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第一讲 等差数列基础


第一讲 等差数列基础
关于第一讲等差数列, 是中年级学习的一个重点。 高年级的很多题虽不是直接考察等差数列, 但往往中间的某一步需要用到等差数列的知识。 等差数列这讲公式繁多, 但希望孩子们千万 不要死记硬背这些公式,一定要理解着记忆。死记硬背公式不易记牢,往往容易出错,考试 中一旦出现,背错公式,分数就得不到了;在在我总结的知识点解析里每个公式,我都讲了 理解的方法。

可以在做题时反复理解几次,就不容易出错了。 关于计算这里, 再啰嗦几句。 很多孩子的计算基本功不过关, 所以往往上课时算式列出来了, 但不会算,算得慢或算不准,这样就太可惜了。所以希望孩子们能够每天坚持练几道大数乘 除法。 乘法可以按照三位数×一位数, 两位数×两位数, 三位数×两位数, 四位数×两位数, 三位数×三位数,四位数×三位数。除法可以从三位数÷一位数,四位数÷一位数,三位数 ÷两位数,四位数÷一位数,五位数÷一位数,五位数÷三位数等等这样的顺序练起。

一、 通项公式 知识点解析:
⒈第n项=首项+(n-1)×公差
理解方法:可以对比植树问题来理解等差数列,第二项比第一项多一个公差,第三项比第一 项多两个公差,……第n项比第一项多(n-1)个公差。 辅助练习:等差数列5、8、11……求这个数列的第2011项是多少? 答:5+(2011-1)×3=6035 这个公式含有四个量首项,第n项,项数n,公差,这四个其实是知三求一的。

⒉首项=第n项-(n-1)×公差
理解方法:同1,第n项比第一项多(n-1)个公差,用第n项剪去多出的即可。 辅助练习:等差数列……91,95,99共17项,求第一项是多少? 分析:已知第17项是99,项数n为17,公差95-91=4 答:99-(17-1)×4=35 (此公式本讲没有涉及)

⒊项数n=(第n项-首项)÷公差+1
理解方法: 对比植树问题, 第n个数与第一个数之间共差了第n项-首项, 那么间隔数应为 (第 n项-首项)÷公差,项数n应该比间隔数多1,所以,项数n=(第n项-首项)÷公差+1 此公式为求和公式的基础, 往往一道题第一步需要孩子判断一下共有多少项, 第二步利用求 和公式求和。 辅助练习:等差数列105,111,117……,567共多少项? 分析:首项105,末项567,公差111-105=6 答:(567-105)÷6+1=78

⒋公差=(第n项-首项)÷(项数n-1)

2011 春季班三年级超常班 学而思 侯晓

理解方法:第n个数与第一个数之间应该有n-1个间隔,共差了第n项-首项,那么每个间隔 应为(第n项-首项)÷(项数n-1) 辅助练习:等差数列首项为6,末项为94,共23项,求公差 答:(94-6)÷(23-1)=4 (此公式本讲例6涉及到) 一定要注意的是,这些公式千万不要死记硬背,一定要通过理解,多练习来记忆。其中第一 个和第三个是重点。

⒌首项和公差相等的数列(求n项或项数时不用套公式,可直接求):
如3,6,9,12……(首项为3,公差也为3,首项和公差相等) ⑴第1000项是几?答:1000×3=3000 ⑵6000是这个数列的第几项?答:6000÷3=2000

⒍等差数列任意两项的差: 第m项-第n项=(m-n)×公差
如2,5,8,11,14,17……第5项14比第1项2多5-1个公差3 所以第5项-第1项=(5-1)×3=12

附加练习:
对于4,7,10,13,16…… ⑴第49项是多少? ⑵49是这个数列的第几项? ⑶第100项和第50项的差值是多少? 分析与答:观察,我们已知首项为4,公差为3 一定注意问和第二问的区别,第一问是求第n项,第二问是求项n. ⑴第49项=4+3×(49-1)=148 ⑵项数=(49-3)÷3+1=16 ⑶方法一:分别求出第50项和第100项,然后再相减。(较繁琐,不推荐) 第50项=4+3×(50-1)=151 第100项=4+3×(100-1)=301 差为301-151=150 方法二:利用公式第m项-第n项=(m-n)×公差 本题我们并不关心第50项和第100项,我们只关心差值,第100项应比第50项多50个公差,所 以第100项-第50项=(100-50)×3=150

例1 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…,问:这个数列的第2000个数是多少?第2003
个数是多少? 分析与答:(求第n项) 奇数项的排列规律为:2,4,6,8…… 偶数项的排列规律为:3,6,9,12…… 可以看出奇数项与偶数项均为等差数列, 先求出要求的两个数在各自等差数列中的项数: 第 2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数,它是1000×3=3000; 第2003个数在奇数项等差数列中式第(2003+1)÷2=1002个数,它是1002×2=2004 2011 春
季班三年级超常班 学而思 侯晓琳 hxl0601@yahoo.cn

注:⑴建议做此题可以先举个数比较小的例子如第10个数,第11个数等; ⑵2,4,6,8……和3,6,9,12……是首项和公差相等的数列求n项或项数时不用套公式, 可直接求; ⑶关于第2003个数在奇数项等差数列中式第(2003+1)÷2=1002个数,可以这样来理解本 数列2个数一组2000个数恰好分组,而2003个数没有恰好分组,加一个后恰好分成 (2003+1)÷2=1002组,每组提供一个数所以它就是第1002个数。 超常班1,2,3班学案1 已知数列2,1,4,3,6,5,8,7,……,问2009是这个数列中的第几项? 分析与答:(求项数) 偶数项的排列规律为:1,3,5,7…… 奇数项的排列规律为:2,4,6,8…… 方法一:可以看出奇数项与偶数项均为等差数列2009是奇数,则它在偶数列数列中,在偶数 列数列中它是第(2009+1)÷2=1005个数,应为原数列的1005×2=2010项 方法二:本题规律较简单,可以直接找规律来做,奇数项是该数+1偶数项是该数-1,所以第 2009项为2009+1=2010 推荐用方法二,方法一可以用来和例题对比理解。

二、 求和公式

知识点解析:
前n项和=(首项+第n项)×项数n÷2
证明:方法一:高斯求和法 和=(1+100)×100÷2 方法二:倒序相加法(皮鞋定理) 和=(1+100)×100÷2 例2 计算 ⑴1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70 ⑵1000+999-998+997+996-995+……+106+105-104+103+102-101 分析与答: ⑴1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70 方法一:跳着看,则为双龙数列,关键是末项容易判断错,可以这样想,第二组都是三的倍 数,这样69一定是第二组的最后一个数,那么第一组的最后一个数为70,注意第一组比第二 组多一个数。1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70 ① 1+4+7+10+13+……+67+70 第一步:求项数:(70-1)÷3+1=24项 第二步:求和(1+70)×24÷2=852 ② 3+6+9+12+……+66+69 第一步:求项数:(69-3)÷3+1=23项或69÷3=23更简单(首项和公差相等的数列) 第二步:求和(3+69)×23÷2=828 ③ 总和为852+828=1680

注意等差数列求和的常规题一般第一步需要自己判断项数,第二步利用公式求和。
方法二:把数列补全:则为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+……+66+67+68+69+70 原数列=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+……+66+67+68+69+70)-(2+5+8+11+……+68) ① 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+……+66+67+68+69+70 =(1+70)×70÷2=2485 ② 2+5+8+11+……+68= 第一步:求项数:(68-2)÷3+1=23项 第二步:求和(2+68)×23÷2=805 ③原数列=2485-805=1680 ⑵1000+999-998+997+996-995+……+106+105-104+103+102-101 分析与答:本题的方法也有很多,可以用类似上题的方法,但较繁琐,观察数列的特点:数 字上1000到101是连续的。符号上两加一减,所以更为简单的方法是每三个数分成一组 (1000+999-998)+(997+996-995)+……+(106+105-104)+(103+102-101) =1001+998+……+107+104 观察到这是个首项为1001,末项为104,公差为3的等差数列 第一步:求项数:(1001-104)÷3+1=300项 第二步:求和(104+1001)×300÷2=165750

三、 中项定理

知识点解析:
中间项=(首项+末项)÷2 和=中间项×项数n
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说, 中间一项的值等于所有项的平均数, 也等于首项 和末项和的一半;各项和等于中间相乘以项数。 如1,4,7,10,13 超常班学案3 把210拆成7个自然数的和 ,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数差 都是5,那么,第一个数和第6个数分别是多少? 分析与答:本题属于基本题,考察中项定理 根据中项定理可得最中间数(第4个数)为210÷7=30,依次往前后各推3个数可得这7个数 分别为15,20,25,30,35,40,45。因此第1个数是15,第6个数是40 超常班1,2,3班学案4 一个大剧院,座位排成的形状是一个梯形,而且第一排有10个座位, 第2排有12个座位,第三排有14个座位,……最后一排有210个座位,思考一下,剧院中间一 排有多少个座位呢?这个剧院一共有多少个座位呢? 分析与答:考察中项定理和求和公式座位10,12,14……210为等差数列 ⑴利用中项定理:最中间一排(10+210)÷2=110个座位 ⑵第一步:求项数:(210-10)÷2+1=101项 第二步:求和(10+210)×101÷2=11110

或110×101=11110

例4 建筑工地有一批砖,摆成如图形状,最上面两层砖,第2层6块砖,第三层10块砖…,
依次每一层都比其上面一层多4块砖 , 已知最下层有2106块砖, 问中间一层有多少块砖?这 堆砖共有多少块? 分析与答:考察中项定理和求和公式 ⑴中间层=(首项+末项)÷2=(2+2106)÷2=1054(块) ⑵无论用哪个求和公式都必须知道项数。 第一步:求项数:(2106-2)÷4+1=527(层) 第二步:求和(2+2106)×527÷2=555458(块) 或和=中间项×项数n=1054×547=555458(块)相对简单

等差数列和其他知识结合:
㈠等差数列和余数综合 例7 求100以内除以3余2的所有数的和
分析与答: 除以3余2的所有数:2,5,,8,11……98首项为余数2,公差为除数3的等差数列 几次找出最末一项98) 第一步:求项数:(98-2)÷3+1=33项 第二步:求和2+5+8+11+14+……++95+98 =(2+98)×33÷2=1650 总结: 除以3余2的所有数:2,5,,8,11……首项为余数2,公差为除数3的等差数列; 除以5余3的所有数:3,8,13,18……首项为余数3,公差为除数5的等差数列; 除以6余1的所有数:1,7,13,19……首项为余数1,公差为除数6的等差数列; 除以m余n的所有数(m>n):首项为余数n,公差为除数m的等差数列

㈡等差数列和和差问题综合 例8 如图,把边长为1的小正方叠成金字塔形,其中黑白相见染色,如果最底层有15个正方
形,问共有多少个染白色的正方形,有多少个染黑色的正方形? 分析与答:等差数列和和差问题综合,较简单 观察规律,每层: 白―黑=1 最后一层: 白+黑=15 根据和差问题,最后一层: 白=(1+5)÷2=8 黑=(15-1)÷2=7 共有: 白=1+2+3+4+5+6+7+8=36(个) 黑=1+2+3+4+5+6+7=28(个) 超常班1,2,3班学案3 节日期间在一个八层楼房上安装彩灯,共安装彩灯888盏,已知从第 二层开始,每一层都比下一层少安装6盏,那么最上面一层安装多少盏彩灯? 分析与答:等差数列和和差问题综合 由和=(首项+末项)×项数n÷2得,首项+末项=和×2÷项数 本题已知和为888,项数为8层。可知首项+末项=888×2÷8=222 末项-首项=(8-1)×6=42 由和差问题基本公式,首项=(222-42)÷2=90 末项=132

最上面一层应有90盏。

其他例题:
例5 一个五层书架共放555本书,上层书比相邻的下层少5本。问:最上层放几本书?
分析与答: 本题已知和为555,项数为5(5层书架)公差为5(上层书比相邻的下层少5本) 方法一:等差数列与和差问题结合。较繁琐,不推荐 由和=(首项+末项)×项数n÷2得,首项+末项=和×2÷项数 本题已知和为555,项数为5层。可知首层+末层=555×2÷5=222 末层-首层=(5-1)×5=20 由和差问题基本公式,首层=(222-20)÷2=101 末层=121 本方法可作为超常班1,2,3班学案3的铺垫。 方法二:运用中项定理可直接求出中间层:555÷5=111(本)依次可推出五层分别有 101,106,111,116,121,最上层有101本 例6 幼儿园304个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏,已知最内圈24人,最外圈52 人,如果相邻两圈相差的人数相等,那么相邻的两圈相差多少人? 分析与答: 前n项和=(首项+末项)×项数n÷2(我们说这个公式中的四个量也是知三求一的) 项数=和×2÷(首项+末项) 第一步:求项数:现在知道和为304,首项24,末项52,可求出 项数=和×2÷(首项+末项)=304×2÷(24+52)=8,共8圈 第二步:求公差:知道首项24,末项52,项数为8 公差=(末项-首项)÷(项数n-1)=(52-24)÷(8-1)=4 注:本题考察了两个不太常用的公式,运用了代数中方程的思想,孩子理解一下就可以了, 独立思考出来的可能性不大


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