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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4综合检测题:第三章 三角恒等变换


第三章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) π π 1.sin212-cos212的值为( 1 A.-2 [答案] C π π

[解析] 原式=-(cos212-sin212) π 3 =-cos6=- 2 . 3 2.(2013· 浙江文)函数 f(x)=sinxcosx+ 2 cos2x 的最小正周期和 振幅分别是( A.π,1 C.2π,1 [答案] A 1 3 π [解析] f(x)=2sin2x+ 2 cos2x=sin(2x+3),周期 T=π,振幅为 1,故选 A. 3 1 3.(2013 昆明一中模拟)cos10° sin170° - =( ) ) B.π,2 D.2π,2 1 B.2 ) 3 C.- 2 3 D. 2

A.4 C.-2 [答案] D [解析]

B.2 D.-4

3sin10° -cos10° 3 1 3 1 -sin170° cos10° sin10° = - = sin10° cos10° cos10° =

2sin?10° -30° 2sin?-20° -2sin20° ? ? =sin10° = =-4. sin10° cos10° cos10° 1 2sin20° π 4.(2013 莱州一中月考)tanθ 和 tan(4-θ)是方程 x2+px+q=0 的 两根,则 p、q 之间的关系是( A.p+q+1=0 C.p+q-1=0 [答案] D [解析] π 根据根与系数之间的关系可得 tan(4-θ)+tanθ=-p, ) B.p-q-1=0 D.p-q+1=0

π tan?4-θ?+tanθ -p π π π tan(4-θ)tanθ=q, ∴tan(4-θ+θ)= = , tan4= 即 π 1-q 1-tan?4-θ?tanθ -p =1, 1-q ∴p-q+1=0. sinα+cosα 1 5.(2012· 江西文)若 = ,则 tan2α=( sinα-cosα 2 3 A.-4 4 C.-3 [答案] B 3 B.4 4 D.3 )

sinα+cosα [解析] 本题考查三角恒等变换, “弦”化“切”. 由 sinα-cosα 1 tanα+1 1 =2得 = 即 2tanα+2=tanα-1, tanα-1 2 ∴tanα=-3,∴tan2α= 2×?-3? -6 3 2tanα = = ,“弦”化 2 = 1-tan α 1-?-3?2 -8 4

“切”,“切”化“弦”都体现了转化与化归思想. 4 6.若 tanα=3,tanβ=3,则 tan(α-β)等于( A.-3 C.3 [答案] D tanα-tanβ = 1+tanαtanβ 1 =3. 4 1+3×3 ) 4 3-3 1 B.-3 1 D.3 )

[解析] tan(α-β)=

7.cos275° +cos215° +cos75°cos15° · 的值是( 5 A.4 3 C.2 [答案] A 6 B. 2 2 D.1+ 3

1 5 [解析] 原式=sin215° +cos215° +sin15° cos15° =1+2sin30° 4. = 8.y=cos2x-sin2x+2sinxcosx 的最小值是( A. 2 C.2 [答案] B B.- 2 D.-2 )

π [解析] y=cos2x+sin2x= 2sin(2x+4), ∴ymax=- 2. 1 3 9.(2013· 温州模拟)设 a=2cos6° 2 sin6° - ,b=2sin13° cos13° ,c = 1-cos50° ,则有( 2 A.a>b>c C.b<c<a [答案] D [解析] a=sin24° ,b=sin26° ,c=sin25° . ∵sin24° <sin25° <sin26° ,∴a<c<b. 4 10.若 sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=5,且 α 是第二象限角,则 π tan(4+α)等于( A.7 1 C.7 [答案] C 4 [解析] ∵sin(α-β)sinβ-cos(α-β)cosβ=5 4 ∴cosα=-5 3 又 α 是第二象限角,∴sinα=5 3 则 tanα=-4. ) B.-7 1 D.-7 ) B.a<b<c D.a<c<b

π 3 tan4+tanα 1-4 π 1 ∴tan(α+4)= = 3=7. π 1-tan4tanα 1+4 π 11.y=sin(2x-3)-sin2x 的一个单调递增区间是( π π A.[-6,3] 5 13 C.[12π,12π] [答案] B [解析] π π π y=sin(2x-3)-sin2x=sin2xcos3-cos2xsin3-sin2x=- π 7 B.[12,12π] π 5π D.[3, 6 ] )

π π π π (sin2xcos3+cos2xsin3)=-sin(2x+3),其增区间是函数 y=sin(2x+3) π π 3π π 7π 的减区间,即 2kπ+2≤2x+3≤2kπ+ 2 ,∴kπ+12≤x≤kπ+12,当 π 7π k=0 时,x∈[12,12]. 1 1 12.已知 sin(α+β)=2,sin(α-β)=3,则 log A.2 C.4 [答案] C 1 1 [解析] 由 sin(α+β)=2,sin(α-β)=3得 B.3 D.5
5(

tanα 2 tanβ) 等于(

)

?sinαcosβ+cosαsinβ=1 ? 2 ? 1 ?sinαcosβ-cosαsinβ=3 ?
tanα ∴tanβ=5,

?sinαcosβ= 5 ? 12 ,∴? 1 ?cosαsinβ=12 ?



∴log

5(

tanα 2 tanβ) =log

55

2

=4.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确 答案填在题中横线上) 13.(1+tan17° )(1+tan28° )=________. [答案] 2 [解析] 28° = ) 原式=1+tan17° +tan28° +tan17°tan28° · ,又 tan(17° +

tan17° +tan28° = tan45°= 1 , ∴ tan17°+ tan28°= 1 - 1-tan17°tan28° ·

tan17°tan28° · ,代入原式可得结果为 2. π? 4 ? 14.(2012· 全国高考江苏卷)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则
? ?

π? ? sin?2α+12?的值为______.
? ?

[答案]

17 2 50

π π 2π [解析] ∵α 为锐角,∴6<α+6< 3 , π? 4 π? 3 ? ? ∵cos?α+6?=5,∴sin?α+6?=5;
? ? ? ?

π? π? ? π? 24 ? ? ∴sin?2α+3?=2sin?α+6?cos?α+6?=25,
? ? ? ? ? ?

π π π 7 cos(2α+3)=cos(α+6)2-sin2(α+6)=25 π? π π? π? π π? π ? ? ? ? ∴sin ?2α+12? =sin ?2α+3-4? =sin ?2α-3? cos 4 -cos ?2α+3? sin 4
? ? ? ? ? ? ? ?

17 2 = 50 .

?1+tanx?cos2x π 15.(2013 长春二模)函数 f(x)= 的定义域为(0,4), cos2x+sin2x 则函数 f(x)的值域为________. [答案] [ 2+ 2 4 ,1)

?1+tanx?cos2x [解析] f(x)= cos2x+sin2x 1 1 =2+ π, 2 2sin?2x+4? π π 2 ∵x∈(0,4),∴sin(2x+4)∈( 2 ,1], 2+ 2 ∴f(x)的值域为[ 4 ,1). 5 α 16.(2013 南通调研)设 α、 β∈(0,π),且 sin(α+β)=13,tan2= 1 2,则 cosβ 的值为________. 16 [答案] -65 α 1 1 4 3 [解析] 由 tan2=2得 sinα= = 1=5,cosα=5, α 1+tan22 1+4 5 π 由 sin(α+β)=13<sinα,α,β∈(0,π),α+β∈(2,π), 12 ∴cos(α+β)=-13. 16 cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-65. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 70 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) α 2tan2

3 3 17.(本题满分 10 分)已知 cosα-sinα=5 2,且 π<α<2π,求 sin2α+2sin2α 的值. 1-tanα [解析] 3 2 18 因为 cosα-sinα= 5 ,所以 1-2sinαcosα=25,所以

7 2sinαcosα=25. 3π 4 2 又 α∈(π, 2 ),故 sinα+cosα=- 1+2sinαcosα=- 5 , 所 以 sin2α+2sin2α 1-tanα = ?2sinαcosα+2sin2α?cosα cosα-sinα =

7 4 2 ×?- 5 ? 2sinαcosα?cosα+sinα? 25 28 = =-75. cosα-sinα 3 2 5 18. (本题满分 12 分)已知 α、 均为锐角, cosα= β 且 求 α-β 的值. [解析] 已知 α、β 均为锐角,且 cosα= 则 sinα= 又∵sinβ= 1-? 2 2 1 ?= . 5 5 1-? 3 2 1 ?= . 10 10 2 , 5 2 3 , sinβ= , 5 10

3 ,∴cosβ= 10

∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ = 1 1 2 3 5 2 × - × =- =- 2 . 5 10 5 10 50

π 又∵sinα<sinβ,∴0<α<β<2.

π π ∴-2<α-β<0.∴α-β=-4. π π π π 19.(本题满分 12 分)已知-2<α<2,-2<β<2,且 tanα、tanβ 是 方程 x2+6x+7=0 的两个根,求 α+β 的值. [解析] 由题意知 tanα+tanβ=-6,tanαtanβ=7 ∴tanα<0,tanβ<0. π π π π 又-2<α<2,-2<β<2, π π ∴-2<α<0,-2<β<0. ∴-π<α+β<0. ∵tan(α+β)= tanα+tanβ -6 = =1, 1-tanαtanβ 1-7

3π ∴α+β=- 4 . 20.(本题满分 12 分)已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角,向量 m=(-1, 3),n=(cosA,sinA),且 m· n=1. (1)求角 A; 1+sin2B (2)若 2 =-3,求 tanC. cos B-sin2B [解析] (1)∵m· n=1, 3 1 ∴ 3sinA-cosA=1,2(sinA·2 -cosA·)=1, 2 π 1 sin(A-6)=2, π π 5π ∵0<A<π,-6<A-6< 6 , π π π ∴A-6=6.∴A=3.

1+2sinBcosB (2)由题知 =-3, cos2B-sin2B ?cosB+sinB?2 ∴ =-3 ?cosB+sinB??cosB-sinB? ∴ ∴ cosB+sinB =-3 cosB-sinB 1+tanB =-3,∴tanB=2. 1-tanB

∴tanC=tan[π-(A+B)] tanA+tanB 8+5 3 =-tan(A+B)=- = 11 . 1-tanAtanB π 21.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+3)+sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 C 1 (2)设 A、B、C 为△ABC 的三个内角,若 cosB=3,f( 2 )=-4, 且 C 为锐角,求 sinA. [解析] π π π (1)f(x) = cos(2x + 3 ) + sin2x = cos2xcos 3 - sin2xsin 3 +

1-cos2x 1 1+ 3 3 =2- 2 sin2x,所以函数 f(x)的最大值为 2 ,最小正周期 2 为 π. C 1 3 1 (2)f( 2 )=2- 2 sinC=-4, 3 所以 sinC= 2 . π 因为 C 为锐角,所以 C=3. 1 在△ABC 中,cosB=3,

2 所以 sinB=3 2. 所以 sinA=sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC 2 1 1 3 2 2+ 3 =3 2×2+3× 2 = . 6 22.(本题满分 12 分)(2013· 江苏理)已知向量 a=(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α、 β 的值. [解析] (1)由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a· 2=2. b+b 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以 2-2a· b=2,即 a· b=0, 故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
?cosα+cosβ=0, ? 所以? ? ?sinα+sinβ=1,

由此得,cosα=cos(π-β), 由 0<β<π,得 0<π-β<π, 又 0<α<π,故 α=π-β.代入 sinα+sinβ=1 得, 1 sinα=sinβ=2,而 α>β, 5π π 所以 α= 6 ,β=6.


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