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2.1指数与指数幂的运算导学案及练习


任丘一中数学新授课导学案

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§2.1 指数函数

第1课时
学习目标

指数与指数幂的运算

组长评价: 教师评价:

1. 理解有理数指数幂和根式

的含义;掌握幂的运算法则;学会根式与分数指数幂之间的 相互转化;培养观察和分析问题的能力,提高数学运算能力和应用意识. 2. 自主学习,合作探究学会归纳类比的方法. 3. 激情投入,一丝不苟,享受成功的快乐. 重点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂间的相互转化,有理数指数幂的运算性质。 难点:根式的概念,根式与分数指数幂间的相互转化.

过程
使用说明: (1)预习教材P49-P53用红色笔画出疑惑之处,尝试完成下列问题,总结规律方法; (2)用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容; (3)不做标记的为 C 级,标记★为 B 级,标记★★为 A 级。

预习案(20 分钟)
一.知识链接 (1)初中学的根式是怎样定义的? (2)初中学的整数指数幂有哪些运算性质? 二.新知导学 1.课本的问题中用到正整数指数幂,它的含义是什么? 2.参照平方根,立方根的定义,你能给出 n 次方根的定义吗? 3.当 n 是奇数或偶数时,一个正数的 n 次方根有什么特点? 4.负数有偶次方根吗?0 的 n 次方根是什么? 5.什么叫根式?根指数?被开方数? 6.你能把根式化为分数指数幂的形式吗?
- 1 -

丰碑无语,行胜于言

7.分数指数幂的运算性质有哪些?分数指数幂的意义是怎样规定的? 预习自测 1.求下列各式的值: (1) 3 - 8 (2) 4 ?- 5? (
4

?1? (3) ? ? ?2?

-3

? 81? (4) ? ? ? 16 ?

?

1 2

2.用分数指数幂表示下列各式: (1) 5 x 2 (2)
3

1 ( a ? b)
4

2 5 4 (3) m n

3.把下列各式化为根式形式: (1) x
? 2 3 1

(2) a 2 ? b

?

1 2

探究案(30 分钟)
三.新知探究 问题 1. (?2)2 ? 4 ,那么 ?2 就叫 4 的
33 ? 27 ,那么 3 就叫 27 的 (?3)4 ? 81 ,那么 ?3 就叫做 81 的

; ; . . ( n th root ),其中 n ? 1 , n ? ?? .

依此类推,若 xn ? a ,,那么 x 叫做 a 的 归纳总结:一般地,若 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的

简记: . 例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 . 问题 2. 当 n 为奇数时, n 次方根情况如何? 例如: 3 27 ? , 3 ? 27 ? 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况? 例如: 81 的 4 次方根就是 ,记: 归纳总结:负数没有 方根;0 的任何次方根 b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 问题 3. ; b 3 ? a ,则 a 的 3 次方根为 . 归纳总结:像 n a 的式子就叫做 问题 4.
n n
n n

, 记: .. ,即 n 0 ?

.

.

(radical) ,这里 n 叫做



叫被开方数.

( a ) 、 a 的意义及结果?
;当 n 是偶数时, n a n ?
10

归纳总结:当 n 是奇数时, n a n ?

.

问题 5. a>0 时, 5 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 , - 2 -

任丘一中数学新授课导学案

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则类似可得
3 3 2 3 3

3

a12 ?
2 3

; .

a 2 ? (a ) ? a
m n ? m n

,类似可得 a ?

归纳总结:规定分数指数幂如下

a a

? ?
? 1

( a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1) = ( a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1) ;0 的负分数指数幂为 .

问题 6. (?3) 2 有意义吗?0 的正分数指数幂为 分数指数幂有什么运算性质?

四.新知应用 (建议:把运算性质和各种公式掌握熟练再进行计算。一定要细心哦!) 【知识点一】 根式的概念及运算 例 1. 计算或化简下列各式 (1)
3

(?a)3 =

(2) 4 (?7)4 = (4) 3 a6 = (6) 2 (a ? b)2 ( a ? b )=

(3) 6 (3 ? ? )6 = (5) 5 ?32 =

变式: (6)中去掉条件( a ? b )后化简结果是什么? 【知识点二】 分数指数幂 例 2. 将下列根式写成分数指数幂形式:
2

35 =


2 3 ? 4 3

3

54 =
?



a =

m

(a ? 0, m ? N ) .

25 ? 2 3 例 3. 求值: 27 ; 16 ; ( )?3 ; ( ) 3 . 49 5

变式:化为根式. 【知识点三】利用分数指数幂的运算性质进行化简(重点) 例 4. 用分数指数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) : (1) b b = (2) b 3 ? 5 b 3 = 例 5 计算(式中字母均正) :
2
2 1 1 1 1 5

3 (3) b 4 b =

(1) (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ; (2) (m 4 n 8 )16 . (3) ? 2a 3 b 2 ? ? ? ? 6a 2 b 3 ? ? ? ? 3a 6 b 6 ? (4)

1

3

? ? ?

2

1

? ? ? ? ? ?

1

1

? ? ? ? ? ?

1

5

? ? ?

?

3

25 ? 125 ? 4 5

?

分析:同底数幂的运算性质是什么?根式与分数指数幂如何进行转化?
- 3 -

丰碑无语,行胜于言

四.我的疑惑
(把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面,先组内讨论尝试解决,能解决的划“√” ,不能解决 的划“×” )

(1) (2) (3)

( ) ( ) ( )

分享收获
(通过解决本节导学案的内容和疑惑点, 归纳一下自己本节的收获, 和大家交流一下, 写下自己的所得)

随堂评价(15 分钟)
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:15 分钟 满分:30 分)计分:
2 4 1.化简 ?3 ?? 5? ? 的结果为 ? ? ? ? 3

2. 3 ? 2 2 化为分数指数幂的形式为 3.下列等式一定成立的是(
1 3


1 1

A. a 3 ? a 2 ? a C.

B. a 2 ? a 2 ? 0 D. a ? a ? a )
4 B. 12 ( ?3) ? 3 ? 3

(a ) ? a
3 2

9

1 2

1 3

1 6

4.下列等式一定成立的是( A. ?

?n? 7 ? ? n m7 ?m?
4

7

1

C.

x ? y ? ( x ? y)
3 3

3 4

D.

3

9 ?3 3

- 4 -


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