⅰ )求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ )若函数 f(x)在区间[1,e]的最小值为 1,求 a 的值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )讨论(1)当 a=0 时, (2)当 a<0 时(3)当 a>0 时,① 当 x∈(0,
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2

)时,② 当 x∈(

,+∞)时

的情况,从而得出当 a>0 时,函数 f(x)的单调减区间是(0, (Ⅱ )讨论(1)当 a≤0 时, (2)当 a>0 时,① 当 解答: 解:函数 f(x)的定义域是(0,+∞) ,f′ (x)=
17

) ,单调增区间为( <e,③ 当

,+∞) .

≤1,② 当 1<

≥e 情况,从而得出 a=2.



(Ⅰ ) (1)当 a=0 时,f′ (x)=﹣ <0, 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. (2)当 a<0 时,f′ (x)<0 恒成立, 所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. (3)当 a>0 时,令 f′ (x)=0,又因为 x>0,解得 x= ① 当 x∈(0, )时,f′ (x)<0, )单调递减. .

所以函数 f(x)在(0, ② 当 x∈(

,+∞)时,f′ (x)>0, ,+∞)单调递增.

所以函数 f(x)在(

综上所述,当 a≤0 时,函数 f(x)的单调减区间是(0,+∞) , 当 a>0 时,函数 f(x)的单调减区间是(0, ) ,单调增区间为( ,+∞) .

(Ⅱ ) (1)当 a≤0 时,由(Ⅰ )可知,f(x)在[1,e]上单调递减, 所以 f(x)的最小值为 f(e)=1,解得 a= (2)当 a>0 时,由(Ⅰ )可知, ① 当 ≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在[1,e]上单调递增, >0,舍去.

所以函数 f(x)的最小值为 f(1)= a=1,解得 a=2. ② 当 1< <e,即 <a<1 时, )上单调递减,在( ,e)上单调递增,

函数 f(x)在(1,

所以函数 f(x)的最小值为 f( 解得 a=e,舍去. ③ 当 ≥e,即 0<a≤

)= + lna=1,

时,函数 f(x)在[1,e]上单调递减,
2

所以函数 f(x)的最小值为 f(e)= ae ﹣1=1, 得 a= ,舍去.

综上所述,a=2. 点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查参数的取值,导数的应用,是一道综合题.

18


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