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推理与证明(理)学生版


推理与证明

高考要求
内容 合情推理 合情推理与演绎推理 推理 与证 明 直接证明与间接证明 归纳和类比 演绎推理 综合法 分析法 反证法 数学归纳法 数学归纳法 层次 A B C C 综合法、分析法、反证法. C B B 3、了解数学归纳法的原理、 正确运用数学归 纳法. 重难点 1、利用合情推理的原理提出猜想, 利用演绎 推理的形式进行证明.

2、在函数、三角变换、不等式、立体几何、 解析几何等不同的数学问题中,灵活运用

知识框架
归纳推理 类比推理

合情推理 推理 演绎推理 推理与证明 证明 直接证明 间接证明 数学归纳法

综合法 分析法 反证法

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知识内容
一、合情推理与演绎推理
1. 推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出 的判断, ,叫结论. 2. 合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情推理. 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推 理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般 的推理 归纳推理的基本模式: a , , ? M 且 a ,, 具有某属性 结论: d ? M , 也具有某属性. b c b c d

? (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的基本模式: 具有属性 a ,,, ; 具有属性 a ' , ' ,' ; A B ( b c d d c 结论: 具有属性 d′. a ,,, b c d B
d c d 与 a ' , ' ,' , ' 相似或相同)

3、演绎推理: 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般 到特殊的推理. 三段论是演绎推理的一般模式,它包括: (1)大前提---已知的一般原理; (2)小前提---所研究的特殊情 况; (3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

二、直接证明与间接证明
三种证明方法的定义与步骤: 1.综合法是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经 过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法. 2.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直到最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方 法. 3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原 命题成立,这样的方法叫反证法;它是一种间接的证明方法. 用这种方法证明一个命题的一般步骤:
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(1) 假设命题的结论不成立; (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止; (3) 断言假设不成立; (4) 肯定原命题的结论成立.

三、数学归纳法
1. 数学归纳法: 对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当 n 取第一个值

n0 时命题成立;然后假设当 n ? k ( k ? N * , k ≥ n0 )时命题成立,证明当 n ? k ? 1 命题也成立 这种证
王新敞
奎屯 新疆

明方法就叫做数学归纳法. 2. 数学归纳法的基本思想: 数学归纳法是完全归纳法的一种.它是一种归纳——演绎的推理方法.数学归纳法的理论依据是 “自然数归纳原理”:设 A(n)表示关于自然数 n 的一命题,如果满足条件:(i)A(1)正确;(ii)假设 A(k)成 立,推断 A(k+1)也成立、那么 A(n)对一切自然数 n 都成立.其中第(i)是验证,它是证明的基础;第(ii) 是以假设 A(k)成立, 通过演绎推理, 推证出 A(k+1)也正确. 即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0 , 如果当 n ? n0 时,命题成立,再假设当 n ? k ( k ? N , k ≥ n0 )时,命题成立.(这时命题是否成立不
*

是确定的), 根据这个假设,如能推出当 n ? k ? 1 时, 命题也成立, 那么就可以递推出对所有不小于 n0 的正整数 n0 ? 1 , n0 ? 2 ,…,命题都成立. 3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)假设当 n ? k ( k ? N , k ≥ n0 )时结论正确,证明当 n ? k ? 1 时结论也正确.
*

(3)由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确. 4. 运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳 假设),两步缺一不可. 5. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、 整除性问题、几何问题等.

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例题精讲
1.

合情推理

题型 1 用归纳推理发现规律 【例1】 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假.

sin 2 15 0 ? sin 2 75 0 ? sin 2 135 0 ?

3 3 ; 2 30 0 ? sin 2 90 0 ? sin 2 150 0 ? sin 2 2 3 3 sin 2 45 0 ? sin 2 105 0 ? sin 2 165 0 ? ; sin 2 60 0 ? sin 2 120 0 ? sin 2 180 0 ? 2 2

【巩固】观察以下各等式:

sin 2 300 ? cos 2 600 ? sin 300 cos 600 ?
sin 2 150 ? cos 2 450 ? sin150 cos 450 ?

3 4
3 , 4

2 s i n 2 00 ?

2 c o s 0? 0 5

3 s i 0 2 0 c0 o s 5 0 n ? 4

分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.

【例2】 函数 f ( x) 由下表定义:

x
f ? x?

2 1

5 2

3 3

1 4 .

4 5

若 a0 ? 5 , an ?1 ? f (an ) , n ? 0,1, 2,? ,则 a 2011 ?

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【例3】 (2010· 山东高考文科)观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (cos x) ? ? sin x ,由归纳推理可得:若
2 ' 4 ' 3 '

定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) =( A . f ( x) B. ? f ( x) C. g ( x) D. ? g ( x)



题型 2 用类比推理猜想新的命题 【例4】 (2010 韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的 的结论是______.

1 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似 3

【例5】 已知命题:“若数列 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 bn ? n a1 a 2 ? a n (n ? N ) 也是等比数
*

列”.类 比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.

【例6】 (2011 届广东省东莞市模拟)在平面直角坐标系中,直线一般方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,圆心在

( x0 , y 0 ) 的圆的一般方程为 ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? r 2 ;则类似的,在空间直角坐标系中,平面
的一般方程为________________, 球心在 ( x0 , y 0 , z 0 ) 的球的一般方程为_____________________.

考点 2 演绎推理
题型一:利用“三段论”进行推理 【例7】 如图所示,在锐角三角形 ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E 为垂足,求证:AB 的中点 M 到 D,E 的距离相等.

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【例8】 设函数 f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 为奇函数. 2x ?1

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)用定义法判断 f (x) 在其定义域上为增函数.

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【例9】 (2011 天津高考)对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ?

?a, a ? b ? 1, 设函数 ?b, a ? b ? 1.

f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c
的取值范围是 A. ? ??, ?2? ? ? ?1, C. ? ?1,

? ?

3? ? 2?

B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ? D. ? ?1, ?

? ?

3? ? 4?

? ?

1? ?1 ? ? ? ? , ?? ? 4? ?4 ?

? ?

3 ? ?1 ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ?

【巩固】定义 a * b 是向量 a 和 b 的“向量积”,它的长度 | a * b |?| a | ? | b | ? sin ? , 其中? 为向量 a 和 b 的夹 角,若 u ? (2, 0), u ? v ? (1, ? 3), 则 | u *(u ? v) | =

? ?
?

? ?

?

?

? ?

?

? ?



考点 3 综合法
【例10】
证明:若 a, b ? 0 ,则 lg

a ? b lg a ? lg b ? 2 2

【例11】 在锐角三角形 ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cosC

【例12】 已知数列 {an } 中各项为:12、1122、111222、……、 11??????1 22 ??????2 ? ?? ? ?? ? ? ? ?
n n

……,证明这个数列

中的每一项都是两个相邻整数的积.

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【例13】 (东莞 2010 学年度第一学期高三调研测试)对于定义域为 ? 0,1? 的函数 f ( x) ,如果同时满足以 下三条:①对任意的 x ? ? 0,1? ,总有 f ( x) ? 0 ;② f (1) ? 1 ;③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,都 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为理想函数. (1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2)判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? [0,1] )是否为理想函数,并予以证明;
x

考点 4 分析法
题型一:用分析法证明数学命题 【例14】 已知 a ? b ? 0 ,求证 a ? b ?

a ?b

【例15】 若 a ? b ? c ? d ? 0 且 a ? d ? b ? c ,求证: d ?

a? b? c

【例16】 已知 a, b ? R, a ? b ? 1,求证: (a ? 2) ? (b ? 2) ?
2 2

25 2

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考点 5 反证法
题型一:用反证法证明数学命题或判断命题的真假 【例17】 已知 f ( x) ? a x ?

x?2 (a ? 1) ,证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根 x ?1

【例18】 证明: 2、 3、 5 不能为同一等差数列的三项.

【例19】 设 a ,, 都是正数,则 a ? b c A.都大于 2

1 1 1 、 b ? 、 c ? 三个数 b c a
C. 至少有一个大于 2 D. 至少有一个不小于 2

B.都小于 2

考点 6 数学归纳法

题型一:对数学归纳法的两个步骤的认识 【例20】 已知 n 是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设 n=k( k ? 2 且为偶数)时命题为真, ,则还需 证明( ) A. n ? k ? 1 时命题成立 C. n ? 2k ? 2 时命题成立 B. n ? k ? 2 时命题成立 D. n ? 2 ? k ? 2 ? 时命题成立

【例21】 用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? ? ? a ?
2 n

1 ? an?2 (a ? 1, n ? N ? ) ,在验证 n=1 时,左边计算所得 1? a
D. 1 ? a ? a ? a
2

的式子是( ) A. 1
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B. 1 ? a

C. 1 ? a ? a

2

4

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【例22】 用数学归纳法证明不等式 左边增加的式子是

1 1 1 13 的过程中, k 推导到 k+1 时, 由 不等式 ? ??? ? n ?1 n ? 2 n ? n 24

题型二:用数学归纳法证明数学命题(恒等式、不等式、数列问题等) 【例23】 用数学归纳法证明不等式 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ?

1 (n ? 1)2 2

【巩固】用数学归纳法证明等式: 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

5 an (n ? N ? ) ,用数学归纳法证明: an ? 2(n ? N ? ) 【例24】 数列 {an } 中, a1 ? , an ?1 ? 2 2(an ? 1)

2

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【例25】 (2010· 江苏高考)已知△ABC 的三边长都是有理数. (1)求证: cos A 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n , cos A 是有理数.

题型三:“归纳——猜想——证明”解决数学问题 【例26】 是否存在常数 a、b、c,使等式 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ?
2 2 2

n(n ? 1) (an2 ? bn ? c) 对一切正 12

整数 n 都成立?证明你的结论.

【例27】 在数列 {an } 中, a1 ? tan x, an ?1 ?

1 ? an , 1 ? an

(1)写出 a1 , a2 , a3 ; (2)求数列 {an } 的通项公式

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* 【例28】 (2011 东城二模)在单调递增数列 {a n } 中, a1 ? 2 ,不等式 (n ? 1)a n ? na2 n 对任意 n ?N 都成

立. (Ⅰ)求 a 2 的取值范围; (Ⅱ)判断数列 {a n } 能否为等比数列?说明理由; (Ⅲ)设 bn ? (1 ? 1)(1 ? )? (1 ? 求证:对任意的 n ?N ,
*

1 2

1 1 ) , c n ? 6(1 ? n ) , n 2 2

bn ? c n ? 0. a n ? 12

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课堂总结
“推理与证明”是数学的基本思维过程, 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. 推理一般包括合情 推理和演绎推理.证明通常包括数学中的演绎证明和实验、实践的证明.通过本章的教学,不仅可以帮助 学生进一步把握以前学过的证明方法,也可以让他们了解猜测的一般方法. 一、合情推理与演绎推理 1.归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始,提出有规律性的猜想. 2.类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象,同时又应是两类不同的对象. 3.三段论推理是一般到特殊的推理,不同于合情推理,是完全可靠的推理. 4.合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填 空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等 方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小. 二、直接证明与间接证明 1.应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或 已知的真命题),再依次由它得出一系列的命题(或判断),其中每一个都是真实的(但它们并不一 定都是所需求的)且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时,命题得证. 2. 应用分析法时,应从命题本身出发,找到与需要证明的命题的等效关系,因而需要从这些关系中 逐个考查,逐个思索,逐个分析,逐个判断,在得到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知 的条件),才知道前面各步推理的适当与否,从而找出证明的路子.当证题不知从何入手时,有时可 运用分析法而获得解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效. 3.综合法和分析法的区别与联系 分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.其逐步推理,实际上是要寻找它的充分 条件;综合法的特点是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的必要 条件.灵活运用综合法和分析法(两者可以结合着运用),能让我们很快的找到问题的突破口. 4.反证法: 1) 用反证法证明命题“若 p 则 q”时,可能会出现以下三种情况: (1)导出非 p 为真,即与原命题的条件矛盾; (2)导出 q 为真,即与假设“非 q 为真”矛盾; (3)导出一个恒假命题. 2) 适宜用反证法证明的数学命题 (1)结论本身是以否定形式出现的一类命题; (2)关于惟一性、存在性的命题; (3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题; (4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.
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3) 使用反证法证明问题时, 准确地作出反设 (即否定结论) 是正确运用反证法的前提, , 常见 的 “结论词”与“反设词”列表如下: 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 三、数学归纳法 1.数学归纳法是证明有递推性或可转化为递推性命题的有效手段,它的思路明晰,形式优美,但也 要看到它的局限性,那就是并不具有普遍性,在无法转化为递推形式的命题中,数学归纳法一般是 没有用武之地的. 2.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳 假设),两步缺一不可. (递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. ) 四、命题趋势 推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点,需要采用多种数学 方法才能解决问题,如:函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等,是对思维品质和逻辑推理能力, 表述能力的全面考查,可以弥补选择题与填空题等客观题的不足,是提高区分度,增强选拔功能的重要题 型,因此在最近几年的高考试题中,推理与证明问题正在成为一个热点题型.近几年新课标地区的高考对 这部分知识的命题有如下特点: 1.降低了对数学归纳法的要求,加强了对合情推理的考查,尤其是加强了对合情推理下的类比推理 的考查. 2.以小题为主,一般以选择题、填空题的形式出现,多数为基础题,难度属中档偏下.主要考查学 生的观察、归纳、类比以及逻辑推理能力. 3.演绎推理在高考中虽然很少刻意去考查,但实际上对推理的考查可以说是无处不在,特别是综合 应用各种证明方法对各种数学问题进行的分析、判断遍布在试卷的始终. 4.预测 2012 年高考对本部分的考查将有下列趋势: (1)合情推理以及探究性问题的考查仍将为高考 的重点和热点之一; (2)数学归纳法仍将会在解答题的某一小题上出现,不会单独命制一道大题; (3)将会以这部分知识为切入点,加强对学生逆向思维能力及创新能力的考查,这类题目将会以 新定义或信息迁移的题目类型出现. 推理与证明贯穿于高中数学的整个体系,它的学习是新课标教材的一个亮点,是对以前所学知识与方 法的总结、归纳,并对后继学习起到引领的作用. 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有 n-1个 至少有 n+1个 原结论词 对所有 x 成立 对任意 x 不成立 p 或q p 且q 反设词 存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立 p且 p或 q q

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课后检测
【习题1】(2010· 陕西高考理科· )观察下列等式:

13 ? 23 ? 32 , 13 ? 23 ? 33 ? 62 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 ,……,
根据上述规律,第五个等式为____________.

【习题2】(2010· 福建高考文科· T16)观察下列等式: ① cos2a=2 cos a -1; ② cos4a=8 cos a - 8 cos a + 1; ③ cos6a=32 cos a - 48 cos a + 18 cos a - 1; ④ cos8a=128 cos a - 256 cos a + 160 cos a - 32 cos a + 1; ⑤ cos10a= m cos a - 1280 cos a + 1120 cos a + n cos a + p cos a - 1. 可以推测, m ? n ? p = .
10 8 6 4 2 8 6 4 2 6 4 2
4 2 2

【习题3】(2008 中山一模)观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有_______个小正方形,第 n 个图中有 个小正方形.

【习题4】给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) : ①“若 a,b ? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ? C,则a ? b ? 0 ? a ? b ”; ②“若 a,b,c,d ? R,则复数a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ”类比推出“若 a,b,c,d ? Q, 则 a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c, b ? d ”; ③“若 a,b ? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ” 类比推出“若 a,b ? C,则a ? b ? 0 ? a ? b ”; 其中类比结论正确的个数是 A.0
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) C.2 D.3
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B.1

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【习题5】若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函 数解析式为 y=x2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( A. 2 B. 3 C. 4 )个.

D.无数

【习题6】已知 f ( x ? 1) ?

2 f ( x) ,猜想 f ( x) 的表达式为 , f (1) ? 1 (x ? N *) f ( x) ? 2



【习题7】(2011 韶关一模)在实数集上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实 数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是

【习题8】有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面, 则平行于平面内所有直线; 已知直线 b ? 平面 ? , 直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 ? ”的结论显然是错误的,这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

【习题9】设函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,问是否存在 ? ? (0, 的结论.

?
2

) ,使 f ( x ? ? ) ? f ( x ? 3? ) 恒成立?证明你



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