当前位置:首页 >> 高中教育 >>

【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点25 数列求和及综合应用]


温馨提示: 此题库为 Word 版,请按住 Ctrl, 滑动鼠标滚轴,调节合适的观 看比例,关闭 Word 文档返回原板块。

考点 25 数列求和及综合应用
一、选择题 1. ( 2013·新课标Ⅰ高考理科·T 12 )设 △AnBnCn 的三边长分别为 an,bn, cn,△An BnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,…若 b1> c1,b

1+ c 1= 2a1,an+ 1 = an,bn
+1



cn+ an bn+ an , c n+ 1 = 2 2 ,则(



A、 {Sn}为递减数列 B、 {Sn}为递增数列 C、 {S2n- 1}为递增数列, {S2n}为递减数列 D、 {S2n- 1}为递减数列, {S2n}为递增数列 【解析】选 B.因为 an?1 ? an , bn ?1 ?
bn?1 ? cn?1 ?
cn ? an b ?a , c n ?1 ? n n ,所以 an ? a1 , 2 2

c n ? a n bn ? a n 1 1 ? (bn ? c n ) ? a n ? (bn ? c n ) ? a1 ? 2 2 2 2
1 (bn ? c n ? 2a1 ) ,注意到 b1 ? c1 ? 2a1 ,所以 bn ? cn ? 2a1 . 2

bn?1 ? c n ?1 ? 2a1 ?

于是 ?An Bn Cn 中, 边长 Bn Cn ? a1 为定值, 另两边的长度之和为 bn ? cn ? 2a1 为定值 . 因为 bn?1 ? cn?1 ?
c n ? a n bn ? a n 1 ? ? (bn ? c n ) , ? 2 2 2
1 2

所以 bn ? cn ? (? ) n ?1 (b1 ? c1 ) ,当 n ? ?? 时,有 bn ? cn ? 0 ,即 bn ? cn ,于是 ?An Bn Cn 的边 Bn C n 的高 hn 随 n 增大而增大,于是其面积 S n ? | Bn C n | hn ? a1 hn 为递增数 列. 二、填空题
1 2 1 2

2.( 2013·新课标Ⅰ高考理科·T 14)若数列 {an } 的前 n 项和 S n ? a n ? ,则
{an } 的通项公式是 an ? _________

2 3

1 3

【解题指南】先利用 S1=a1 求出 a1 的值 ,再利用 Sn-Sn-1=an 求出通项公式 an . 【解析】由 S1 ? a1 ? ? a1 ,解得 a1 ? 1 ,又 S n ? a n ? ,所以
Sn ? Sn ?1 ? 2 2 a an ? an ?1 ? an ,得 n ? ?2 ,所以数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ? 2 的 3 3 an?1 2 3 1 3 2 3 1 3

等比数列 .故数列的通项公式 an ? (?2) n?1 【答案】 (?2) n?1 3. ( 2013 ·湖南高考理科·T 15 ) 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? (?1)n an ? ( 1) a3 ? _____; ( 2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________. 【解题指南】( 1 ) 令 n ? 3 , n ? 4 代入 即可得到答案 .
1 , n ? N ?, 则 n 2

( 2)通过 an ? sn ? sn?1 ? (?1) n an ? 有 an ? an?1 ?

1 1 ? (?1) n?1 an?1 ? n?1 整理可发现当当 n 为偶数时 2 2 2

1 ,于是代入第( 2)问的展开式即可得到答案 . 2 n?1 1 1 1 【解析】( 1)因为 a1 ? s1 ? ?a1 ? ,所以 a1 ? ? , s3 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?a3 ? ①, 4 2 8 1 1 1 s4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a4 ? ,即 a1 ? a2 ? a3 ? ? ②, 把②代入①得 a3 ? ? . 16 16 16 1 1 ? n ?1 ,整理得 ( 2)因为当 n ? 2 时, a n ? s n ? s n? 1 ? (?1) n a n ? n ? (?1) n? 1a n ? 1 2 2 1 1 (1 ? (?1) n )an ? (?1) n?1 an?1 ? n ,所以,当 n 为偶数时, an?1 ? ? n , 2 2 1 1 当 n 为奇数时, 2an ? an?1 ? n ,所以 an?1 ? n?1 , 2 2

所以 an ? ?

?

1 ,n为奇数 2n ?1 1 ,n为偶数 2n

,所以当 n 为偶数时, an ? an?1 ?
1 2

1 , 2 n?1

所以 s1 ? s2 ? s3 ? s4 ? ? ? s99 ? s100 ? ?a1 ? ? a2 ?

1 1 ? a3 ? 3 ? ? 2 2 2

1 1 ? a100 ? 100 ? (a2 ? a1 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (a100 ? a99 ) ? 99 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? 2 ? 3 ? ? 100 ) ? ( ? 3 ? 5 ? ? 99 ) ? ( ? 2 ? ? 100 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 ? 50 ) (1 ? 100 ) 2 1 1 1 1 4 ?2 2 ? 2 ? (1 ? 100 ) ? (1 ? 100 ) ? ( 100 ? 1) . 1 1 3 2 2 3 2 1? 1? 4 2 1 1 1 【答案】( 1) ? ( 2) ( 100 ? 1) 16 3 2 ? a99 ?

4. ( 2013 ·重庆高考理科·T 12 )已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,
Sn 为其前 n 项和,若 a1 、 a2 、 a5 成等比数列,则 S8 ?

【解题指南】先根据 a1 、a2 、a5 成等比数列求出数列的公差 , 然后根据公式求 出 S8 . 【解析】 因为 a1 、a2 、a5 成等 1 比数列 , a1 ? 1 所以 (1 ? d )2 ? 1 ? 4d ,化简得 d 2 ? 2d 因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 ,故 S8 ? 8a1 ? 【答案】 64 三、解答题 5.( 2013 ·大纲版全国卷高考理科·T 22 )已知函数 f ? x ? = ln? 1? x ? ? ( I)若 x ? 0时, f ? x? ? 0,求?的最小值;; ( II)设数列 ?an ?的通项 an ? 1 ? ? ? ??? ? ,证明: a2 n ? an ? 【解析】( I) f ?( x) ?
(1 ? 2? ) x ? ?x 2 , (1 ? x) 2
1 2 1 3 1 n 1 ? ln 2. 4n 8? 7 d ? 8 ? 56 ? 64. 2

x ?1 ? ? x ? . 1? x

1 ? 2? (1 ? 2? ) x ? ?x 2 令 f ?( x) ? 0 ,即 ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 2 ? (1 ? x)
1 2 1 若 ? ? ,则 x ? 0 时, f ?( x) < 0 , f (0)=0 ,所以 f ( x) ? 0 . 2 1 综上 ? 的最小值为 . 2

若 ? ? ,则 0 ? x ? 2(1 ? 2? ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 .

( II)令 ? ? ,由( I )知, x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 即
x(2 ? x) ? ln(1 ? x) . 2 ? 2x
1 k

1 2

取 x ? ,则

2k ? 1 k ?1 . ? ln 2k (k ? 1) k
2 n ?1 2 n ?1 1 2 n?1 1 1 2k ? 1 k ?1 ? ln 2n ? ln n ? ln 2 . ? ?( ? ) ? ?( ) ? ? ln 4n k ?n 2k 2(k ? 1) k k ? n 2k (k ? 1) k ?n

于是 a2n ? an ? 所以 a 2 n ? a n ?

1 ? ln 2 4n

6.(2013 ·浙江高考文科·T19) 在公差为 d 的等差数列 {an}中 ,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a 3 成等比数列 . (1)求 d,a n. (2)若 d<0, 求 |a1|+|a 2|+|a3|+… +|a n|. 【解题指南】 (1) 由 a1,2a2+2,5a 3 成等比数列可以求得 a1 与 d 的关系 ,进而可 求得 d 与 an. (2)由 d<0, 先判断该数列从第几项开始大于零 ,从第几项开始小于零 ,再根 据等差数列前 n 项和的性质求解 . 【解析】 (1)由题意得 ,5a3·a1=(2a 2+2) 2, d2-3d-4=0, 解得 d=-1 或 d=4, 所以 an=-n+11 或 an=4n+6. (2)设数列 {an}前 n 项和为 Sn, 因为 d<0,所以 d=-1,an=-n+11, 则 n≤ 11 时 ,|a1|+|a 2|+|a 3|+… +|a n|=S n=- n2+
1 2 21 n; 2

n≥ 12 时 ,|a1|+|a 2|+… +|a11|+|a12|+… +|an|=a1+a2+ … +a11-a12-… -an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11= n21 2 21 n +110. 2

1 2 21 ? ? n ? n, n≤11, ? ? 2 2 综上所述 ,|a 1|+|a2|+… +|an|= ? 1 21 ? n 2 ? n ? 110, n≥12. ? ?2 2

7. ( 2013 ·重庆高考文科·T 16)设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N? . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 . 【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前 n 项和 , 再利用 题目中所给条件求解 T20 . 【解析】(Ⅰ)由题设知 ?an ? 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列 , 所以 an ? 3n?1 ,
Sn ? 1 ? 3n 1 n ? 3 ?1 . 1? 3 2

?

?

(Ⅱ) b1 ? a2 ? 3, b3 ? 1 ? 3 ? 9 ? 13, b3 ? b1 ? 10 ? 2d , 所以公差 d ? 5 , 故 T20 ? 20 ? 3 ?
20 ? 19 ? 5 ? 1010 . 2

8. ( 2013 · 上海高考理科· T23 ) 给定常数 c>0,定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|. 数列 a1,a2,a3,… , 满足 an+1 =f(a n),n ∈ N*. (1)若 a1=-c-2,求 a2 及 a3. (2)求证 :对任意 n∈ N*,an+1-an ≥ c. (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,…,a n,…,成等差数列 ?若存在 , 求出所有这样的 a1 ; 若不存在 ,说明理由 . 【解析】 (1)a2=2,a3=c+10. (2)f(x)= 当 an≥-c 时 ,an+1 -an=c+8>c. 当 -c-4≤ an<-c 时 ,an+1-an=2an+3c+8 ≥ 2(-c-4)+3c+8=c;

当 an<-c-4 时 ,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c; 所以 ,对任意 n∈ N* ,an+1-an≥ c. (3)由 (2), 结合 c>0, 得 an+1>an,即 {a n}为无穷递增数列 , 又 {an}为等差数列 ,所以存在正数 M,当 n>M 时 ,an>-c, 从而 an+1=f(an)=a n+c+8, 由于 {an}为等差数列 ,因此其公差 d=c+8. ①若 a1<-c-4,则 a2=f(a1)=-a1-c-8, 又 a2=a1+d=a1+c+8,故 -a1-c-8=a 1+c+8, 即 a1=-c-8,从而 a2=0, 当 n≥ 2 时 ,由于 {a n}为递增数列 ,故 an ≥ a2=0>-c,所以 an+1=f(an)=an+c+8, 而 a2=a1+c+8,故当 a1=-c-8 时 ,{an}为无穷等差数列 ,符合要求 . ②若 -c-4≤ a1<-c,则 a2=f(a1)=3a 1+3c+8, 又 a2=a1+d=a1+c+8,所以 ,3a1+3c+8=a 1+c+8, 得 a1=-c, 舍去 . ③若 a1≥ -c,则由 an≥ a1 得到 an+1=f(a n)=an+c+8, 从而 {an}为无穷等差数列 ,符合要求 . 综上 a1 的取值集合为 {-c-8}∪ [-c,+∞ ). 9.( 2013 ·上海高考文科· T22 )已知函数 f ( x) ? 2 ? x ,无穷数列 ?an ? 满足 an+1=f(an),n∈ N* ( 1)若 a1=0,求 a2, a3, a 4; ( 2)若 a1> 0,且 a1, a2, a3 成等比数列,求 a 1 的值 . ( 3)是否存在 a 1 ,使得 a1,a2,…,an…成等差数列?若存在,求出所有这 样的 a1;若不存在,说明理由 . 【解析】 (1)a2=2,a3=0,a4=2.

(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|. ①当 0<a1≤ 2 时 ,a 3=2-(2-a1)=a 1, 所以 =(2-a1)2,得 a1=1. ②当 a1>2 时 ,a3=2-(a1-2)=4-a1, 所以 a1(4-a1)=(2-a1)2, 得 a1=2- (舍去 ) 或 a1=2+ . 综合①②得 a1=1 或 a1=2+ . (3)假设这样的等差数列存在 ,那么 a 2=2-|a1|,a 3=2-|2-|a1||. 由 2a2=a1+a3 得 2-a1+|2-|a1||=2|a 1|(*). 以下分情况讨论 : ①当 a1>2 时 ,由 (*)得 a1=0,与 a1>2 矛盾 ; ②当 0<a1≤ 2 时 , 由 (*)得 a1=1, 从而 an=1(n=1,2, … ), 所以 {an}是一个等差数列 ; ③当 a1≤ 0 时 ,则公差 d=a2-a1=(a1+2)-a1=2>0, 因此存在 m≥ 2 使得 am=a1+2(m-1)>2. 此时 d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾 . 综合①②③可知 , 当且仅当 a1=1 时 ,a1,a2,a3,… ,构成等差数列 . 10. ( 2013·江苏高考数学科·T 19)设 {an} 是首项为 a ,公差为 d 的等差数 列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和。记 bn ?
nS n , n ? N * ,其中 c 为实数。 2 n ?c

( 1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ); ( 2)若 {bn} 是等差数列,证明: c ? 0 。 【解题指南】利用条件 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,求出 Sn ,再代入证明

( 2)利用条件 {bn} 是等差数列建立与 c 有关方程。
n( n ? 1) d. 2 S (n ?1) d ( 1)若 c ? 0 ,得 bn ? n ? a ? .又因为 b1,b2,b4 成等比数列 ,所以 b22 ? b1b4 , n 2

【证明】由题设知 ,Sn=na+

d? 3d ? 2 ? 即: ? ? a ? ? ? a? a ? ? ,化简得 d -2ad=0. 因为 d ≠ 0, 所以 d=2a. 2? 2 ? ? ?

2

因此 ,对于所有的 m ∈ N*,有 Sm=m2 a. 从而对于所有的 k,n ∈ N*,有 Snk=(nk) 2a=n 2k2a=n 2Sk. (2)设数列 {bn}的公差是 d1,则 bn=b 1+(n-1)d 1, n∈ N*, 代入 Sn 的表达式 , 整理得 ,对于所有的 n∈ N*,有
1 1 2 (d1 ? d )n3 +(b 1 -d 1 -a+ d)n +cd 1n=c(d 1 -b 1 ). 2 2 1 1 令 A=d1- d,B=b1-d1-a+ d,D=c(d 1-b1),则对于所有的 n∈ N*,有 2 2

An3+Bn2+cd 1n=D.

(*)

在 (*)式中分别取 n=1,2,3,4, 得 A+B+cd 1=8A+4B+2cd 1=27A+9B+3cd 1=64A+16B+4cd 1,
(1) ?7 A ? 3B ? cd1 ? 0 ? 从而有 ?19 A ? 5B ? cd1 ? 0 (2) ? 21A ? 5B ? cd ? 0 (3) 1 ?

由( 2)( 3)得 A=0,cd 1=-5B,代入方程( 1) ,得 B=0, 从而 cd1=0. 即 d1- d=0,b 1-d 1-a+ d=0,cd 1=0. 若 d1=0,则由 d1- d=0, 得 d=0, 与题设矛盾 ,所以 d1≠ 0. 又因为 cd1=0,所以 c=0. 11.( 2013 ·湖南高考文科·T 19 )设 S n 为数列 { an }的前项和,已知 a1 ? 0 , 2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ?N ? (Ⅰ)求 a1 , a2 ,并求数列{ an }的通项公式;
1 2 1 2 1 2

(Ⅱ )

求数列{ nan }的前 n 项和。
?S1 , n ? 1, 求数列的通项 ?Sn ? Sn?1 , n ? 2,

【解题指南】(Ⅰ)本题是利用递推关系 an ? ?

公式 ;(Ⅱ)根据第 (Ⅰ )问可知应利用错位相减法求数列前 n 项和 . 【解析】(Ⅰ)令 n ? 1 ,得 2a1 ? a1 ? a12 ,因为 a1 ? 0 ,所以 a 1 ? 1 , 令 n ? 2 ,得 2a2 ? 1 ? s2 ? 1 ? a2 ,解得 a2 ? 2 。当 n ? 2 时,由 2an ? 1 ? sn
2an?1 ? 1 ? sn?1 ,两式相减,整理得 an ? 2an?1 ,于是数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比

为 2 的等比数列,所以, an ? 2 n?1 。 (Ⅱ )由 (I )知 nan ? n2n?1 ,记其前 n 项和为 T n ,于是
Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1



2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ②

① -②得 ?T n? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n
n 从而 Tn ? 1? (n ? 1) 2

12.( 2013 ·江西高考理科·T 17 )正项数列 {an}的前 n 项和 Sn 满足:
Sn 2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列 {an}的通项公式 an. (2)令 bn =
Tn ? 5 . 64

n+1 ,数列 {bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意 n ? N* ,都有 (n+2)2a n 2

【解题指南】(1) 由题目中的等式求出 Sn ,然后由 Sn 求 an;( 2)化简 bn ,观 察结构特征,选取求和的方法求 T n. 【解析】( 1)由 Sn 2 ? (n 2 ? n ?1)Sn ? (n 2 ? n) ? 0 得 [Sn ? (n 2 ? n)](Sn ?1) ? 0 由于 ?a n ? 是正项数列,所以 Sn ? 0,Sn ? n2 ? n .于是,当 n ? 2 时,
a n ? Sn ? Sn ?1 ? (n 2 ? n) ? [(n ?1)2 ? (n ?1)] = 2n , 又因为 a1 ? s1 ? 2 符合上式 . 综上,数列

?a n ? 的通项公式为 a n ? 2n .
(2)因为 a n ? 2n , bn = 则 Tn ?
? n+1 1 1 1 n+1 ,所以 bn = ? [ 2? ]. 2 2 2 2 2 (n+2) 4n 16 n (n ? 2) (n+2) a n ? 1 1 1 1 ? ? 2? ] 2 2 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2) 2

1 1 1 1 1 1 [1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 16 3 2 4 3 5

1 1 1 1 1 1 5 . [1 ? 2 ? ? ] ? (1 ? 2 ) ? 2 2 16 2 (n ? 1) (n ? 2) 16 2 64

13.( 2013 ·江西高考文科·T 16 )正项数列{ an}满足 a n 2 ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0 . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=
1 (n ? 1)a n

,求数列{ bn}的前 n 项和 Tn.

【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求 a n ,分析{ bn}通项公式的特 点选择正确的求和方法 . 【解析】(1)由 a n 2 ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0 ,得 (a n ? 2n)(a n ? 1) ? 0 .由于{ a n}是正项数列, 所以 a n ? 2n . (2)由 a n ? 2n , bn=
1 (n ? 1)a n

,则 bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ). 2n (n? 1) 2 n n ? 1

所以 Tn ? 1 (1? 1 ? 1 ? 1 ?
2 2 2 3

?

1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ) ? (1 ? ) ? . n? 1 n n n ? 1 2 n ? 1 2(n ? 1)

14.(2013 ·福建高考文科· T17) 已知等差数列 {an } 的公差 d=1, 前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a 1,a3 成等比数列 ,求 a1. (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围 . 【解题指南】按等比中项列式 ,a3 用通项表示 ,求出首项 ,第 (2)问 ,直接按基 本量列式求解 . 【解析】 (1)因为数列 {an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列 ,所以 a12 =1×

(a1+2),即 a12 -a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列 {an} 的公差 d=1,且 S 5>a1a9, 所以 5a1+10> a12 +8a 1, 即 a12 +3a1-10<0, 解得 -5<a1<2. 15.( 2013 ·广东高考理科·T 19 )设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知
a1 ? 1, 2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N? . n 3 3

( 1)求 a2 的值; ( 2)求数列{ an }的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1 a2 ? 1 7 ? . an 4

【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前 n 项和的关系及不 等式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用 .证明不等式的 过程中,放缩的尺度要拿捏准确 .
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? 中令 n ? 1 ,可得 a2 ? 4 ; n 3 3 1 2 n( n ? ( 1 ) 2 ) n? ( 2) 由已知可得 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n , 即 2Sn ? nan ?1 ? ①, 则当 n ? 2 3 3 3 (n ? 1)n (n ? 1) 时, 2Sn ?1 ? (n ? 1)an ? ②,① ? ②可得 2an ? nan?1 ? ( n ?1) an ? n( n? 1),也就 3 a a a 是 (n ? 1)an ? nan?1 ? n(n ? 1) ,同除以 n(n ? 1) 可得 n ?1 ? n ? 1 ,数列 { n }是公差为 1 n n ?1 n an a1 的等差数列,且 ? 1 ,所以 ? n , an ? n2 ,显然 a1 ? 1 也满足 an ? n2 ,即所求 1 n

【解析】( 1)因为 a1 ? 1 ,在

通项公式为 an ? n2 . ( 3)当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 当 n ? 3 时,
1 1 7 ? 2 ? 1 ? 结论成立; a1 1 4

1 1 1 5 7 ? ? 1 ? ? ? 结论成立; a1 a2 4 4 4

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ,则 an n n( n? 1) n? 1 n

1 1 ? ? a1 a2
?

?

1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? 2 ? an 4 3 4
?

?

1 1 1 1 ? 1? ? ? ? 2 4 2 ? 3 3? 4 n

?

1 n(n ? 1)

5 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 4 2 3 3 4

1 1 7 1 7 1 1 ? ? ? ? ,即对一切 n ? N? , ? ? n ?1 n 4 n 4 a1 a2

?

1 7 ? 成立 . an 4

16.( 2013 ·广东高考文科·T 19 )设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为
2 ? Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1,n ? N ,且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1a2 a2 a3 ? 1 1 ? . an an ?1 2

【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前 n 项和的关系及不 等式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用 .证明不等式的 过程中,放缩的尺度要拿捏准确 .
2 2 【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,因为 an ? 0 ,所以 a2 ? 4a1 ? 5 ;

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4 ,
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

因为 an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 2 ,当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 2 因为 a2 , a5 , a14 构成等比数列, a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 6 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4, a1 ? 1 ,又因为 a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ,则 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公

差 d ? 2 的等差数列.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (3)
1 1 ? ? a1a2 a2 a3 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
?(

?

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5 5 7

1 1 1 1 1 ? )] ? (1 ? )? . 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2

17. ( 2013 ·山东高考理科·T 20 )设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2, a2n=2a n+1

(Ⅰ) 求数列{ a n}的通项公式; (Ⅱ) 设数列{ bn}的前 n 项和 T n,且 Tn+ ( n∈ N ? ) .求数列{ cn}的前 n 项和 Rn . 【解题指南】 ( Ⅰ) 先设出等差数列的首项和公差, 然后根据 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1 可列方程组求得数列的通项公式;(Ⅱ)先根据前 n 项和与通项的关系求 出 ?bn ? 的通项公式,由 cn=b2n 求出 ?cn ? 的通项,再利用错位相减法求出 Rn. 【解析】(Ⅰ)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d, 由 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得
4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ? ?a1 ? ?2n ? 1?d ? 2a1 ? 2?n ? 1?d ? 1
an ? 1 = ?( ? 为常数),令 cn=b2n, 2n

解得 a1 ? 1, d ? 2 , 因此 an ? 2n ? 1, n ? N *
n , 2 n?1 n n ?1 n ? 2 所以 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 = ? n?1 ? n?2 ? n?1 2 2 2

(Ⅱ)由题意知 Tn ? ? ?

2n ? 2 1? * 故 cn ? b2n ? 2n?1 ? ?n ? 1?? ? ? ,n? N 2 4 ? ? 1? ?1? ?1? ?1? ?1? 所以 Rn ? 0 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? ? ? ? 4? ? 4? ? 4? ? 4? ? 4?
1 2 3 4 n 0 1 2 3 n?1

n?1



1 1? ?1? ?1? ?1? ?1? 则 Rn ? 0 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? ? ? , 4 ? 4? ? 4?
1

?4?

?4?

?4?

3 1? ?1? ?1? ?1? ?1? 两式相减得 Rn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 4 ? 4? ? 4? ? 4? ? 4? ?4?
n

2

3

4

n?1

?1? ? ?n ? 1?? ? ? 4?

n

1 ?1? ?? ? n n 1 1 ? 3n ? 1 ? 4 ?4? ?1? ? ? ?n ? 1?? ? ? ? ? ? 1 4 3 3 ? ? ?4? 1? 4

整理得 Rn ? ? ?4 ?
1 9?

3n ? 1 ? ?, 4 n?1 ?

所以

1 3n ? 1 ? 数列 ?cn ?的前 n 项和 Rn ? ? ? 4 ? n?1 ? . 9? 4 ?

18. ( 2013·山东高考文科·T 20 )设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2, a2n=2an+1 (Ⅰ) 求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足
b b1 b2 1 ? ? ? ? ? ? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

【解题指南】 ( Ⅰ) 先设出等差数列的首项和公差, 然后根据 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1 可列方程组求得数列的通项公式;(Ⅱ)先根据 出 bn 的通项公式 , 再利用错位相减法求出 Tn. 【解析】(Ⅰ)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d, 由 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得
4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ? ?a1 ? ?2n ? 1?d ? 2a1 ? 2?n ? 1?d ? 1
b b1 b2 1 ? ? ??? ? n ?1? n , n ? N* 求 a1 a2 an 2

解得 a1 ? 1, d ? 2 , 因此 an ? 2n ? 1, n ? N * (Ⅱ)由已知 当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 所以
b b1 b2 1 ? ? ??? ? n ? 1? n , n ? N* , a1 a2 an 2

b1 1 ? , a1 2

bn 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ? ?1 ? n?1 ? ? n , an 2 ? 2 ? 2

bn 1 ? n ,n ? N*, an 2

由(Ⅰ)知 an ? 2n ? 1, n ? N * ,
2n ? 1 ,n ? N* , 2n 1 3 5 2n ? 1 又 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n , 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2n 2

所以 bn ?

两式相减得 Tn ? ? ? ?
1 2
?

1 2 2 2 2 ? 2n ? 1 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? ? n?1 , 2 2 ?2 2 2 2 ? 2
3 1 2n ? 1 ? n?1 ? n?1 , 2 2 2

所以 Tn ? 3 ?

2n ? 3 . 2n

19. ( 2013 ·陕西高考文科·T 17 )设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和 . (Ⅰ ) 若 {an } 是等差数列 , 推导 Sn 的计算公式 ;
n

(Ⅱ ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ? 1 ? q . 判断 {an } 是否为等比数
1? q

列,并证明你的结论 . 【解题指南】倒序相加法推导等差数列的前 n 项和;利用
,n ? 1 ?S1 推导 an 的通项公式判断是否为等比数列 . an ? ? ,n ? 2 ?Sn ? Sn ?1

【解析】 (Ⅰ ) 设公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d ,
?S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n?1 ? a n ? 2S n ? (a1 ? a n ) ? (a2 ? a n?1 ) ? ? ? (a n?1 ? a1 ) ? (a n ? a1 ) ? S ? a ? a ? ? ? a ? a n n n ? 1 2 1 ?
? 2S n ? n(a1 ? a n ) ? S n ? n(a1 ? a n ) n ?1 ? n(a1 ? d) . 2 2

(Ⅱ)

{an } 是等比数列 . 证明如下:

1 ? qn 1 ? q n?1 1 ? q n q n ? q n?1 ? an?1 ? S n?1 ? S n ? ? ? ? qn , 因为 Sn ? 1? q 1? q 1? q 1? q

又因为 a1 ? 1, q ? 0,所以当 n ≥ 1 时, 有
an?1 qn ? n?1 ? q, an q

因此 , 数列 {an } 是首项 1, 公比 q ? 0 的等比数列 . 20. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考文科·T 17 )已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满 足 S3 ? 0 , S5 ? 5 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?
? ? 1 ? 的前 n 项和 . ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ?

【解题指南】(Ⅰ)利用 S 3 ? 0 , S 5 ? 5 求出等差数列的首项及公差,利用
an ? a1 ? (n ? 1)d 求出 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)将(Ⅰ)中的通项公式,代入到 ? 项和 .

?

? 1 ? 中,利用裂项相消法求前 n ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ?

【解析】(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,则 S n ? na1 ? 由已知可得 ?
? a ? 1. ?3a1 ? 3d ? 0, 解得 ? 1 ? d ? ?1. ?5a1 ? 10d ? ?5.

n(n ? 1) d. 2

故 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 从而数列 ?
?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a 2 n?1a 2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

? 1 ? 的前 n 项和为 ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ?

1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ? ??? ? ? )? 2 ?1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2 n

关闭 Word 文档返回原板块。


相关文章:
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点25 数列求和及综合应用]
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点25 数列求和及综合应用]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:201...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点1 集合]
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点1 集合]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 ...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点23 等差数列及其前n项和]
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点23 等差数列及其前n项和]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点42 抛物线]
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点42 抛物线]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点52 几何证明选讲]
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点52 几何证明选讲]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点24 等比数列及其前n项和]
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点24 等比数列...【解题指南】由 3an?1 ? an ? 0 求出数列的公比,再利用等比数列求和公式...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点30 合情推理与演绎推理]
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点30 合情推理...为首项为 1,公差为 1 的等差数列的前 n 项和 ,从而根据等差数列求和公式...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点55 不等式选讲]
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试题分类 考点55 不等式选讲]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮:2013高考试...
2013高中数学高考题详细分类考点25_数列求和及综合应用
2013高中数学高考题详细分类考点25_数列求和及综合应用_数学_高中教育_教育专区。...2013高考分类题库考点... 17页 免费 【高考讲坛】2015届高三... 暂无评价...
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测31 数列求和]
【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测31 数列求和]_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测31 数列求和]课时...
更多相关标签:
等比数列求和公式 | 等差数列求和公式 | 等比数列求和 | 数列求和 | 等差数列求和 | 等差等比数列求和公式 | 数列求和公式 | 等差数列求和公式推导 |