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【优化方案】2012高中数学 第3章3.3第一课时一元二次不等式及其解法课件 新人教B版必修5


3.3

一元二次不等式 及其解法

学习目标 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、二次方程的联系. 2.会解一元二次不等式,对给定的一元二 次不等式,会设计求解的程序框图. 3.重点是解一元二次不等式. 4.难点是设计求解一元二次不等式的程序 框图.

第一课时

课前自主学

案 第 一 课 时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点即相应 ax2+bx+c=0 一元二次方程____________________的根. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时, 开口_________,a<0时,开口_________,若 向上 向下 b2-4ac>0,则与x轴有_________交点;若b2- 两个 4ac=0,则与x轴有_______交点;若b2-4ac< 一个 无 0,与x轴________交点.

知新益能

1.一元二次不等式 把含有一个未知数,且未知数的最高次数为 2 的 整式不等式,称为一元二次不等式.

思考感悟
不等式mx2 +x+1<0(m为常数)是一元二次 不等式吗? 提示:当m=0时为一无一次不等式;当 m≠0时为一元二次不等式.

2.一元二次方程,二次函数和一元二次不等式 的关系 Δ=b2- 4ac y=ax2+ bx+c (a>0)的图 象 Δ>0 Δ=0 Δ<0

Δ=b2-4ac ax2+bx+c =0 (a>0)的 根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的 解集 ax2+bx+ c<0 (a>0)的 解集

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两个不相等 有两个相等的 无实数根 _____________ 的实数根(x1<x2) 实数根(x1=x2)

{x|x≠x1} {x|x>x2或x<x1} _____________ {x|x1<x<x2} _____________
________ ?

R

?

3.ax2 + bx + c>0(a≠0) 恒 成 立 的 条 件 ?a>0 ? . Δ<0 ?______ 4 . ax + bx + c<0(a≠0) 恒 成 立 的 条 件 ?a<0 ? . ?_____ Δ<0
2

课堂互动讲练

不含参数的一元二次不等式的解法
例1 解不等式:(1)x -8x+15>0;
2

(2)-x2-2x>-3.

【分析】 由题目可获取以下主要信息: 2 (1)是标准的一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)的 求解问题;(2)不是标准形式. 解答本题(1)可根据二次函数、 二次方程和二次不等 式的关系求解,也可以利用二次函数图象求解,还 可以对不等式左边进行因式分解, 转化为一元一次 不等式组求解; (2)可先化成 ax2+bx+c>0(a>0)的形式再求解.

【解】 (1)法一:由方程 x -8x+15=0 的判别式 2 Δ=(-8) -4×15=4>0, 得方程两根分别为 x1=3,x2 =5. ∴原不等式的解集是{x|x<3 或 x>5}. 法二:

2

作函数 y=x -8x+15 的图象,如图所示.

2

由图可知 y=x -8x+15的图象在 x轴上方(即函数 值大于零)的点的横坐标的取值范围是 x<3 或 x>5. 故原不等式的解集为{x|x<3 或 x>5}. 法三:原不等式可化为(x-3)(x-5)>0, ?x-5>0 ?x-5<0 ? ? 即? 或? ,解得 x<3 或 x>5. ?x-3>0 ?x-3<0 ? ? 故原不等式的解集为{x|x<3 或 x>5}. 2 (2)原不等式可化为 x +2x-3<0.

2

法一:由方程 x +2x-3=0 的判别式 2 Δ=2 -4×(-3)=16, 得方程两根分别为 x1=-3,x2=1. ∴原不等式的解集为{x|-3<x<1}. 2 法二:不等式 x +2x-3<0 可化为(x+3)(x-1)<0. ?x+3>0 ?x+3<0 ? ? ∴? 或? ,解得-3<x<1 或 x∈?. ?x-1<0 ?x-1>0 ? ? ∴原不等式的解集为{x|-3<x<1}.

2

【点评】 首先判断判别式的符号,求根, 然后根据不等号的方向及首项系数的符号写 出解集,这是解一元二次不等式的基本方法, 应当熟练掌握. 自我挑战1 解下列一元二次不等式: (1)2x2+7x+4>0; (2)3x2+2x>2-3x; (3)-2x2+x+1<0; (4)9x2-6x+1>0; (5)x2-4x+8<0.

解:(1)因为 Δ=7 -4×2×4=17>0,所以方 2 程 2x + 7x+ 4= 0 有 两 个 实 数 根 : x1 = -7- 17 , 4 -7+ 17 x2 = .画出二次函数 4 2 y=2x +7x+4 的图象如图 1 所示, 由图象得 原不等式的解集为 ? -7+ 17 -7- 17 ? ?x|x> ? 或x< ? ? 4 4

2

(2)原不等式移项整理,得 2 3x +5x-2>0. 2 因为 Δ=49>0,所以方程 3x +5x-2=0 有 1 两个实数根,即 x1=-2,x2 = . 3 2 画出函数 y=3x +5x-2 的图象如图 2 所示, 由图象得原不等式的解集为 1 {x|x<-2 或 x> }. 3

(3)法一:因为 Δ=9>0,方程-2x +x+1=0 1 2 的两个根为 x1 =- ,x2=1.函数 y=-2x + 2 x+1 的图象是开口向下的抛物线(如图 3), 1 与 x 轴交于点(- ,0)和(1,0). 观察图象得不 2 1 等式的解集为{x|x<- 或 x>1}. 2 法二:不等式两边同乘以-1,可得 2x2-x -1>0.

2

1 方程 2x -x-1=0 的解为 x1=- ,x2=1, 2 2 函数 y=2x -x-1 的图象是开口向上的抛物 1 线,所以不等式的解集为{x|x<- 或 x>1}. 2
2

(4)因为 Δ=0,方程 9x -6x+1=0 有两个相等 1 2 的实数根:x1=x2= .函数 y=9x -6x+1 的图 3 象是开口向上的抛物线(如图 4),与 x 轴仅有一 1 个交点( ,0).由图象可得不等式的解集为{x|x 3 1 ∈R 且 x≠ }. 3 2 (5)因为 Δ=16-32=-16<0,所以方程 x -4x 2 +8=0 无实数根,函数 y=x -4x+8 的图象是 开口向上的抛物线,与 x 轴无交点,所以不等 式的解集为?.

2

一元二次不等式与相应一元二次方程 的关系 例2 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β), 且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集. 【分析】 由条件知a<0,α、β为方程ax2+bx+

c=0的两个根,利用根与系数的关系找出a、b、c 与α、β的关系,再利用此关系解不等式.

【解】 由 ax +bx+c>0 的解集为(α, 知 a<0, β), α,β 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根, b c ∴α+β=- ,αβ= , a a ∴b=-a(α+β),c=aαβ, 2 ∴不等式变为 aαβx -a(α+β)x+a<0, 又∵a<0,∴αβx2-(α+β)x+1>0, 变形式(αx-1)(βx-1)>0 1 1 ∵0<α<β,∴ > . α β 1 1 ∴不等式的解集为{x|x> 或 x< } α β

2

【点评】

在解不等式时要注意数形结合,特别

是一元二次不等式与二次函数图象和一元二次方 程之间的关系. 自我挑战2 设a∈R,若关于x的一元二次方程

7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两个实数根x1,x2, 且0<x1<1<x2<2,求a的取值范围.

解:设 f(x)=7x -(a+13)x+a -a-2. ∵x1,x2 是方程 f(x)=0 的两根,且 0<x1 <1<x2 <2,

2

2

?f?0?>0, ? ∴?f?1?<0, ?f?2?>0, ?

?a -a-2>0, ? 2 ∴?7-?a+13?+a -a-2<0, ?28-2?a+13?+a2-a-2>0, ?

2

?a -a-2>0, ? 2 即?a -2a-8<0, ?a2-3a>0, ?
解得-2<a<-1 或 3<a<4. ∴a 的取值范围是{a|-2<a<-1 或 3<a<4}.

2

例3 已知二次函数f(x)的二次项系数为a, 不

等式f(x)>-2x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x) 的解析式; (2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围. 【分析】 f(x)>-2x的解集为(1,3),即f(x)= -2x的两根一根为1,一根为3,方程f(x)+6a =0有两个相等的根,则Δ=0.

【解】 (1)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3), 设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3)且 a<0, ∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x 2 =ax -(2+4a)x+3a.① 2 由方程 f(x)+6a=0 得 ax -(2+4a)x+9a= 0.② ∵方程②有两个相等的根, 2 ∴Δ=[-(2+4a)] -4a· 9a=0. 1 2 即 5a -4a-1=0.解得 a=1 或 a=- . 5

1 由于 a<0,舍去 a=1,将 a=- 代入①, 5 1 2 6 3 得 f(x)的解析式 f(x)=- x - x- . 5 5 5 2 (2)由 f(x)=ax -2(1+2a)x+3a 2 1+2a 2 a +4a+1 =a(x- )- . a a a +4a+1 又 a<0,可得 f(x)的最大值为- . a
2

?-a +4a+1>0 ? a 由? , ?a<0 ?
解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0. 故当 f(x)的最大值是正数时,实数 a 的取值 范围是(-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0).

2

【点评】 一元二次方程、一元二次不等 式、二次函数的关系一直是高考的重点, 并且年年考查,常考常新.解决这类问题, 要以函数观点作指导,用函数图象来沟 通. 自我挑战3 如果不等式ax2+bx+c<0的解 集是{x|x<m或x>n}(m<n<0),求关于x的不 等式cx2-bx+a>0的解集.

解 : ∵ ax2 + bx + c<0 的 解 集 是 {x|x<m 或 b c x>n}(m<n<0), ∴a<0 且有 m+n=- <0, n= >0. m· a a ∴c<0. 1 ? 1? b ? 1 ? ? 1? a 又∵- +?- ?= ,?- ?·- ?= . m n c m ? n c 1 1 ∴- 、- 是 cx2-bx+a=0 的两根. m n 又∵m<n<0, 1 1 ∴- <- , m n ?- 1 ,-1 ?. ∴不等式解集为? m n?

数轴标根法解高次或分式不等式
例4 解不等式2x3-x2-15x>0.

【分析】

将原不等式因式分解,再用

“穿根法”.

【解】 原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)>0. 把方程 x(2x+5)(x-3)=0 的三个根 x1=0, 5 x2 =- ,x3=3 顺次标在数轴上,然后从右 2 上方开始画曲线顺次经过三个根,其解集如 图阴影部分. 5 ∴原不等式的解集为{x|- <x<0 或 x>3}. 2

【点评】

用“穿根法”解不等式时应注意:

①各一次项中x的系数必为正;②对于偶次或奇
次重根,注意“奇穿偶不穿”的原则.

自我挑战4
2)≥0.

解不等式:x(x-1)2(x+1)3(x+

解:令y=x(x-1)2(x+1)3(x+2).

各因式的根分别为0,1,-1,-2,其中1为二重
根,-1为三重根(1为偶次根,-1为奇次根),

结合图,可得不等式解集为{x|-2≤x≤-1或
x≥0}.


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