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自主招生复数学生版


自主招生专题辅导之
复数
(2011 年华约)(1) 设复数 z 满足|z|<1 且 | z ?
4 3 2 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 5 4 3 2
1 5 |? 则|z| = ( z 2
)

(2011 年卓越)4. i 为虚数单位,设复数 z 满足 |

z |? 1 ,则
2 ?1
B. 2 ? 2

z 2 ? 2z ? 2 的最大值为( z ?1 ? i

)

A.

C.

2 ?1

D. 2 ? 2

(2013 年策略)例 1:在复平面内,复数 z 满足 arg ? z ? 3? ? 450 ,则
最大值

1 的 z ? 6 ? z ? 3i

1 ? ?1 例 2: (2006 清华)求最小整数 n ,使得 z ? ? ? i ? 为纯虚数,并求出 z . ?2 2 3 ?
(策略练习 1)1.(2003 复旦) 已知|z|=1,求|z +z+4|的最小值. (教材 p100 1 复旦 2001)设复数 z1 , z2 满足: z1 ? z1 ? z2 , z1 z2 ? a 1 ? 3i ,其中 i
2

n

?

?

是虚数单位, a 是非零实数,求

z2 。 z1 z1 ?______________. z2

(教材 p100 2 复旦 2003)8.已知|z1|?2,|z2|?3,|z1+z2|?4,则

(教材 p101 3 同济 6)6.已知复平面上点 A 与点 B 分别对应复数 2 与 2i,线段 AB 上的动 2 点 P 对应复数 Z,若复数 z 对应点 Q,点 Q 坐标为(x,y),则点 Q 的轨迹方程为 ________________________. (教材 p102 6)复数 z 满足|z|<1, z ?

1 5 ? ,求|z|. z 2

(教材 p103 82006 交大 13)13.已知|z|=1,k 是实数,z 是复数,求|z2+kz+1|的最大值.

( 真 题 p76 1 2012 清 华 ) 1. 若 复 数 z 为 虚 数 , 且 | z |? 1 , z?( z ? (1 ? 2i)) ? 1 , 则

z ? ____________.
(真题 p89 1 2002 交大) ? 3 ? 1 , ? 是虚数,则 ? 2 n ? ? n ? 1 ? __________。 (真题 p95 9 2004 复旦)9. z 3 ? z 的非零解是___________.

1

(真题 p115 17 2009 交大) ? i k cos(45 ? 90k )o ? ( )
k ?0

40

A.

2 2

B.

21 2 2

C.

1 (21 ? 20i) 2

D.

1 (21 ? 20i) 2

(真题 p128 1 2010 交大)设方程 x3 ? 1 的一个虚根为 ? ,则 ? 2 n ? ? n ? 1 ? (n 是正整数)______________。 (真题 p144 7 2005 交大) 若 z3=1, z?C, z3?2z2?2z?20?___25 或 19__________. 7. 且 则 (真题 p187 110 2006 复旦)110.设 z 为复数,E={z|(z-1)2=|z-1|2} ,则下列_____
是正确的 A.E={纯虚数} C.{实数} ? E ? {复数} B.E={实数} D.E={复数}

(真题 p188 117 2006 复旦)117.设 z1,z2 为一对共轭复数,如果|z1-z2|= 6 且
实数,那么|z1|=|z2|=______。 A. 2 B.2 C.3 D. 6

z1 为 2 z2

(真题 p240 141 2009 复旦)复平面上点 Z0=1+2i 关于直线 L:∣z-2-2i∣=∣z∣的对
称点的复数表示是( ) A -i B 1-i C 1+i D i

(真题 p240 142 2009 复旦)

(真题 p261 74 2007 复旦) a ? 2i 74.复数 z= (a∈R,I= ? 1 )在复平面上对应的点不可能位于 1 ? 2i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

(真题 p262 82 2007 复旦)
82. z0(z0≠0)为复平面上一定点, 1 为复平面上的动点, 设 z 其轨迹方程为∣z1-z0∣=∣z1∣,z 为复平面上另一个动点满足 z1z=-1。则 z 在复平面上的轨迹形状是 。 A.一条直线 B.以 ?

1 1 为圆心, 为半径的圆 z0 z0

C.焦距为 2

1 的双曲线 z0

D.以上均不对

(2010 五校联考)

1.w ? (

a?i 2 ) , w的实部为2, 求虚部. 1? i
2


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