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2011年全国各地中考(100套真题+100套模拟)试题分类汇编第38章尺规作图


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2011 全国各地中考数学 100 套真题分类汇编第 38 章 套真题分类汇编 尺规作图
一、选择题 1. (2011 浙江绍兴,8,4 分)如图,在 ?ABC 中,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于

1 AB 2

的 长为半径画弧,

两弧相交于点 M , N ,作直线 MN ,交 BC 于点 D ,连接 AD .若 ?ADC 的周长为 10, AB = 7 ,则 ?ABC 的周长为( A.7 B .14 ) C.17 D.20

C

N D

A

B

M
(第 8 题图) 【答案】C C 三、解答题 1. (2011 江苏扬州,26,10 分)已知,如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90?,∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D。 (1)以 AB 边上一点 O 为圆心,过 A,D 两点作⊙O(不写作法,保留作图痕迹),再判断直 线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若(1)中的⊙O 与 AB 边的另一个交点为 E,AB=6,BD= 2 3 , 求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积。(结果保留根号和 π )

【答案】(1)如图,作 AD 的垂直平分线交 AB 于点 O,O 为圆心,OA 为半径作圆。

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判断结果:BC 是⊙O 的切线。连结 OD。 ∵AD 平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAB ∵OA=OD ∴∠ODA=∠DAB ∴∠DAC=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C ∵∠C=90? ∴∠ODB=90? 即:OD⊥BC ∵OD 是⊙O 的半径 ∴ BC 是⊙O 的切线。 (2) 如图,连结 DE。 设⊙O 的半径为 r,则 OB=6-r,[来源:Z§xx§k.Com] 在 Rt△ODB 中,∠ODB=90?, ∴ 0B =OD +BD ∴r=2
2 2 2

即:(6-r) = r +( 2 3 )

2

2

2

∴OB=4

∴∠OBD=30?,∠DOB=60?

1 60 2 ∵△ODB 的面积为 × 2 3 × 2 = 2 3 ,扇形 ODE 的面积为 × π × 22 = π 2 360 3 2 ∴阴影部分的面积为 2 3 — π 。 3

2. (2011 山东滨州,23,9 分)根据给出的下列两种情况,请用直尺和圆规找到一条直线, 把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形(不写做法,但需保留作图痕迹);并根据每种情况分 别猜想:∠A 与∠B 有怎样的数量关系时才能完成以上作图?并举例验证猜想所得结论。 (1)如图①△ABC 中,∠C=90°,∠A=24°

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C

B

A

(第 23 题图①)

①作图: ②猜想: ③验 证: (2)如图②△ABC 中,∠C=84°,∠A=24°.
C

B

A

(第 23 题图②)

①作图: ②猜想: ③验证: 【答案】 (1)①作图:痕迹能体现作线段 AB(或 AC、或 BC)的垂直平分线,或作∠ACD=∠A(或∠BCD= ∠B)两类方法均可, 在边 AB 上找出所需要的点 D,则直线 CD 即为所求………………2 分 ②猜想:∠A+∠B=90°,………………4 分 ③验证:如在△ABC 中,∠A=30°,∠B=60°时,有∠A+∠B=90°,此时就能找到一条把△ ABC 恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5 分 [来源:Z&xx&k.Com] (2)答:①作图:痕迹能体现作线段 AB(或 AC、或 BC)的垂直平分线,或作∠ACD=∠ A 或 在线段 CA 上截取 CD=CB 三种方法均可。 在边 AB 上找出所需要的点 D,则直线 CD 即为所求………………6 分 ②猜想:∠B=3∠A………………8 分 ③验证:如在△ABC 中,∠A=32°,∠B=96,有∠B=3∠A,此时就能找到一条把△ABC 恰好 分割成两个等腰三角形的直线。………………9 分 3. (2011 山东威海,20,8 分)我们学习过:在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某一 个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫旋转中心.

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(1)如图①,△ABC≌△DEF,△DEF 能否由△ABC 通过一次旋转得到?若能,请用直尺和圆 规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由.图①[来源:学,科,网 Z,X,X,K] (2)如图②,△ABC≌△MNK,△MNK 能否由△ABC 通过一次旋转得到?若能,请用直尺和圆 规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由. (保留必要的作图痕迹)

图① 就是所求作的旋转中心. 【答案】 解:(1)能,点 O1 就是所求作的旋转中心 :(1

图②

图① 就是所求作的旋转中心. (1)能,点 O2 就是所求作的旋转中心

图②

4. (2011 浙江杭州,18,6)四条线段 a,b,c,d 如图,a:b:c:d=1:2:3:4. (1)选择其中的三 条线段为边作一个三角形(尺规作图, 要求保留作图痕迹, 不必写出作法); (2)任取三条线段, 求以它们为边能作出三角形的概率.

【答案】(1)只能取 b,c,d 三条线段,作图略 (2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果:(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d), (b,c,d),其中能组成三角形的只有(b,c,d),所以以它们为边能作出三角形的概率

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1 . 4 5. (2011 四川重庆,20 ,6 分)为进一步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的矩形广场 的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉 M 到广场的两个入口 A、B 的距离相等,且到 广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半,A、B、C 的位置如图所示.请在答题 卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉 M、位置.(要求:不写已知、求作、作法和结论, 保留作图痕迹,必须用铅笔作图)

【答案】

6. (2011 甘肃兰州,25,9 分)如图,在单位长度为 1 的正方形网格中,一段圆弧经过网 格的交点 A、B、C。 (1)请完成如下操作: ①以点 O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长,建立平面直角 坐标系; ②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心 D 的位置 (不用写作法, 保留作图痕迹) , 并连结 AD、CD。 (2)请在(1)的基础上,完成下列问题: ①写出点的坐标:C 、D ; ②⊙D 的半径= (结果保留根号); (结果保留π); ③若扇形 ADC 是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面面积为 ④若 E(7,0),试判断直线 EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由。 A B C

O 【答案】(1)

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y

A

B C

O

D

E

x

(2) ① C(6,2),D(2,0) ②2 5 ③ π ④相切。 理由:∵CD= 2 5 ,CE= 5 ,DE=5 ∴CD +CE =25=DE ∴∠DCE=90°即 CE⊥CD ∴CE 与⊙D 相切。 7. ( 2011 重庆江津, 23,10 分)A、B 两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公 路所在直线为 x 轴建立如图所示 的平面直角坐标系,且点 A 的坐标是(2,2),点 B 的坐标是 (7,3). (1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点 C,使 C 点到 A、B 两校的距离相 等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标. (2)若在公路边建一游乐场 P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建 游乐场的位置,并求出它的坐标. y .B(7, 3) [来源:学科网 ZXXK] [来源:学§科§网] O 第 23 题图 【答案】(1)存在满足条件的点 C: 作出图形,如图所示,作图略; 答案】 / / (2)作出点 A 关于 x 轴的对称点 A (2,-2), 连接 A B,与 x 轴的交点即为所求的点 P.[来源:Z#xx#k.Com] / / 设 A B 所在的直线的解析式为: y=kx+b, 把 A (2,-2), B(7,3)分别代 入得: .A(2, 2) x
2 2 2[来源:Z_xx_k.Com]

5 4

?7 k + b = 3 ? ? 2 k + b = ?2

解得: ?

?k = 1 · ?b = ?4

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所以: y=x-4· 当 y=0 时,x=4,所以交点 P 为(4,0)· 8. (2011 重庆綦江,19,6 分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医 疗点 P,使 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等( A、B、C 不在 同一直线上,地理位置如下图),请你用尺 规作图的方法确定点 P 的位置. 要求: 写出已知、求作;不写作法,保留作图痕迹. 解:已知:

求作:[来源:Z#xx#k.Com]

【答案】:解:已知:A、B、C 三点不在同一直线上. 求作:一点 P,使 PA=PB=PC. (或经过 A、B、 C 三点的外接圆圆心 P) 正确作出任意两条线段的垂直平分线,并标出交点 P

[来源 :学。科。网] 9. (2011 江苏南京,27,9 分)如图①,P 为△ABC 内一点,连接 PA、PB、PC,在△PAB、△PBC 和△PAC 中,如果存在一个三角形与△ABC 相似,那么就称 P 为△ABC 的自相似点. ⑴如图②,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD 是 AB 上的中线,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,试说明 E 是△ABC 的自相似点. ⑵在△ABC 中,∠A<∠B<∠C. ①如图③,利用尺规作出△ABC 的自相似点 P(写出作法并保留作图痕迹); ②若△ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数. A D A A

P B ① C B

E C ② B ③ C

(第 27 题)

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【答 案】解:⑴在 Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 上的中线,∴ CD = ∠ACB=90°, 上的中线, 解

1 AB , 2

∴CD=BD. ∴CD=BD. ∴∠BCE=∠ABC.∵BE⊥CD,∴∠BEC=90°,∴∠BEC=∠ACB.∴△BCE∽△ABC. ∴∠BCE=∠ABC.∵BE⊥CD,∴∠BEC=90°,∴∠BEC=∠ACB.∴△BCE∽△ABC. 的自相似点. ∴E 是△ABC 的自相似点. ⑵①作图略 作图略. ⑵①作图略. 作法如下:( :(i ∠CBD=∠A; 作法如下:(i)在∠ABC 内,作∠CBD=∠A; ii) ∠BCE=∠ABC; (ii)在∠ACB 内,作∠BCE=∠ABC;BD 交 CE 于点 P. 的自相似点. 则 P 为△ABC 的自相似点. PB、PC. 的内心, ②连接 PB、PC.∵P 为△ABC 的内心,∴ ∠PBC =

1 1 ∠ABC , ∠PCB = ∠ACB . 2 2

△ABC 的自相似点,∴△BCP∽△ABC. ∵P 为△ABC 的自相似点,∴△BCP∽△ABC. ∴∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC=2∠PBC =2∠A, ∴∠PBC=∠A,∠BCP= =2∠A, ∠ACB=2∠BCP=4∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°. ∠ACB=2∠BCP=4∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°. ∴∠A+2∠A+4∠A=180°. ∴∠A+2∠A+4∠A=180°. ∴ ∠A =

180 180 360 720 .∴该三角形三个内角的度数分别为 、 、 . 7 7 7 7

10. 10.(2011 江苏无锡,26,6 分)(本题满分 6 分)如图,等腰梯形 MNPQ 的上底长为 2,腰 长为 3,一个底角为 60°。正方形 ABCD 的边长为 1,它的一边 AD 在 MN 上,且顶点 A 与 M 重合。现将正方形 ABCD 在梯形的外面沿边 MN、NP、PQ 进行翻滚,翻滚到有一个顶 点与 Q 重合即停止滚动。 (1) 请在所给的图中,用尺规画出点 A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图; (2)求正方形在整个翻滚过程中点 A 所经过的路线与梯形 M NPQ 的三边 MN、NP、PQ 所围成图形的面积 S。[来源:学科网][来源:学科网 ZXXK]
N P

C D B A(M) Q

【答案】解:(1)如右图所示.……………………(3 分) 1 1 150 2 2 (2)S = 2[ π·1 + π·( 2) + 1 + π·12] 4 4 360 = 7π + 2.………………………(6 分)[来源:学|科|网] 3

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N

P

C D B A(M) Q

11. (20 11 重庆市潼南,19,6 分)画△ABC,使其两边为已知线段 a、b,夹角为 β . (要求:用尺规作图,写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图;不 [来源:学*科*网] 写作法). 已知:

a
求作:

b

β
19题图 --------- ----1 分

【答案】已知:线段 a、b 、角 β [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 求作:△ABC 使边 BC=a ,AC= b,∠C= β ------------2 分

画图(保留作图痕迹图略) --------------6 分 12. (2011 湖北宜昌,23,10 分)如图 1,Rt△ABC 两直角边的边长为 AC = 1,BC =2. (1) 如图 2, ⊙O 与 Rt△ABC 的边 AB 相切于点 X,与边 CB 相切于点 Y.请你在图 2 中作出 并标明⊙O 的圆心 0;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明) (2) P 是这个 Rt△ABC 上和其内部的动点,以 P 为圆心的⊙P 与 Rt△ABC 的两条边相切. 设⊙P 的面积为 S,你认为能否确定 S 的最大值? 若能,请你求出 S 的最大值;若不能, 请你说明不能确定 S 的最大值的理由.

[来源:学科网] (第 23 题图 1) (第 23 题图 2) 【答案】解 : (1)共 2 分 .( 标 出 了 圆 心 , 没 有 作 图 痕 迹 的 评 1 分 ) 看 见 垂 足 为 Y( X) 的 一 条 垂 线 (或 者 ∠ ABC 的 平 分 线 )即 评 1 分 , [来 源 : 学 +科 +网 ] (2)① 当 ⊙ P 与 Rt △ A BC 的 边 AB 和 BC 相 切 时 , 由 角 平 分 线 的 性 质 , 动 点 P 是 ∠ ABC 的 平 分 线 BM 上 的 点 , 如 图 1, 在 ∠ ABC 的 平 分 线 BM 上 任 意 确 定 点 P 1 ( 不 为 ∠ ABC 的 顶 点 ) , ∵ OX = BOsin ∠ ABM , P 1 Z = BP 1 s in ∠ ABM . 当 BP 1
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> BO 时 , P 1 Z> OX, 即 P 与 B 的 距 离 越 大 , ⊙ P 的 面 积 越 大 . 这 时 , BM 与 AC 的 交 点 P 是 符 合 题 意 的 BP 长 度 最 大 的 点 . ( 3 分 .此 处 没 有 证 明 和 结 论 不 影 响 后 续 评 分 ) 如 图 2, ∵ ∠ BPA > 90°, 过 点 P 作 PE⊥ A B, 垂 足 为 E , 则 E 在 边 AB 上 .∴ 以 P 为 圆 心 、 PC 为 半 径 作 圆 , 则 ⊙ P 与 边 CB 相 切 于 C , 与 边 AB 相 切 于 E, 即 这 时 的 ⊙ P 是 符 合 题 意 的 圆 .( 4 分 .此 处 没 有 证 明 和 结 论 不 影 响 后 续 评 分 ) 这 时 ⊙ P 的 面 积 就 是 S 的 最 大 值 . ∵ ∠ A = ∠ A , ∠ BCA = ∠ AEP = 90°, ∴ Rt △ ABC ∽ Rt △ APE , ( 5 分 ) ∴ =

PA AB

PE .∵ AC= 1, BC= 2 , ∴ AB= BC

5 .设 PC= x, 则 PA= AC- PC = 1- x, PC=

PE, ∴

1? x 5

=

x 2 , ∴ x= .(6 分) 2 2+ 5
2? y 5

② 如 图 3, 理 可 得 : ⊙ P 与 Rt△ ABC 的 边 AB 和 AC 相 切 时 , 源 :Zxxk.Com] 同 当 [来 设 PC= y, 则 =

y 2 , ∴ y= (7 分) 1 1+ 5

③ 如 图 4, 同 理 可 得 : 当 ⊙ P 与 Rt△ ABC 的 边 BC 和 AC 相 切 时 , 设 PF= z, 则

2? z z 2 = , ∴ z= ( 8 分 ) 由 ① , ② , ③ 可 知 : ∵ 2 1 3

5 > 2, ∴

5 + 2>

5 + 1> 3, ∵ 当 分 子 、 分 母 都 为 正 数 时 , 若 分 子 相 同 , 则 分 母 越 小 , 这 个 分
数 越 大 , (或 者 :∵ x =

2 2+ 5

=2

5 - 4, y=

2 1+ 5

=

5 ?1 , 2

∴ y-x=

49 ? 45 >0,∴ y>x. 2 2 - 3 5 ? 1 7 ? 45 2 2 2 = >0, ∴ 2 > > ,( 9 分 ,没 有 过 程 2 6 3 1+ 5 2+ 5 4 π .( 10 分 ) 9
C C

∵ z-y=

直 接 得 出 酌 情 扣 1 分 ) ∴ z> y> x. ∴⊙P 的面积 S 的最大值为

P P O BA (第 23 题答图 1) C A M

B

X (第 23 题答图 1)

Z

E

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C P [来源:Z+xx+k.Com]

B (第 23 题答图 3) 科#网 Z#X#X#K]

A (第 23 题答图 4)[来源:学#

尺规作图
一、解答题 A组 1、(浙江省杭州市 2011 年中考数学模拟)【根据习题改编】 如图,AB//CD,∠ACD=72°﹒ ⑴用直尺和圆规作∠C 的平分线 CE,交 AB 于 E,并在 CD 上取一点 F,使 AC=AF,再连接 AF,交 CE 于 K;(要求保留作图痕迹,不必写出作法) ⑵依据现有条件,直接写出图中所有相似的三角形﹒ (图中 不再增加字母和线段,不要求证明)﹒

A

B

C
第1题

D

答案:解:⑴CE 作法正确得 2 分,F 点作法正确得 1 分,K 点标注正确得 1 分; ⑵△CKF∽△ACF∽△EAK;△CAK∽△CEA (注:共 4 对相似三角形,每正确 1 对可各得 1 分)

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2、 (2011 重庆市纂江县赶水镇) 已知直角三角形的一条 直角边和斜边, 求作此直角三角形. (要求:写出已知,求作,结论,并用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法及证明)[来 源:学,科,网] 已知:

求作:

结论: 答案:略 3、(2011 重庆市纂江县赶水镇)用尺规作角的平分线. (要求:写出已知,求作,保留作图痕迹) 已知:

求作: 答案: 略 4、 (重庆一中初 2011 级 10—11 学年度下期 3 月月考)已知一个三角形的两边分别为 a, b , 这两边的夹角为 α ,请用尺规作图法作出 这个三角形. (要求:写出已知、求作,保留作图痕迹,不写作法,最后要作答)

[来源:学§科§网]

已知: 求作:[来源:Z_xx_k.Com]

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[来源:学科网 ZXX K] 作答: 答案:已知:线段 a,线段 b,角 α 求作:△ABC,使∴C= α ,AC=b,BC=a 图略 作答:△ABC 为所作三角形. 5、(2011 年北京四中四模)如图,已 知线段 a、b. 求作:(1)Rt△ABC,使 ∠ACB = 90 , BC = a, AC = b; [来源:学科网 ZXXK] (2)△ABC 的角平分线 CD 和经过点 A、C、D 的⊙O.(作 CD 和⊙O 不要求写作法,但 要保留作图痕迹)

答案:作法:①作直线 m⊥l , 垂足为 C; ②分别截取 CB = a,CA = b; ③连结 AB,则△ABC 为所求作的三角形;(2)正确作出 CD 得 1 分,正确作出⊙O 得 2 分. 6、(2011 年北京四中五模)尺规作图.试将已知圆的 面积四等分. (保留作图痕迹,不写作法)

[来源:Z+xx+k.Com] 答案:作出第一条直径占 3 分, 第二条直径占 2 分,答占 1 分,共 6 分. 作出第一条直径占 7.(2011 年浙江省杭州市高桥初中中考数学模拟试卷)已知:线段 a,b,∠α(如图). 请用直尺和圆规作一个平行四边形,使它的两条邻边长分别等于线段 a,b,它们的 夹角等于∠α.要求仅用直尺和圆规作图, 写出作法, 并保留作图痕迹.[来源:学科 网 ZXXK] a b

α 第 7 题图 答案:作法 (1)作∠MAN=α

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(2)以 A 为圆心,线段 a 和线段 b 为半径画弧分别交射线 AN 和 AM 于点 D 和 B (3)以 D 为圆心,线段 b 为半径画弧,以 B 为圆心,线段 A 为半径画弧,交于点 C (4)连接 BC,DC.则平行四边形 ABCD 就是所求作的图形. 作图(如下图,共 3 分): N b D [来源:Z+xx+k.Com] a α A b M b a α
第 1 题图

a

C

8. (2011 年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题) (某省海域附近突现一圆形漩涡, 为了能了解详实的信息以便作出对策,政府特派两巡航轮船前往勘察,假使两船分别沿 射线 AB,AC 行进(如图) 是航线 AC 上的点,此时恰与漩涡相切,已知两航线都与漩 ,P 涡相切,求作漩涡的圆心及影响范围. (要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

答案:图略. 1、作出∠BAC 的平分线(有明显尺规作图痕迹) 2、过点 P 作 AC 的垂线(可以用三角尺,不一定尺规作) 3、以上述两直线交点 O 为圆心,OP 为半径作出圆

9、(2011 浙江杭州模拟 14) 数学来源于生活又服务于生活,利用数学中的几何知识可以帮 助我们解决许多实际问题. 李明准备与朋友合伙经营一个超市, 经调查发现他家附近有两个 大的居民区 A、B,同时又有相交的两条公路,李明想把超市建在到两居民区的距离、到两 公路距离分别相等的位置上, 绘制了如下的居民区和 公路的位置图. 聪明的你一定能用所学的数学知识帮 助李明在图上确定超市的位置! 请用尺规作图确定超 但要求保留作图痕迹. ) 市 P 的位置. 作图不写作 法, (
A B b a

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10、(2011 浙江杭州模拟 15) 如图(1)矩形纸片ABCD,把它沿对角线折叠,会得到怎么样的图形呢? (1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图,保留作图轨迹,只需画出 其中一种情况) (2)折叠后重合部分是什么图形?试说明理由。 A B A B

D (1) 11、(2011 浙江杭州模拟 16)

C

D (2)

C

(1)画图,已知线段 a 和锐角 ∠α ,求作 Rt△ABC,使它的一边为 a,一锐角为 ∠α (不 写作法,要保留作图痕迹,作出其中一个满足条件的直角三角形即可)。 (2)回答问题: 1 ○满足上述条件的大小不同的共有 种。

0 2 ○若 ∠α = 30 ,求最大的 Rt△ABC 的面积。

[来源:学科网 ZXXK] 12、(2011 杭州模拟) 如图,已知线段 a 及∠O.

第 11 题

(1)只用直尺和圆规,求作△ABC,使 BC = a ,∠B=∠O,∠C=2∠B(在指定作图 区域作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)在△ABC 中作 BC 的中垂线分别交 AB、BC 于点 E、F, 如果∠B=30°,求四边形 AEFC 与△ABC 的面积之比.
α

a

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(1)作图略 (2)四边形 AEFC 与△ABC 的面积之比为: 2:1 13、(2011 杭州模拟 26) 如图,已知:△ABC 中, (1)只用直尺(没有刻度)和圆规求作一点 P,使点 P 到三角形各边的距离都相等(要 求保留作图痕迹,不必写出作法)。 (2)若△ABC 中 ,AC = AB = 4,∠CAB=120°,那么请计算以△ABC 为轴截面的圆锥的 侧面积(保留根号和 π )。

(1)作任意两角的角平分线,其交点即为所求作的点 P……………………… …………3 分 (2)过 A 作 AD⊥BC 于 D[来源:Zxxk.Com] ∵AC = AB = 4,∠CAB=120° A ∴由 三角函数可得:DC= ∴l=4,r = 2 3 ∴S =

2 3 ………………………………4 分
B C D

π rl = 8 3 π

14、(2011 年浙江省杭州市中考数学模拟 22) (2011 22)( 根据“操作类问题”练习 5 改编) 两个全等的 Rt△ ABC 和 Rt△EDA 如图放置,点 B,A,D 在同一条直线上. 操作:在图中,用尺规作 ∠ABC 的平分线 BF ,过点 D 作 DF ⊥ BF ,垂足为 F ,连 结 CE . 探究:线段 BF,CE 的关系,并证明你的结论。 C

B

A

D

答案:(本小题满分 10 分) (第 14 题)
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E

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操作如图①,

2分

1 CE . 2分 2 证明:如图②,设 CE 交 BF 于点 N ,交 BD 于点 M .
结论: BF ⊥ CE , BF =

∵ Rt△ ABC ≌ Rt△EDA ,∴∠ABC = ∠EDA = 90 , AC = AE ,

∠1 = ∠2 . ∵ BC ∥ DE ,∴∠BCE = ∠DEC ∵ AC = AE ,∴∠3 = ∠4 ,

∴∠5 = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = ∠DEC = 450 , ∴∠5 = ∠DEC = ∠DME = 45 .∴∠BCE = ∠5 = 45 . ∴ BC = BM .
2分

1 1 CM = CM , BF ⊥ CE . 1 分 2 2 1 1 同理 MG == EM ,∴ BF = DF = CE 4分 2 2
又∵ BF 平分 ∠ABC ,∴ MN ==
F C B D

F C
3

N B
5 1

A

M

A G
4 2

D

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]


E

E ②

a 15、(2011年浙江杭州三模)已知:线段a,b,∠α(如图).请 b 用直尺和圆规作 一个平行四边形,使它的两条邻边长分别等于线 段a,b,它们的夹角等于∠α.要求仅用直尺和圆规作图,写出作 α 法,并保留作图痕迹.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 答案:作 法(共 3 分): (1)作∠MAN=α………………1 分 (2)以 A 为圆心,线段 a 和线段 b 为半径画弧分别交射线 AN 和 AM 于点 D 和 B… (3)以 D 为圆心,线段 b 为半径画弧,以 B 为圆心,线段 A 为半径画弧,交于点 C (4)连接 BC,DC.则平行四边形 A BCD 就是所求作的图形.
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第 15 题图

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作图(如下图,共 3 分): N b D a b a C a

α α A M b 第 15 题图 16.(2011 年浙江杭州三模)在一次研究性学习活动中,李平同学 看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形,方法是(如图所示):

D C

1 画线段 AB,分别以点 A、B 为圆心,以大于 AB 的长为半径画弧, 2
两弧相交于点 C, 连结 AC; 再以点 C 为圆心, AC 长为半径画弧, 以 交 AC 的延长线于 D,连结 DB.则△ABD 就是直角三角形. ⑴ 请你说明其中的道理; ⑵ 请利用上述方法作一个直角三角形,使其一个锐角为 30°(不写作法,保留作图痕迹). 答案:解:(1)连接 BC 由作图可知:AC=BC=DC (2)略 17、(2011 年浙江杭 州六模)如图,AB//CD,∠ACD=72°﹒[来源:Z#xx#k.Com] A ⑴用直尺和圆规作∠C 的平分线 CE,交 AB 于 E,并在 CD 上取一点 F,使 AC=AF,再连接 AF,交 CE 于 K; (要求保留作图痕迹,不必写出作法) 易证: ∠ABD = 90°

A

B

B

C ⑵依据现有条件,直接写出图中所有相似的三角形﹒[来源:学#科#网]
第 17 题 (图中不再 增加字母和线段,不要求证明)﹒[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 答案:解:⑴CE 作法正确得 2 分,F 点作法正确得 1 分,K 点标注 正确得 1 分;[来源:学科网 ZXXK] ⑵△CKF∽△ACF∽△EAK;△CAK∽△CEA (注:共 4 对相似三角形,每正确 1 对 可各得 1 分) 18.(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学 2011 年中考数学模拟试卷) 如图,已知:△ABC 中,

D

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(1)只用直尺(没有刻度)和圆规求作一点 P,使点 P 到三角形各边的距离都相等(要 求保留作图痕迹,不必写出作法)。 (2)若△ABC 中,AC = AB = 4 ,∠CAB=120°,那么请计算以△ABC 为轴截面的圆锥的 侧面积(保留根 号和 π )。 C

A

B

答案: (1) 作任意两角的角平分线, 其交点即为所求作的点 P…………………………………3 分 (2)过 A 作 AD⊥BC 于 D ∵AC = AB = 4,∠CAB=120° A ∴由三角函数可得:DC= 2 3 ………………………………4 分 ∴l=4 ,r = 2 3 ∴S = B ……………………………………6 分 C D

π rl = 8 3 π

19. (浙江省杭州市党山镇中 2011 年中考数学模拟试卷) [来源:学科网]

A

B

如图,AB//CD,∠CAB=108°,AC=2. ⑴用直尺和圆规作∠A 的平分线 AE,交 CD 于 E,并在 AB 上取一点 F,使 AC=AF,再连接 CF,交 AE 于 K; (要求保留作图痕迹,不必写出作法) ⑵依据现有条件,直接写出图中所有相似的三角形,并求出 AK . C D (图中不再增加字母和线段,不要求证明). 答案:解:(1)AE 作法正确;………………………………………………………1 分 F 点作法正确;………………………… ………………………………………………………2 分 (2)△CKF∽ △ACF∽△EAK;△CAK∽△CEA;………………………………………………6 分 (3) 5 - 1 ……………………………………………………………………………………8 分

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

B组
1、2011 浙江慈吉 模拟) ( 如图, 直线 CD 经过线段 AB 的一个端点 B, ∠ABC=50°, 点 P 为直线 CD 上一点; 已知⊿PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形, ⊙O 是以 AB 为直径的圆; (1)用圆规和直尺在图中找出点 P, 并作出⊙O; (2)用圆规和直尺过点 P 作出⊙O 的一条切线;[来源:Zxxk.Com] (3)若将将条件“∠ABC=50°”改为“∠ABC= α ( 0 ° < α < 90 °)”讨论当 α 在不同范围内时过点 P 能作⊙O 的切线的条数 .(第(1)、(2)小题保留作图痕迹, 不
C

C

A

B

D

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P

E

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必写作法和证明) 答案: (1)如图,作 AB 的中垂线交直线 CD 于点 P, 则点 P 即为所求的点 (2)以 OP 为直径作圆交⊙O 于点 E 则直线 PE 即是⊙O 的一条切线 (3) 0 ° < α < 45 °时,过点 P 能作⊙O 的 0 条切线 α = 45 °时,过点 P 能作⊙O 的 1 条切线 [来源:学科网 ZXXK] 45 ° < α < 90 °时,过点 P 能作⊙O 的 2 条切线 2.(2011 年重庆江津区七校联考)如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,

大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图所 示,A、B、C 为市内的三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见, 要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选 址.(尺规作图,保留痕迹,不写作 法) A?
* copoyright:x.k.100.com*

B?
答案:作图略 [来源:Zxxk.Com] 3.(2011 年重庆江津区七校联考)

?

C

B

在下面 的网格图中, 每个小正方形的边长均为 1 个 单位,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=6. (1) 试作出△ABC 以 A 为旋转中心、 沿顺时针方向 旋转 90°后的图形△AB1C1; (2)若点 B 的坐标为(-4,5),试建立合适的 直角坐标系,并写出 A、C 两点的坐标; (3)作出与△ABC 关于原点对称的图形△A2B2C2, 并写出 A2、B2、C2 三点的坐标.
答案:

C

A

(1)略

(2)A(-1, B(-4, -1) -1) -5) C2(4,1)

(3)A2(1,1) B2(4,

4.( 2011 年杭州三月月考)如图,已知在等腰△ABC 中,∠A=∠B=30°,过点 C 作 CD⊥AC 交 AB 于点 D. (1)尺规作图:过 A,D,C 三点作⊙O(只要求作出图形,保 留痕迹,不要求写作法); (2)求证:BC 是过 A,D,C 三点的圆的切线; (3)若过 A,D,C 三点的圆的半径为 3 ,则线段 BC 上是否存在一点 P,使得以 P,D,B

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C

A

B

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为顶点的三角形与△BCO 相似.若存在,求出 DP 的长;若不存在,请说明理由.

答案: 解:(1)作出圆心 O, [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 以点 O 为圆心,OA 长为半径作圆. (2)证明:∵CD⊥AC,∴∴ACD=90°. ∴AD 是⊙O 的直径 连结 OC,∵∴A=∴B=30°, ∴∴ACB=1 20°,又∵OA=OC, ∴∴ACO=∴A =3 0°, ∴∴BCO=∴ACB-∴ACO =120°-30°=90°. ∴BC⊥OC, ∴BC 是⊙O 的切线. (3)存在. ∵∴BCD=∴ACB-∴ACD=120°-90°=30°, ∴∴BCD=∴B, 即 DB= DC. 又∵在 Rt△ACD 中,DC=AD ? sin 30° =
A O D C P2 P1 B

3 , ∴BD=

3.

解法一:①过点 D 作 DP1// OC,则△P1D B∽△COB, ∵BO=BD+OD= 2 3 , ∴P1D=

P1 D BD , = CO BO

BD 3 3 ×OC= × 3 = . BO 3 2
P2 D BD = , OC BC

②过点 D 作 DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴ ∵BC= BO 2 ? CO 2 = 3,

BD 3 × OC = × 3 = 1. BC 3 解法二:①当△B P1D∽△BCO 时,∠DP1B=∠OCB=90°.
∴ P2 D = 在 Rt△B P1D 中, DP1= BD ? sin 30° =

3 . 2

②当△B D P2∽△BCO 时,∠P2DB=∠OCB=90°. 在 Rt△B P2D 中, DP2= BD ? tan 30° = 1 .

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[来源:学科网]

5. (2011 杭州市模拟) 杭州市模拟) (本小题满分 8 分)已知 A,B 两点在直线 l 的同侧,试用直尺(没 有刻度)和圆规,在 l 上找两点 C 和 D(CD 的长度为定值 a ),使得 AC+CD+DB 最 短.(不要求写画法)
B A

l C

a

D

(第5题图)

答案:
B′ B

解:(1)过点 A 作 l 的垂线(尺规作图); 在垂线上截取,找到对称点 A′,(2 分) (2)过点 B 作 l 的垂线(尺规作图),垂足为 M, 在 l 上截取线段 MN= a ; (2 分)

A

l C D

(3)分别以 B 点为圆心,以 a 长为半径画弧, 以 N 点为圆心,以 BM 长为半径画弧,交于点 B′;(2 分) (4)连接 A′B′交 l 于点 C,在 l 上截取线段 CD= a . (2 分) [来源:学科网]
6.(2011 北京四中二模)有一块三角形的地, 现要平均分给四农户种植(即四等分三角形
A′

面积).请你在图上作出分法.(不写作法,保留作图痕迹) 答案:不惟一 ① BC 任 意 四 等 分 ③各边中点连结 A

A

② 任 意 的 AD 四 等 分 B A A C

B

C

B

D

C

B

C

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7.(2011 北京四中二模) (本题满分 5 分)请用几何图形“△”、“‖”、“ ”(一个三角形,两条平行线,一 个半圆)作为构件,尽可能构思独特且有意义的图形,并写上一两句贴切,诙谐的解说词. (至少两幅图) 如:

答案: 吊灯

8. (2011 深圳市全真中考模拟一)小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题,在版面设计 过程中需将一个半圆面三等分, 请你帮助她设计一个合理的等分方案. 要求用尺规作出图形, 保留作图痕迹,并简要写出作法.

A

B

答案: 解:

作法:[来源:学科网 ZXXK] (1)作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 O;[来源:Zxxk.Com] (2)分别以 A、B 为圆心,以 AO(或 BO)的长为半径画弧,分别交半圆干点 M、N; (3)连结 OM、ON 即可. [来源:学#科#网] 9.(浙江杭州靖江 2011 模拟) 如图,△ABC 中,AB=A C,∠BAC=108°(1)只用直尺和圆规作图,首先在 BC 上截取 BD =AB,再作 BD 的中垂线,交 AB 于 E,连结 AD,DE.
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(2)与△BDE 相似的三角形有______________.(直接写出答案)(原创)

A

B

C
[来源:学*科*网]

答案:(1)图如下,作出弧 AD 得 1 分,作出 BD 的中垂线得 2 分,连结 AD,DE 得 1 分。

A E B D C

(2)△ADC 和△ABC……………………………2 分 10.(浙江杭州金山学校 2011 模拟)(6 分) (根据 2011 年 3 月杭州市九年级数学月考试题 第 21 题改编) 如图,已知在等腰△ABC 中,∠A=∠B=30°,过点 C 作 CD⊥AC 交 AB 于点 D. (1)尺规作图:过 A,D,C 三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法); (2)求证:BC 是过 A,D,C 三点的圆的切线; 答案:解:(1)作出圆心 O, ……………………2 分

C

以 点 O 为 圆 心 , OA 长 为 半 径 作 圆.………………1 分 (2)证明:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∴AD 是⊙O 的直径……………1 分 连结 OC,∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,
A O

A

C P2 P1

B

D

B

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∴∠ACO=∠A =30°,…………1 分 ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. ∴BC⊥OC,[来源:学科网 ZXXK] ∴BC 是⊙O 的切线. ……………………………………………1 分 11. (浙江杭州进化 2011 一模)(本小题满分 6 分) 数学来源于生活又服务于生活, 利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题. 李 明准备与朋友合伙经营一个超市,经调查发现他家附近有两个大的居民区 A、B,同时又 有相交的两条公路, 李明想把超市建在到两居民区的距离、 到两公路距离分别相等的位置 上, 绘制了如下的居民区和公路的位置图. 聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在 图上确定超市的位置!请用尺规作图确定超市 P 的位置. (作图不写作法,但要求保留作 图痕迹.)
a

答案:略 角平分线正确 ……………………2 分 AB 的中垂线正确 ……………………2 分 结论 ……………………2 分

A

B b

12、(2011 杭州模拟 20)小云出黑板报 时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个 半圆面三等分,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹. 答案:得出圆心 弧上两点各 2 分 ……………………2 分 ……………………4 分

(第 12 题) 13.(2011 年广东省澄海实验学校模拟)如图,在面积为 4 的平行四边形 ABCD 中, 广东省澄海实验学校模拟) 广东省澄海实验学校模拟

作一个面积为 1 的△ABP,使点 P 在平行四边形 ABCD 的边上(用直尺、圆规作图,保留作图痕迹, D 不要求写作法、证明),并写出满足条件的点 P 共有几个。[来源:Zxxk.Com] 解:取 AD 或 BC 的中点 P,…(3 分)连接成三角形……(4 分) A 结论………(5 分)点的个数 2…………(7 分)
第 13 图

C

B

14、 (2011 年浙江杭州 28 模) 某省海域附近突现一圆形漩涡,

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为了能了解详实的信息以便作出对策, 政府特派两巡航轮船前往勘察, 假使两船分别沿射线 AB,AC 行进(如图) 是航线 AC 上的点,此时恰与漩涡相切,已知两航线都与漩涡相切, ,P 求作漩涡的圆心及影响范围. (要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) 答案:作出∠BAC 的平分线(有明显尺规作图痕迹) 过点 P 作 AC 的垂线(可以用三角尺,不一定尺规作) 以上述两直线交点 O 为圆心,OP 为半径作出圆

[来源:Zxxk.Com]

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