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高中奥林匹克数学的技巧(C篇)


高中奥林匹克数学的技巧(C 篇) 2-7-18 优化假设 对已知条件中的多个量作有序化或最优化(最大、最小、最长、最短)的假定,叫做优化假设, 常取“极端” 、 “限定” 、 “不妨设”的形式。由于假设本身给题目增加了一个已知条件,求解也就常 能变得容易。求解 IMO10?4 , IMO24?6 , IMO29?6 都用到这一技巧。 例 2-166 空间 2n(n ? 2) 个点

,任 4 点不共面,连 n ? 1条线段,证明其中至少有 3 条边组成 2 一个三角形。 证明 设其中任意三条线段都不能组成三角形,并设从 A1 点引出的线段最多(优化假设) , 且这些线段为 A1B1,A1B2,?A1Bk,除 A1,B1,B2,?,Bk 之外,其他点设为 A2,A3,?,A2n-k。 显然 ?B1 , B2 ,…, Bk ? 中任两点间无线段相连。于是,每一个 Bi 发出的线段至多( 2n ? k )条,而每 个 Aj 发出的线段至多 k 条( i ? 1, 2,…, kj ? 1, 2,…, 2n ? k ) ,故线段总数最多为(图 2-65) : 1 k ? (2n ? k ) 2 [l (2n ? k ) ? (2n ? k )k ] ? k (2n ? k ) ? [ ] ? n2 2 2 这与已知条件连 n ? 1条线段矛盾,故存在三条线段组成一个三角形。 2 例 2-167 平面上的有限个圆盘盖住了面积为 1 的区域 S, 求证可以从中选出一些互不相交的原 盘来,使它们的面积之和不小于 证明 1 。 9 将圆心为 O,半径为 r 的原盘记为 C (o, r ) 。首先取全体圆盘中面积最大的一个记为 然后在与 C (o1 , r 记为 C (o2 , r2 ) , 接着在与 C (o1 , r C(o1 , r1 ) ; 1 ) 不相交的圆盘中取面积最大的一个, 1) , C (o2 , r2 ) 都不相交的圆盘中取面积最大的一个,记为 C (o3 , r3 ) ,继续这一过程,直到无圆可取为止, 设取得的圆盘依次为 C (o1 , r 1 ) , C (o2 , r2 ) ,?, C (on , rn ) (1) 则(1)中的圆盘互不相交,且剩下的圆盘均与(1)中的某一圆盘相交。下面证明, (1)中各 圆面积之和 S1 ? S2 ? … ? Sn 不小于 1 。 9 o ,r ) 。这个 C (o, r ) 或在(1)中,或与(1) 任取 x ? S ,必存在一个已知圆盘 C (o, r ) ,使 c ?C ( 中的圆盘相交,反正必与( 1 )有重迭部分,现设( 1 )中与 C ( o, r ) 有公共部分的最大圆盘为 C(ok , rk )(1? k ? n ),因为 C (o, r ) , C (ok , rk ) 与 C(o1 , r1 ) , C (o2 , r2 ) ,?, C(ok ?1 , rk ?1 ) 均不相交, 故 由 C (ok ,rk )的 取 法 知 r ? rk , 且 由 C(o, r ) 。这表明 S ? U C (oi ,3ri ) x ? C(ok , 3 rk ) i ?1 n C(ok , rk ) ? ? 知 , C(o ,r )? C o ( k ,r 3 ) 更有 k , 1 从而 1 ? ? (3r1 )2 ? ? (3r2 )2 ? …? ? (3rn )2 ? 9(? r12 ? ? r22 ? …? ? rn2 ) ? 9(S1 ? S2 ? …? S

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