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2011年北京延庆县中考一模《数学》试题及答案


2006 年全国中考数学压轴题全析全解
1、 (2006 重庆)如图 1 所示,一张三角形纸片 ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边 AB 的中 线 CD 把这张纸片剪成 ? A C 1 D 1 和 ? B C 2 D 2 两个三角形(如图 2 所示).将纸片 ? A C 1 D 1 沿 直线 D 2 B (AB)方向平移(点 A , D 1 , D 2

, B 始终在同一直线上) ,当点 D 1 于点 B 重合时, 停止平移.在平移过程中, C 1 D 1 与 B C 2 交于点 E, A C 1 与 C 2 D 2、 B C 2 分别交于点 F、P. (1) 当 ? A C 1 D 1 平移到如图 3 所示的位置时,猜想图中的 D 1 E 与 D 2 F 的数量关系,并证明 你的猜想; (2) 设平移距离 D 2 D 1 为 x , ? A C 1 D 1 与 ? B C 2 D 2 重叠部分面积为 y ,请写出 y 与 x 的函数 关系式,以及自变量的取值范围; (3) (2) 对于 中的结论是否存在这样的 x 的值, 使重叠部分的面积等于原 ? A B C 面积的 若存在,求 x 的值;若不存在,请说明理由.
1 4

.

C

C1

C2

C1 P F E D1 B

C2

A

D

B

A

D1

D2

B

A

图1

D2

图2

图3

[解]

(1) D 1 E ? D 2 F .因为 C 1 D 1∥ C 2 D 2 ,所以 ? C 1 ? ? A F D 2 .

又因为 ? A C B ? 9 0 ? ,CD 是斜边上的中线, 所以, D C ? D A ? D B ,即 C 1 D 1 ? C 2 D 2 ? B D 2 ? A D 1 所以, ? C 1 ? ? A ,所以 ? A F D 2 ? ? A 所以, A D 2 ? D 2 F .同理: B D 1 ? D 1 E . 又因为 A D 1 ? B D 2 ,所以 A D 2 ? B D 1 .所以 D 1 E ? D 2 F (2)因为在 R t ? A B C 中, A C ? 8, B C ? 6 ,所以由勾股定理,得 A B ? 1 0 .
D C Q B A P

1

即 A D1 ? B D 2 ? C 1 D1 ? C 2 D 2 ? 5 又因为 D 2 D 1 ? x ,所以 D 1 E ? B D 1 ? D 2 F ? A D 2 ? 5 ? x .所以 C 2 F ? C 1 E ? x 在 ? B C 2 D 2 中, C 2 到 B D 2 的距离就是 ? A B C 的 A B 边上的高,为
24 5
h 24 5 ? 5? x 5

. .

设 ? B E D 1 的 B D 1 边上的高为 h ,由探究,得 ? B C 2 D 2 ∽ ? B E D 1 ,所以
2 4 (5 ? x ) 25

所以 h ?

. S ?BED ?
1

1 2

? B D1 ? h ?

12 25

(5 ? x )

2

又因为 ? C 1 ? ? C 2 ? 9 0 ? ,所以 ? F P C 2 ? 9 0 ? . 又因为 ? C 2 ? ? B , s in B ? 所以 P C 2 ? 而 y ? S ?BC 所以 y ? ?
3 5
1

4 5

, cos B ? ? 1 2

3 5

.
6 25
2

x, PF ?

4 5

x , S ?FC ?

2P

PC2 ? PF ? 12 25

x

2

2 D2

? S ?BED ? S ?FC x ?
2

1 2

2P

S ?ABC ?

(5 ? x ) ?

6 25

x

2

18 25

24 5 1 4

x (0 ? x ? 5) 18 25 5 3 x ?
2

(3) 存在. 当 y ?
2

S ? A B C 时,即 ?

24 5

x ? 6

整理,得 3 x ? 2 0 x ? 2 5 ? 0 . 解得, x1 ? 即当 x ?
5 3

, x2 ? 5 .
1 4

或 x ? 5 时,重叠部分的面积等于原 ? A B C 面积的

2 、 2006 浙 江 金 华 ) 如 图 , 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 直 线 AB 与 x 轴 , y 轴 分 别 交 于 (

A(3,0),B(0, 3 )两点, ,点 C 为线段 AB 上的一动点,过点 C 作 CD⊥ x 轴于点 D.
(1)求直线 AB 的解析式; (2)若 S 梯形 OBCD=
4 3 3

,求点 C 的坐标;

(3)在第一象限内是否存在点 P,使得以 P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

[解]

(1)直线 AB 解析式为:y= ?

3 3 3 3

x+ 3 .

(2)方法一:设点C坐标为(x, ?

x+ 3 ) ,那么 OD=x,CD= ?

3 3

x+ 3 .

2

∴ S 梯形 OBCD =

?OB

? CD ? ? CD 2

=?

3 6

x

2

?

3 .

由题意: ?

3 6

x

2

?

3



4 3 3

,解得 x 1 ? 2 , x 2 ? 4 (舍去)



C(2,

3 3 1 2



方法二:∵

S ? AOB ?

OA ? OB ?

3 3 2

, S 梯形 OBCD =

4 3 3

,∴ S ? ACD ?

3 6



由 OA= 3 OB,得∠BAO=30°,AD= 3 CD.
1 2



S ? ACD =

CD×AD=

3 2

CD

2



3 6

.可得 CD=

3 3





AD=1,OD=2.∴C(2,

3 3

) .

(3)当∠OBP=Rt∠时,如图 ①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP= 3 OB=3,
3 3 3 3

∴ P1 (3,

) .

②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP=

OB=1.

∴ P 2 (1, 3 ) . 当∠OPB=Rt∠时 ③ 过点 P 作 OP⊥BC 于点 P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30° 过点 P 作 PM⊥OA 于点 M. 方法一: 在 Rt△PBO 中,BP=
1 2

OB=

3 2

,OP= 3 BP=

3 2



∵ 在 Rt△PMO 中,∠OPM=30°, ∴ OM=
1 2

OP=

3 4

;PM= 3 OM=

3 3 4

.∴ P 3 (

3 4



3 3 4 3 3

) .

方法二:设P(x , ?

3 3

x+ 3 ) ,得 OM=x ,PM= ?

x+ 3

3

由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.
? 3 3 x
3 4

∵tan∠POM==

PM OM

x?

3

=

,tan∠ABOC=

OA OB 3 4

= 3.

∴?

3 3

x+ 3 = 3 x,解得 x=

.此时, P 3 (



3 3 4

) .

④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°. ∴ PM=
3 3
3 4

OM=

3 4





P4 (



3 4

) (由对称性也可得到点 P 4 的坐标) .

当∠OPB=Rt∠时,点 P 在x轴上,不符合要求. 综合得,符合条件的点有四个,分别是:
P1 (3,
3 3

) P 2 (1, 3 ) P 3 ( , ,

3 4



3 3 4

) P4 ( ,

3 4



3 4

) .

3、 (2006 山东济南)如图 1,已知 R t △ A B C 中, ? C A B ? 3 0 , B C ? 5 .过点 A 作
A E ⊥ A B ,且 A E ? 1 5 ,连接 B E 交 A C 于点 P .

?

(1)求 P A 的长; (2)以点 A 为圆心, A P 为半径作⊙A,试判断 B E 与⊙A 是否相切,并说明理由; (3)如图 2,过点 C 作 C D ⊥ A E ,垂足为 D .以点 A 为圆心, r 为半径作⊙A;以点 C 为 圆心, R 为半径作⊙C.若 r 和 R 的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相 . E的外部,求 r 和 R 的变化范围. E 切,且使 D 点在⊙A 的内部, B 点在⊙A .

P

C



P

C

A

B

A

B

[解]
?

图1

图2

(1)? 在 R t △ A B C 中, ? C A B ? 3 0 , B C ? 5 ,
? AC ? 2 BC ? 10 .
4

? A E ∥ B C ,?△ A P E ∽ △ C P B . ? PA : PC ? AE : BC ? 3 :1 .

? PA : AC ? 3 : 4 , PA ?

3 ? 10 4

?

15 2



(2) B E 与⊙A 相切.
? 在 R t △ A B E 中, A B ? 5 3 , A E ? 1 5 ,
AE AB 15 5 3
? ?

? ta n ? A B E ?

?

?

3 ,? ? A B E ? 6 0 .

?

? ? 又? ? P A B ? 3 0 ,? ? A B E ? ? P A B ? 9 0 , ? A P B ? 9 0 ,

? B E 与⊙A 相切.

(3)因为 A D ? 5, A B ? 5 3 ,所以 r 的变化范围为 5 ? r ? 5 3 . 当⊙A 与⊙C 外切时, R ? r ? 1 0 ,所以 R 的变化范围为 1 0 ? 5 3 ? R ? 5 ; 当⊙A 与⊙C 内切时, R ? r ? 1 0 ,所以 R 的变化范围为 1 5 ? R ? 1 0 ? 5 3 . 4、 (2006 山东烟台)如图,已知抛物线 L1: y=x -4 的图像与 x 有交于 A、C 两点, (1)若抛物线 l2 与 l1 关于 x 轴对称,求 l2 的解析式; (2)若点 B 是抛物线 l1 上的一动点(B 不与 A、C 重合) ,以 AC 为对角线,A、B、C 三点为 顶点的平行四边形的第四个顶点定为 D,求证:点 D 在 l2 上; (3)探索:当点 B 分别位于 l1 在 x 轴上、下两部分的图像上时,平行四边形 ABCD 的面积 是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不 存在,请说明理由。
2

[解]
(1)设 l2 的解析式为 y=a(x-h) +k ∵l2 与 x 轴的交点 A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0, -4),l1 与 l2 关于 x 轴对称, ∴l2 过 A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4) 2 ∴y=ax +4 ∴0=4a+4 得 a=-1 2 ∴l2 的解析式为 y=-x +4 (2)设 B(x1 ,y1) ∵点 B 在 l1 上 2 ∴B(x1 ,x1 -4) ∵四边形 ABCD 是平行四边形,A、C 关于 O 对称 ∴B、D 关于 O 对称 2 ∴D(-x1 ,-x1 +4). 2 2 将 D(-x1 ,-x1 +4)的坐标代入 l2:y=-x +4 ∴左边=右边 ∴点 D 在 l2 上.
2

5

(3)设平行四边形 ABCD 的面积为 S,则 S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1| a.当点 B 在 x 轴上方时,y1>0 ∴S=4y1 ,它是关于 y1 的正比例函数且 S 随 y1 的增大而增大, ∴S 既无最大值也无最小值 b.当点 B 在 x 轴下方时,-4≤y1<0 ∴S=-4y1 ,它是关于 y1 的正比例函数且 S 随 y1 的增大而减小, ∴当 y1 =-4 时,S 由最大值 16,但他没有最小值 此时 B(0,-4)在 y 轴上,它的对称点 D 也在 y 轴上. ∴AC⊥BD ∴平行四边形 ABCD 是菱形 此时 S 最大=16. 5、 (2006 浙江嘉兴)某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行堪测,迎面山坡线 ABC 由同一平面内的两段抛物线组成,其中 AB 所在的抛物线以 A 为顶点、开口向下,BC 所 在的抛物线以 C 为顶点、开口向上.以过山脚(点 C)的水平线为 x 轴、过山顶(点 A) 的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米) .已知 AB 所在抛物线的解析式 为y
? ? 1 4 x
2

? 8

,BC 所在抛物线的解析式为 y

?

1 4

( x ? 8)

2

,且已知 B ( m , 4 ) .

(1)设 P ( x , y ) 是山坡线 AB 上任意一点,用 y 表示 x,并求点 B 的坐标; (2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶.这种台阶每级的高度为 20 厘米,长度 因坡度的大小而定,但不得小于 20 厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图) . ①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米) ; ②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么? (3)在山坡上的 700 米高度(点 D)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站.索道的 起点选择在山脚水平线上的点 E 处, OE ? 1600 (米) .假设索道 DE 可近似地看成一

段以 E 为顶点、开口向上的抛物线,解析式为 y 高度.

?

1 28

( x ? 16 )

2

.试求索道的最大悬空 ..

长度 高度
y A

7

D

6

4

B

[解]

(1)∵ P ( x , y ) 是山坡线 AB 上任意一点,
? ? 1 4 x
2

∴y

? 8

,x

? 0



∴x2

? 4 (8 ? y )

,x

? 2 8? y

∵ B ( m , 4 ) ,∴ m

? 2 8? 4

=4,∴ B ( 4 , 4 ) , A(0, 8) ,得 x 1
894

(2)在山坡线 AB 上, x ①令 y 0
?8

? 2 8? y

,得 x 0

? 0

;令 y 1

? 8 ? 0 . 002 ? 7 . 998

? 2 0 . 002 ? 0 . 08944

∴第一级台阶的长度为 x 1 同理,令 y 2
? 8 ? 2 ? 0 . 002

? x 0 ? 0 . 08944

(百米) ?

(厘米)
? 0 . 12649

、 y3

? 8 ? 3 ? 0 . 002

,可得 x 2
371

、 x3

? 0 . 15492

∴第二级台阶的长度为 x 2 第三级台阶的长度为 x 3 ②取点 B ( 4 , 4 ) ,又取 y

? x 1 ? 0 . 03705

(百米) ?

(厘米)

? x 2 ? 0 . 02843

(百米) ?

284

(厘米)

? 4 ? 0 . 002

,则 x

? 2 3 . 998 ? 3 . 99900

∵ 4 ? 3 . 99900 ? 0 . 001 ? 0 . 002 ∴这种台阶不能从山顶一直铺到点 B,从而就不能一直铺到山脚 (注:事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到 700 米高度,共 500 级.从 100 米高度到 700 米高度都不能铺设这种台阶.解题时取点具有开放性)

②另解:连接任意一段台阶的两端点 P、Q,如图 ∵这种台阶的长度不小于它的高度 ∴ ? PQR
? 45 ?

P

R

Q

当其中有一级台阶的长大于它的高时, ? PQR

? 45 ?

7

在题设图中,作 BH 则 ? ABH
? 45 ?

? OA

于H

,又第一级台阶的长大于它的高

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点 B,从而就不能一直铺到山脚 (3)
y A

7

D

4

B

上山方向

O

4

C

E

x

D ( 2 , 7 ) 、 E (16 , 0 )

、 B ( 4 , 4 ) 、 C (8 , 0 )

由图可知,只有当索道在 BC 上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值 .. 索道在 BC 上方时,悬空高度 y ..
? 1 14 (?3 x 20 3
2

?

1 28 20 3

( x ? 16 )

2

?

1 4

( x ? 8)

2

? 40 x ? 96 ) ? ? 8 3

3 14

(x ?

)

2

?

8 3

当x

?

时, y max

?

∴索道的最大悬空高度为 ..

800 3

米.

6、 (2006 山东潍坊) 已知二次函数图象的顶点在原点 O , 对称轴为 y 轴. 一次函数 y ? kx ? 1
4 的图象与二次函数的图象交于 A, B 两点( A 在 B 的左侧) ,且 A 点坐标为 ? ? 4, ? .平行于 ? x 轴的直线 l 过 ? 0, 1 ? 点.

(1)求一次函数与二次函数的解析式; (2)判断以线段 A B 为直径的圆与直线 l 的位置关系,并给出证明; (3)把二次函数的图象向右平移 2 个单位,再向下平移 t 个单位 ? t ? 0 ? ,二次函数的图象 与 x 轴交于 M , N 两

y

8

x
l

点,一次函数图象交 y 轴于 F 点.当 t 为何值时,过 F , M , N 三点的圆的面积最小?最 小面积是多少?
4 [解](1)把 A ( ? 4, ) 代入 y ? kx ? 1 得 k

? ?

3 4



? 一次函数的解析式为 y ? ?

3 4

x ?1;

? 二次函数图象的顶点在原点,对称轴为 y 轴, ?

设二次函数解析式为 y ? a x ,
2

? ····················

4 把 A ( ? 4, ) 代入 y ? a x 得 a ?
2

1 4



? 二次函数解析式为 y ?

1 4

x .

2

3 ? y ? ? x ?1 ? ? 4 (2)由 ? 1 2 ?y ? x ? ? 4
?x ? 1 ? x ? ?4 ? 解得 ? 或? 1 , ?y ? 4 ?y ? ? 4
? 1? ? B ? 1, ? , ? 4?

过 A, B 点分别作直线 l 的垂线,垂足为 A ?, B ? ,

9

则 A A ? ? 4 ? 1 ? 5, B B ? ?

1 4

?1?

5 4


5

5?

? 直角梯形 A A ? B ?B 的中位线长为

4 ? 25 , 2 8

过 B 作 B H 垂直于直线 A A ? 于点 H ,则 B H ? A ? B ? ? 5 , A H ? 4 ?
? 15 ? 5 ?? ? ? 4 ?
2 2

1 4

?

15 4



? AB ?

?

25 4



? A B 的长等于 A B 中点到直线 l 的距离的 2 倍, ? 以 A B 为直径的圆与直线 l 相切.

(3)平移后二次函数解析式为 y ? ( x ? 2 ) ? t ,
2

令 y ? 0 ,得 ( x ? 2 ) ? t ? 0 , x1 ? 2 ?
2

t , x2 ? 2 ?

t ,

?

过 F , M , N 三点的圆的圆心一定在直线 x ? 2 上,点 F 为定点,

? ········· ? 要使圆面积最小,圆半径应等于点 F 到直线 x ? 2 的距离,

此时,半径为 2,面积为 4 π , 设圆心为 C, M N 中点为 E ,连 C E, C M ,则 C E ? 1 , 在三角形 C E M 中, M E ?
2 ?1 ?
2

3 ,

? M N ? 2 3 ,而 M N ? x 2 ? x1 ? 2 t ,? t ? 3 ,

?

当 t ? 3 时,过 F , M , N 三点的圆面积最小,最小面积为 4 π .

7、 (2006 江西)问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题: ①如图 1,在正三角形△ABC 中,M、N 分别是 AC、AB 上的点,BM 与 CN 相交于点 O,若 ∠BON=60?,则 BM=CN; ②如图 2,在正方形 ABCD 中,M、N 分别是 CD、AD 上的点,BM 与 CN 相交于点 O,若∠ BON=90?,则 BM=CN; 然后运用类比的思想提出了如下命题: ③如图 3,在正五边形 ABCDE 中,M、N 分别是 CD、DE 上的点,BM 与 CN 相交于点 O,若 ∠BON=108?,则 BM=CN。 任务要求: (1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明; (说明:选①做对得 4 分,选② 做对得 3 分,选③做对得 5 分) (2)请你继续完成下列探索: ①请在图 3 中画出一条与 CN 相等的线段 DH,使点 H 在正五边形的边上,且与 CN 相 交所成的一个角是 108?,这样的线段有几条?(不必写出画法,不要求证明) ②如图 4,在正五边形 ABCDE 中,M、N 分别是 DE、EA 上的点,BM 与 CN 相交于点 O, A 若∠BON=108?,请问结论 BM=CN 是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理 E 由。 N M N A M O B 图1 C B 图4 O
10

D

C

N A D M

O

B 图2

C

[解]

(1)以下答案供参考:

(1) 如选命题① 证明:在图 1 中,∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3 又∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°∴Δ BCM≌Δ CAN ∴BM=CN (2)如选命题② 证明:在图 2 中,∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3 又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°∴Δ BCM≌Δ CDN ∴BM=CN (3)如选命题③ 证明;在图 3 中,∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108° ∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3 又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=108° ∴Δ BCM≌Δ CDN ∴BM=CN (2)①答:当∠BON=
(n-2)180 n
0

时结论 BM=CN 成立.

②答当∠BON=108°时。BM=CN 还成立 证明;如图 5 连结 BD、CE. 在△BCI)和△CDE 中 ∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE ∴Δ BCD≌ Δ CDE ∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN ∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN ∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108° ∴∠MBC=∠NCD 又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN ∴Δ BDM≌ Δ CNE ∴BM=CN 8、 (2006 吉林长春)如图,在平面直角坐标系中,两个函数 y ? x , y ? ?
1 2 x ? 6 的图象交

于点 A。动点 P 从点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动,作 PQ∥x 轴交直线 BC 于 点 Q,以 PQ 为一边向下作正方形 PQMN,设它与△OAB 重叠部分的面积为 S。

11

(1)求点 A 的坐标。 (2)试求出点 P 在线段 OA 上运动时,S 与运动时间 t(秒)的关系式。 (3)在(2)的条件下,S 是否有最大值?若有,求出 t 为何值时,S 有最大值,并求出最 大值;若没有,请说明理由。 (4)若点 P 经过点 A 后继续按原方向、原速度运动,当正方形 PQMN 与△OAB 重叠部分面积 最大时,运动时间 t 满足的条件是____________。

[解]

? y ? x, ? (1)由 ? 1 ? y ? ? x ? 6, 2 ?

可得 ?

? x ? 4, ? y ? 4.

∴A(4,4) 。 (2)点 P 在 y = x 上,OP = t, 则点 P 坐标为 (
2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 t, 2 2
1 2

t ).

点 Q 的纵坐标为

t ,并且点 Q 在 y ? ?

x ? 6 上。



t ? ?

x ? 6 , x ? 12 ?

2t ,

即点 Q 坐标为 (12 ?

2t,

t) 。

PQ ? 12 ?

t。

当 12 ?

t ?

t 时, t ? 3 2 。

当 0<t ? 3 2时 ,
2 2 3 2 2 3 2

S ?

t (12 ?

t) ? ?

t

2

? 6

2t.

当点 P 到达 A 点时, t ? 4 2 , 当 3 2<t< 4 2 时,
3 2 2

S ? (12 ?

t)

2

?

9 2

t

2

? 36

2 t ? 144 。

12

(3)有最大值,最大值应在 0<t ? 3 2 中,
S ? ? 3 2 t
2

? 6

2t ? ?

3 2

(t

2

?4

2 t ? 8 ) ? 12 ? ?

3 2

(t ? 2

2 ) ? 12 ,
2

当 t ? 2 2 时,S 的最大值为 12。 (4) t ? 12
2 。

9、 (2006 湖南常德) 把两块全等的直角三角形 A B C 和 D E F 叠放在一起, 使三角板 D E F 的 锐 角 顶 点 D 与 三 角 板 A B C 的 斜 边 中 点 O 重 合 , 其 中 ? ABC ? ? D EF ? 90 ,
? C ? ? F ? 4 5 , A B ? D E ? 4 ,把三角板 A B C 固定不动,让三角板 D E F 绕点 O 旋转,
? ?

设射线 D E 与射线 A B 相交于点 P ,射线 D F 与线段 B C 相交于点 Q . (1)如图 9,当射线 D F 经过点 B ,即点 Q 与点 B 重合时,易证 △ A P D ∽ △ C D Q .此
· 时, A P C Q ?



(2)将三角板 D E F 由图 1 所示的位置绕点 O 沿逆时针方向旋转,设旋转角为 ? .其中
0 ? ? ? 9 0 ,问 A P C Q 的值是否改变?说明你的理由. ·
? ?

(3)在(2)的条件下,设 C Q ? x ,两块三角板重叠面积为 y ,求 y 与 x 的函数关系式.


A E P

A D(O) D(O) C B M Q E F P
图3

D(O) E
B(Q) C

P B Q





F 图1

图3

[解]

(1)8

· (2) A P C Q 的值不会改变.


理由如下:在 △ A P D 与 △ C D Q 中, ? A ? ? C ? 4 5
? A P D? 8 0 ? 4 5 ? 1
? ?
?

D(O) P E B Q C
13

( 4 ?a 5

?

?)

?

a ? 9 0



? C D Q ? 90 ? a

?

即?APD ? ?CDQ
AP AD CD CQ
2

∴ △ APD ∽ △CDQ ∴

?

∴ A P C ?Q ?

?1 ? ?A D? C D ? ? A D ? ? 8 A C ?2 ?
2
? ?

(3)情形 1:当 0 ? a ? 4 5 时, 2 ? C Q ? 4 ,即 2 ? x ? 4 ,此时两三角板重叠部分为四


边形 D P B Q ,过 D 作 D G ⊥ A P 于 G , D N ⊥ B C 于 N ,


∴ D G? D ?N2

D(O) M NQ E C

由(2)知: A P ?C Q ? 8 得 A P ? 于是 y ?
1 2 ?8? x? 8 x A B ?A C ? 1 2 (2 ? x ? 4) C Q ?D N ?

8 x 1 2 A P ?D G







情形 2:当 4 5 ? ≤ a ? 9 0 ? 时, 0 ? C Q ≤ 2 时,即 0 ? x ≤ 2 ,此时两三角板重叠部分
为△ DM Q , 由于 A P ?
∴ B M M N ? 8 x P B

, PB ? 即

8 x

? 4 ,易证: △ P B M ∽ △ D N M , ? PB 2 8 ? 4x 4? x (0 ? x ≤ 2 ) 8 x 8 ? 4x 4? x

BM

D N 2 ? BM

解得 B M ?

2PB 2 ? PB

?

8 ? 4x 4? x

∴ M Q ? 4 ? BM ? CQ ? 4 ? x ?

于是 y ?

1 2

M Q ?D N ? 4 ? x ?

8 ? 4x 4? x

综上所述,当 2 ? x ? 4 时, y ? 8 ? x ? 当 0 ? x ≤ 2 时, y ? 4 ? x ?
2

? x ? 4x ? 8 ? ?或y ? ? 4? x ? ?

法 二 : 连 结 B D , 并 过 D 作 D N ⊥ B C 于 点 N , 在 △ D B Q与 △ M C D 中 ,
? D BQ ? ? M C D ? 45
?

14

? D Q B ? ? Q C B ? ? Q D C ? 45 ? ? Q D C ? ? M D Q ? ? Q D C ? ? M D C
M C x ? 4 ? x
2

?

∴ △ DBQ ∽ △ M CD



?

C D

8 D ∴ MC ? B 4? x

B Q

∴ MQ ? MC ? CD ?

8 4? x
2

? x ?

8

4? x

∴ y ?

1 2

D N ?M Q ?

x ? 4x ? 8 4? x

(0 ? x ≤ 2)

法三:过 D 作 D N ⊥ B C 于点 N ,在 R t △ D N Q 中,
D Q ?
2

D N ?
2 2

N Q

2

? 4 ? (2 ? x)
2

? x ? 4x ? 8

于是在 △ B D Q 与 △ D M Q 中 ? D B Q ? ? M D Q ? 4 5
?DM Q ? ?DBM ? ?BDM ? 45 ? ? BD M ? ?BDQ ∴ △ BDQ ∽ △ DM Q
?

?



BQ DQ 4? x DQ

?

DQ MQ DQ MQ
2



?

∴ MQ ?

DQ

4? x

?

x ? 4x ? 8
2

4? x x ? 4x ? 8
2

∴ y ?

1 2

D N ?M Q ?

4? x

(0 ? x ≤ 2)

10、 (2006 湖北宜昌)如图,点 O 是坐标原点,点 A(n,0)是 x 轴上一动点(n<0=以 AO o 为一边作矩形 AOBC,点 C 在第二象限,且 OB=2OA.矩形 AOBC 绕点 A 逆时针旋转 90 得矩

15

形 AGDE.过点 A 的直线 y=kx+m 交 y 轴于点 F,FB=FA.抛物线 y=ax +bx+c 过点 E、F、G 且和直线 AF 交于点 H,过点 H 作 HM⊥x 轴,垂足为点 M.(1)求 k 的值; (2)点 A 位置改变时,△AMH 的面积和矩形 AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由.

2

[解]

(1)根据题意得到:E(3n,0) G(n,-n) ,

当 x=0 时,y=kx+m=m,∴点 F 坐标为(0,m) 2 2 2 ∵Rt△AOF 中,AF =m +n , ∵FB=AF, 2 2 2 ∴m +n =(-2n-m) , 化简得:m=-0.75n, 对于 y=kx+m,当 x=n 时,y=0, ∴0=kn-0.75n, ∴k=0.75 2 (2)∵抛物线 y=ax +bx+c 过点 E、F、G,
? 0 ? 9 n a ? 3 nb ? c ? ∴ ? ? n ? n 2 a ? nb ? c ? ? 0 . 75 ? c ?
2

y C D M E A G B F O x

H

解得:a=

1 4n

,b=-
1 4n

1 2 1 2

,c=-0.75n x-0.75n

∴抛物线为 y=

x-

2

1 2 1 ? x ? x ? 0 . 75 n ?y ? 解方程组: ? 4n 2 ? y ? 0 . 75 x ? 0 . 75 n ?

得:x1=5n,y1=3n;x2=0,y2=-0.75n ∴H 坐标是: (5n,3n) ,HM=-3n,AM=n-5n=-4n, 2 ∴△AMH 的面积=0.5×HM×AM=6n ; 而矩形 AOBC 的面积=2n , ∴△AMH 的面积∶矩形 AOBC 的面积=3:1, 不随着点 A 的位置的 改变而改变. 11、 (2006 北京海淀)如图,已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E, 连结 AD、BD、OC、OD,且 OD=5。 (1)若 sin ∠BAD ?
3 5
2

,求 CD 的长;

(2)若 ∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形 OAC(阴影部分)的面积(结果保留 ? ) 。
16

[解]
(1)因为 AB 是⊙O 的直径,OD=5 所以∠ADB=90°,AB=10 在 Rt△ABD 中, sin∠ BAD ?
BD AB 3 BD 3 又 sin ∠BAD ? ,所以 ,所以 B ?6 ? D 5 10 5
A D A? ? BB?0 6 8 D 1? ?
2 2 2 2

因为∠ADB=90°,AB⊥CD 所以 D A D D ED E BA B C E · ? · , ? 所以 D 1 ? E 086 ?? 所以 D E ?
24 5 48 5

所以 CD ? 2DE ?

(2)因为 AB 是⊙O 的直径,AB⊥CD

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 所以 CB ? BD , AC ? AD
所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD 因为 AO=DO,所以∠BAD=∠ADO 所以∠CDB=∠ADO 设∠ADO=4x,则∠CDB=4x 由∠ADO:∠EDO=4:1,则∠EDO=x 因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90° 所以 4 4 x 9 x x ?? ?? 0 所以 x=10° 所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100° 所以∠AOC=∠AOD=100°
10 0 15 2 2 S 形 C? ? ? ? ? 5 ? 扇O A 30 6 1 8

12、 (2006 湖南长沙)如图 1,已知直线 y ? ? (1)求 A, B 两点的坐标;

1 2

x 与抛物线 y ? ?

1 4

x ? 6 交于 A, B 两点.
2

(2)求线段 A B 的垂直平分线的解析式; (3)如图 2,取与线段 A B 等长的一根橡皮筋,端点分别固定在 A, B 两处.用铅笔拉着这 根橡皮筋使笔尖 P 在直线 A B 上方的抛物线上移动,动点 P 将与 A, B 构成无数个三角形, 这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在, 求出最大面积, 并指出此时 P 点 的坐标;如果不存在,请简要说明理由. y y

B B

P
17

O
A

x

O

x

A

[解]
1 2 ? y ? ? x ?6 ? ? x1 ? 6 ? 4 (1)解:依题意得 ? 解之得 ? ? y1 ? ? 3 ?y ? ? 1 x ? ? 2
? A (6, 3), B ( ? 4, ) ? 2

? x2 ? ? 4 ? ? y2 ? 2

(2)作 A B 的垂直平分线交 x 轴, y 轴于 C , D 两点,交 A B 于 M (如图 1) 由(1)可知: O A ? 3 5
? AB ? 5 5
1 2 5 2

OB ? 2 5

y

? OM ?

AB ? OB ?

B

C


OC OB ? OM OE , OC ? ? 5 4

O

x

过 B 作 B E ⊥ x 轴, E 为垂足 由 △ B E O ∽ △ O C M ,得:
5

M

A

D , 图1

5? ?5 ? ? ? 0 ? 同理: O D ? , C ? , ? , D ? 0, ? 2 2? ?4 ? ?

设 C D 的解析式为 y ? kx ? b ( k ? 0 )
5 ? 0? k ?b ? ? 4 ?? 5 ?? ? b ? 2 ?

?k ? 2 ? ?? 5 ?b ? ? ? 2
5 2

? A B 的垂直平分线的解析式为: y ? 2 x ?



(3)若存在点 P 使 △ A P B 的面积最大,则点 P 在与直线 A B 平行且和抛物线只有一个交 点的直线 y ? ?
1 2 x ? m 上,并设该直线与 x 轴, y 轴交于 G, H 两点(如图 2) .

1 ? y ? ? x?m ? ? 2 ?? 1 2 ?y ? ? x ?6 ? ? 4

18

?

1 4

x ?
2

1 2

x?m ?6 ? 0

? 抛物线与直线只有一个交点,
1 ? 1? ? ? ? ? ? 4 ? (m ? 6) ? 0 , 4 ? 2?
?m ? 25 4 ? 23 ? ? P ? 1, ? 4 ? ?
2

在直线 G H : y ? ?

1 2

x?

25 4

中,
y

? 25 ? ? 25 ? ?G? , ? , H ? 0, ? 0 4 ? ? 2 ? ?

H P B G
O

? GH ?

25 4

5

设 O 到 G H 的距离为 d ,
? ? 1 2 1 2 ?d ? 5 2 ? AB ∥ GH,
? P 到 A B 的距离等于 O 到 G H 的距离 d .

x

G H ?d ? ? 25 5 4 5

1 2

?O G ?O H 1 2 ? 25 2 ? 25 4

A

d ?

图2

? S最大面积 ?

1 2

A B ?d ?

1 2

?5 5?

5 5 2

?

125 4



13、 (2006 广东)如图所示,在平面直角坐标中,四边形 OABC 是等腰梯形,BC∥OA,OA=7, AB=4,∠ COA=60°,点 P 为 x 轴上的—个动点,点 P 不与点 0、点 A 重合.连结 CP,过点 P 作 PD 交 AB 于点 D. (1)求点 B 的坐标; (2)当点 P 运动什么位置时,△OCP 为等腰三角形,求这时点 P 的坐标; (3)当点 P 运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且
BD AB

=

5 8

,求这时点 P 的坐标。 (1)作 BQ⊥x 轴于 Q.

[解]

∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴∠BAQ=∠COA=60° 在 RtΔ BQA 中,BA=4,

19

∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°= 2 3 AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点 B 在第一象限内, ∴点 B 的的坐标为(5, 2 3 ) (2)若Δ OCP 为等腰三角形,∵∠COP=60°, 此时Δ OCP 为等边三角形或是顶角为 120°的等腰三角形 若Δ OCP 为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点 P 在 x 轴的正半轴上, ∴点 P 的坐标为(4,0) 若Δ OCP 是顶角为 120°的等腰三角形,则点 P 在 x 轴的负半轴上,且 OP=OC=4 ∴点 P 的坐标为(-4,0) ∴点 P 的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时Δ OCP∽Δ ADP ∴ ∵
OP OC ? AD AP
BD 5 ? AB 8 5 5 AB ? , 8 2

∴ BD ?

AD=AB-BD=4-

5 3 = 2 2

AP=OA-OP=7-OP ∴
OP 4 ? 3 7 ? OP 2

得 OP=1 或 6 ∴点 P 坐标为(1,0)或(6,0).

20


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