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高一数学《1.2应用举例(二)》


1.2 解三角形应用举例

第二课时

一、教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题 2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法,养成良好的研究、探索习惯。 3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 二、教学重点、难点 重点:结合实际测量工具,解决生活中的测

量高度问题 难点:能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件 三、教学过程 Ⅰ.课题导入 提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的飞机上 测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。

分析:求 AB 长的关键是先求 AE,在 ? ACE 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再测出由 C 点观察 A 的仰角,就可以计算出 AE 的长。 解:选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测得 A 的 仰角分别是 ? 、 ? ,CD = a,测角仪器的高是 h,那么,在 ? ACD 中,根据正弦定理可得 AC =
a sin ? sin(? ? ? )

AB = AE + h=AC sin ? + h= a sin ? sin ? + h
sin(? ? ? )

例 2、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ? 40? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角
? ? =50 1? 。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗? 若在 ? ABD 中求 CD,则关键需要求出哪条边呢? 生:需求出 BD 边。 师:那如何求 BD 边呢? 生:可首先求出 AB 边,再根据 ? BAD= ? 求得。 解:在 ? ABC 中, ? BCA=90 ? + ? , ? ABC =90 ? - ? ,

? BAC= ? - ? , ? BAD = ? .根据正弦定理,
BC sin(90? ? ? ) BC cos ? = sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

BC AB = sin(? ? ? ) sin(90 ? ? ? )

所以 AB =

在 Rt ? ABD 中,得 BD =ABsin ? BAD=

BC cos ? sin ? sin(? ? ? )

将测量数据代入上式,得 BD =

27.3 cos 50?1? sin 54?40? 27.3 cos 50?1? sin 54?40? = ≈177 (m) sin(54?40? ? 50?1?) sin 4?39?

CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为 150 米. 思考:有没有别的解法呢?若在 ? ACD 中求 CD,可先求出 AC。思考如何求出 AC? 例 3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏 南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? ,求此山的高 度 CD.

思考 1:欲求出 CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢? (在 ? BCD 中) 思考 2:在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长? (BC 边) 解:在 ? ABC 中, ? A=15 ? , ? C= 25 ? -15 ? =10 ? ,根据正弦定理,

BC AB AB sin A = , BC = ≈ 7.4524(km) CD=BC ? tan ? DBC≈BC ? tan8 ? ≈1047(m) sin C sin A sin C 答:山的高度约为 1047 米 Ⅲ.课堂练习:课本第 17 页练习第 1、2、3 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资 料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化。 Ⅴ.课后作业 1、 作业: 《习案》作业五


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