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江苏省南通市通州区石港中学2014届高一上学期期末复习(2)(数学)


南通市通州区石港中学期末复习高一数学试卷二
班级 姓名
时间:120分钟 总分:160分

学号

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1 . 已 知 集 合 A ? ?? 1,2,3? , f : x ? 2 x ? 1 是 集 合 A 到 集 合 B 的 映 射 , 则 集 合 B ?

▲ . ▲ .

2.已知集合 A ? ? ,4? , B ? ?? ?, a ?,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 1 3.函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x ▲ .
2 m2 ? m?3

是幂函数,且在 (0,?? ) 上为减函数,则实数 m 的值为

4. sin

25? 25? ? 25? ? ? cos ? tan? ? ?? 6 3 4 ? ?
x 2 ?1





5.函数 y ? 2

的最小值是



. . ▲ .

6.若方程 ln x ? 6 ? 2x 的解为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k ? 7.若二次函数 y ? ax2 ? 4x ? 2 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是

8.

3 ? sin 70 0 ? 2 ? cos2 10 0


?



9. a ? (sin 设

) ,b ? 2 12
2

?

tan

12 ,

则 c ? log2 (cos ) , a, b, c 由小到大的顺序为 12 ▲ .

?





?1 ? x 2, x ≤1, ? 1 ? ? 10. 设函数 f ( x) ? ? 2 则f? ? 的值为 ? x ? x ? 2,x ? 1, ? f (2) ? ?
11. 已知角 ? 的终边经过点 P ( ?x,?6) ,且 cos? ? ?

1 1 5 ,则 ? ? 13 sin? tan?





12.已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且在区间 ?0,?? ? 上是单调递增,若

f (lg2 ? lg50 ? (lg5)2 ) ? f (lgx ? 2) ? 0 ,则 x 的取值范围为
13.函数 f ( x) ? 3 sin( x ? 2





?
3

函数的最小正周期是 ? ; ② 图象 ) 的图象为 C .如下结论: ① ③ 数 f ( x)在区间 ? 函 ( )上是增函数; , 12 12

C 关于直线 x ?

11 ? 对称; 12

? 5?

④ 由

y ? 3 sin 2 x 的 图 象 向 右 平 移

? 个单位长度可以得到图象 C . 其中正确的是 3
1



. (写出所有正确结论的序号)

14.若 f ( x) ? loga (ax2 ? ax ? ) 在 [1, ] 上恒正,则实数 a 的取值范围是

1 2

3 2





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分)
2 m x m (1)已知 f ( x) ? 2m cos x ? 2 3 sinx? cos ? n ( ?

0) 的定义域为 [0,

?
2

],值域为

[1, 4] ,求 m + n 的值。 (2)在 △ ABC 中, a,b, c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若

b ? 2,

A?

C 5 π , cos ? .求 sinB , sinC 的值。 2 5 4

16.(本题满分 14 分)

1? x 的定义域为 A , 集合 B 是不等式 x 2 ? (2a ?1) x ? a2 ? a ? 0 的 x?2 解集.(Ⅰ) 求 A , B ;(Ⅱ) 若 A U B ? B , 求实数 a 的取值范围.
已知函数 f ( x) ? lg

2

17.(本题满分 15 分) 已 知 函 数 f ( x) ? sin2 x cos? ? 2 cos2 x sin( ? ? ) ? cos( ? ? )(? ?

?

?
2

x?

?
6

2

?? ?

?
2

) 在

时取得最大值.

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f (x) 图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

1 ? y ? g (x ) 的图象,若 g (? ) ? ,? ? (? ,0) ,求 cos? 的值. 3 2

18.(本题满分 15 分)

? 2x ? a ( a ? 0, b ? 0 ) . 2 x ?1 ? b (1)当 a ? b ? 1时,证明: f (x ) 不是奇函数; (2)设 f (x ) 是奇函数,求 a 与 b 的值;
设 f ( x) ? (3)在(2)的条件下,求不等式 f ( x ) ? 0 的解集.

3

19.(本题满分 16 分) 如图,在半径为 R 、圆心角为 60 的扇形 AB 弧上任取一点 P ,作扇形的内接矩形
0

PNMQ ,使点 Q 在 OA上,点 M 、 N 在 OB 上.记 ?BOP? ? ,矩形 PNMQ 的面
积为 S .求: (1) S (? ) 的函数解析式,并写出其定义域; A (2) S (? ) 的最大值,及此时 ? 的值. Q O M N P B

20.(本题满分 16 分) 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意的 x1 , x 2 ? R ,都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 成立,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 .
(1)求 f (0) 的值; (2)求证: f ( x ) 是 R 上的增函数; (3) 若 f (4) ? 5 , 不等式 f (cos2 x ? a sinx ? 2) ? 3 对任意的 x? R 恒成立, 求实数 a 的 取值范围.

4

高一数学试卷二答案
1. B ? ?? 3,3,5? 2. ?4,?? ?
2 2 3. ? 1 解析:由 m ? m ? 1 ? 1 得 m ? ?1 m ? 2 ,代入 m ? m ? 3 ? 0 只有 m ? ?1 适合 或

4.0

5.

1 2

6.2 解析:画出 y ? ln x 和 y ? 6 ? 2 x 的图象可看出交点的横坐标在 2 与 3 之间 7. a ? ?2, a ? 0 8.2 解:原式 ?

3 ? sin 70? 2(3 ? cos 20? ) ? ?2 cos 20? ? 1 3 ? cos 20? 2? 2

9. c ? a ? b 10.

解:可判断出 a ? 1 , b ? 1, c ? 0

15 16 12 12 2 11. ? 解:由已知可得α 的终边在第三象限,可求出 sin ? ? ? , tan ? ? ,下略 3 13 5
12. (0,10)解:先求 lg2? lg50 ? (lg5)2 ? (1? lg5)(1? lg5) ? (lg5)2 ? 1 ,可判断 f ( x) 在 R 上是增函数,不等式变为 f (1) ? f (2 ? lg x)得 ? 2 ? lg x得lg x ? 1故x ? 10又x ? 0 1 13.①②③ 14. (0, ) 解:设 u ? ax 2 ? ax ? 数,

2 3

1 1 3 ,对称轴为直线 x ? , a ? 0 ,故其在 [1, ] 上为增函 2 2 2

1 3 1 1 3 1 a ? ] ,当 a ? 1 时, f (u) ? loga u 在 u ? [ , a ? ] 时不可能恒正, 2 4 2 2 4 2 1 3 1 3 1 2 当 0 ? a ? 1 时, f (u) ? loga u 在 u ? [ , a ? ] 时恒正,需 a ? ? 1 得 a ? 2 4 2 4 2 3
所以 u ? [ , 故 a ? ? 0, ? 15.(本题满分 14 分) 解: (1) m+n=3 (2)由题意,得 cosC ? 2 cos2

? ?

2? 3?

C 3 4 ? 1 ? ? , sinC ? , 2 5 5
2 10

sin B ? sin( π ? A ? C ) ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ?
16.(本题满分 14 分)

5

解:(Ⅰ)由

x ?1 ? 0,得 x ? ?1 或 x ? 2 ,即 A= ?? ?,?1? U (2,?? ) x?2

………4 分 ………………6 分 ………………8 分 ………………10 分

由 x 2 ? (2a ?1) x ? a2 ? a ? 0 ,得: [ x ? (a ? 1)](x ? a) ? 0 所以 x ? a 或 x ? a ?1 ,即 B ? (?? , a ) U (a ? 1,?? ) . (Ⅱ) 由 A U B ? B 得 A ? B

? a ? ?1 ?? ? ?1 ? a ? 1 , ?a ? 1 ? 2
故当 A U B ? B 时, 实数 a 的取值范围是 ?? 1,1? . 17.(本题满分 15 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x cos ? ? (1 ? cos 2 x) sin ? ? sin ? ………………2 分 ………………4 分 ………………14 分

? sin 2 x cos? ? cos 2 x sin ? ? sin( 2 x ? ? )

? 函数 y ? f (x) 在 x ?

?
6

时取得最大值

?sin( ? 2 ?? ?
又? ?

?

?

? ? ) ? 1 ? sin( ? ) ? ?1 ? 6 3 3 2 ? 2k? ? ?? ?

?

?

?

?
2

3

? ? ? 2k? ? ?? ? ?

?

?
6

6

,k ? Z

………………6 分 ………………7 分

(Ⅱ)由(1)可知 f ( x) ? sin( x ? 2

?
6

)

………………8 分

则将函数 y ? f (x) 图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得 到函数 y ? g (x ) 为 g ( x) ? sin( ? x

?

? 1 ) ,故 g (? ) ? sin( ? ) ? ……10 分 ? 6 6 3
?c o s ( ? ?

?? ? (? ,0) 2

?

?? ?

?

? (? , ) 6 3 6

? ?

?
6

)?

2 2 ……12 分 3

? ? ? ? ? ? 2 6 ?1 cos? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin( ? ? ) sin ? 6 6 6 6 6 6 6
………………15 分 18.(本题满分 15 分)

? 2x ?1 解: (1)举出反例即可. f ( x) ? x ?1 , 2 ?1

6

? 2 ?1 1 ? ? , f (?1) ? 2 5 2 ?1 所以 f (?1) ? ? f (1) , f (x ) 不是奇函数; (2) f (x ) 是奇函数时, f (? x) ? ? f ( x) , f (1) ?


?

1 ?1 1 2 ? , 2 4

………………2 分 ………………4 分

? 2?x ? a ? 2x ? a ? ? x ?1 对定义域内任意实数 x 成立. ………………6 分 2 ? x ?1 ? b 2 ?b 化简整理得 (2a ? b) ? 22 x ? (2ab ? 4) ? 2 x ? (2a ? b) ? 0 ,这是关于 x 的恒等式,所以 ? a ? ?1 ? a ? 1 ?2a ? b ? 0, 所以 ? 或? . …………9 分 ? ?b ? ?2 ?b ? 2 ?2ab ? 4 ? 0
经检验 ?

?a ? 1 符合题意. ?b ? 2

…………10 分

(3)由(2)可知 f ( x ) ?

? 2x ?1 2 x ?1 ? 2

………………11 分

由 f ( x) ? 0 得:

? 2x ? 1 ? 0 ? ?2 x ? 1 ? 0 2 x ?1 ? 2
? 2x ? 1 ? x ? 0

………………13 分

………………14 分 …………15 分

即 f ( x) ? 0 的解集为 (?? ,0) 19.(本题满分 16 分)

解: (1) ?OP? R , ?BOP? ?

? ON ? R cos? , QM ? PN ? R sin ? , OM ? R sin ? 3

QM R sin ? ………………3 分 tan 60 0 3
………………5 分

? MN ? ON ? OM ? R cos? ?

? S ? PN ? MN ? R sin? ? R(cos? ?

sin? sin2 ? ) ? R2 (sin? cos? ? ) ……7 分 3 3

1 1 1 R2 ? R2 ………10 分 ? R2 ( sin2? ? cos2? ? )? sin( ? ? ) ? 2 2 6 2 3 2 3 2 3 3
其定义域为 (0, (2) ?? ? (0,

?
3

)

………………11 分

?
3

) ,? 2? ?

?

? 5? ?( , ) 6 6 6

………………13 分

7

? 当 2? ?

?
6

?

?
2

即? ?

?
6

时, S max ?

R2 3

?

R2 2 3

?

3 2 R 6

故 S (? ) 的最大值为 20.(本题满分 16 分)

3 2 ? R ,此时 ? ? 6 6

………………16 分

(1)解:定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意的 x1 , x 2 ? R , 都有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 成立 令 x1 ? x2 ? 0, 则f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ?1 ? f (0) ? 1 (2)证明: 任取 x1 , x 2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ? x2 ) ? 1 ………3 分 ………4 分 ………6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x ) 是 R 上的增函数 (3) 解:∵ f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,且 f (4) ? 5 ∴ f ( 4 ) ? f ( 2) ? f ( 2 ) ? 1 ? f ( 2) ? 3

………8 分

………10 分

由不等式 f (cos2 x ? a sinx ? 2) ? 3 得 f (cos2 x ? a sinx ? 2) ? f (2) 由(2)知: f ( x ) 是 R 上的增函数

? cos 2 x ? a sin x ? 2 ? 2 ? cos 2 x ? a sin x ? 4 ? 0 ? sin 2 x ? a sin x ? 3 ? 0 11 分
令 t ? sin x ? ?? 1,1? 则 g (t ) ? t ? at ? 3 ? (t ? ) ?
2

a 2

2

a2 ?3, 4
……12 分 ………13 分

故只需 g (t ) min ? 0 当

a ? ?1即 a ? ?2 时, g (t ) min ? g (?1) ? a ? 4 ? 0 ? ?4 ? a ? ?2 2

a a2 a ? 3 ? 0 ? ?2 ? a ? 2 …14 分 当 ? 1 ? ? 1 即 ? 2 ? a ? 2 时, g (t ) min ? g ( ) ? ? 2 4 2


a ? 1 即 a ? 2 时, g (t ) min ? g (1) ? ?a ? 4 ? 0 ? 2 ? a ? 4 2

………15 分 ………16 分

综上所述, 实数 a 的取值范围 ?? 4.4?
8


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