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2014创新设计高中数学(苏教版)第十二章 第1讲 随机抽样


第1讲 随机抽样

抓住3个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.简单随机抽样 逐个不放回地 (1)定义:一般地,从个体数为N的总体中_____________ 相同 取出n个个体作为样本(n<N),如果每个个体都有_____的 机会被取到,那么这样的抽样方法称为简单

随机抽样. 抽签法 随机数法 (2)最常用的简单随机抽样的方法: _______和_________.

2.系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本. 编号 (1)采用随机的方式将总体中的N个个体_____;
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N N N (2)将编号接间隔 k 分段,当 n 是整数时,取 k= n ;当 n 不是 整数时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个 N′ 数 N′能被 n 整除,这时取 k= n ,并将剩下的总体重新编 号;

简单随机抽样 (3)在第一段中用______________确定起始的个体编号l;
(4)按照一定的规则抽取样本,通常将编号为l,l+k,l+ 2k,…,l+(n-1)k的个体抽出.

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3.分层抽样 差异明显的几个部分 (1)当总体由___________________组成时,为了使样本更 客观地反映总体情况,将总体中的个体按不同的特点分成

层次比较分明的几部分,然后按各部分在总体中所占的比
实施抽样,这种抽样方法叫分层抽样. (2)分层抽样的步骤 ①将总体按一定标准分层; ②计算各层的个体数与总体的个体数的比; ③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样 本容量; ④在每一层抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).
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【助学· 微博】 三个特点 (1)简单随机抽样的特点:总体中的个体性质相似,无明

显层次;总体容量较小,尤其是样本容量较小;用简单随
机抽样法抽出的个体带有随机性,个体间无固定间距. (2)系统抽样的特点:适用于元素个数很多且均衡的总 体;各个个体被抽到的机会均等;总体分组后,在起始部 分抽样时,采用简单随机抽样.

(3)分层抽样的特点:适用于总体由差异明显的几部分组
成的情况;分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样 或系统抽样.
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考点自测
1.一支篮球队有男运动员56人,女运动员42人,用分层
抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样 本,则男,女运动员各抽取的人数为________.
解析 14 男运动员人数: ×56=8, 98

14 女运动员人数: ×42=6. 98

答案

8,6

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2.(2011· 山东卷)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300名学生.为了解学生的就业倾向, 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进

行调查,应在丙专业抽取的学生人数为________.
解析 40 4 抽样比为 = , 100 150+150+400+300

4 因此从丙专业应抽取 ×400=16(人). 100

答案

16

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3.若大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60 个、20个,现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25

的样本,较为恰当的抽样方法为________. 解析 因为三个盒子中装的是同一种产品,且按比例抽取 每盒中抽取的不是整数,所以将三盒中产品放在一起搅匀 按简单随机抽样法(抽签法)较为恰当. 答案 简单随机抽样 4.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的92家销售 连锁店中抽取30家了解情况.若用系统抽样法,则抽样间 隔和随机剔除的个体数分别为________. 解析 因为92=3×30+2,所以抽样间隔为3,随机剔除的 个体数为2. 答案 3,2
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5.(2012· 合肥一检)某高中在校学生2 000人.为了响应“阳光体
育运动”号召,学校举行了跑步和登山比赛活动.每人都参加 而且只参与了其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下

表:
跑步 登山 高一年级 高二年级 高三年级 a b c x y z

2 其中 a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的 . 5 为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个 200 人 的样本进行调查,则高二年级参与跑步的学生中应抽取 ________人.
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解析

3 样本中参与跑步的人数为:200× =120. 5

高二年级参与跑步的学生中应抽取人数为: 3 120× =36. 2+3+5

答案

36

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考向一

简单随机抽样

【例1】 第十六届亚洲运动会于2010年11月12日在广州举行,广 州某大学为了支持亚运会,从报名的60名大三学生中选10人 组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.



抽签法:

第一步:将60名志愿者编号,编号为1,2,3,…,60; 第二步:将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上,

并揉成团,制成号签;
第三步:将60个号签放入一个不透明的盒子里,充分搅匀; 第四步:从盒子中逐个抽取10个号签,并记录上面的编号;
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第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员. 随机数表法: 第一步:将60名志愿者编号,编号为01,02,03,…,60; 第二步:在随机数表中任选一数作为开始,按任意方向读数,比 如第8行第29列的数7开始,向右读; 第三步:从数7开始,向右读,每次取两位,凡不在01~60中的 数,或已读过的数,都跳过去不作记录,依次可得到 12,58,07,44,39,52,38,33,21,34; 第四步:找出以上号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员. [方法总结] 随机数表中共随机出现0,1,2,…,9十个数字,也就 是说,在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的.在 使用随机数表时,如遇到三位数或四位数时,可从选择的随机数 表中的某行某列的数字计起,每三个或每四个作为一个单位,自 左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
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【训练1】 有一批瓶装“山泉”牌矿泉水,编号为 1,2,3,…,112,为调查该批矿泉水的质量问题,打算

抽取10瓶入样,问此样本若采用简单随机抽样方法将
如何获得? 解 法一 (抽签法):把每瓶矿泉水都编上号码

001,002,003,…,112,并制作112个号签,把112个形 状、大小相同的号签放在同一个箱子里,进行均匀搅

拌,抽签时,每次从中抽出1个号签,连续抽取10次,
就得到一个容量为10的样本.

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法二

(随机数表法):第一步,将原来的编号调整为

001,002,003,…,112. 第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作

为读数方向.比如:选第9行第7列的数3,向右读.
第三步,从选定的数3开始向右读,每次读取三位,凡不 在001~112中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去

不读,依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,
092. 第四步,对应原来编号74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的 瓶装矿泉水便是要抽取的对象.
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考向二

系统抽样

【例2】 一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2,…, 999,并依次将其分为10个小组,组号为0,1,2,…, 9,要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定 如果在第0组随机抽取的号码为x,那么依次错位地得

到后面各组的号码,即第k组中抽取的号码的后两位数
为x+33k的后两位数, (1)当x=24时,写出所抽取样本的10个号码; (2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是 87,求x的取值范围.

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(1)当x=24时,按规则可知所抽取的样本的10个号码

依次为:24,157,290,323,456,589,622,755,888,921. (2)当k=0,1,2,…,9时,33k的值依次为 0,33,66,99,132,165,198,231,264,297;又抽取样本的10个号 码中有一个的后两位数是87,从而x可以为 87,54,21,88,55,22,89,56,23,90,所以x的取值范围是 {21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}.

[方法总结] 系统抽样时,如果总体中的个数不能被样本容
量整除时,可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个 体,然后再按系统抽样进行.

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【训练2】 某工厂有1 003名工人,从中抽取10人参加体 检,试 用系统抽样进行具体实施.
解 (1)将每个人编一个号由 0001 到 1003;

(2)利用简单随机抽样法找到 3 个号将这 3 名工人剔除; (3)将剩余的 1 000 名工人重新编号 0001 到 1000; 1 000 (4)分段,取间隔 k= =100,将总体平均分为 10 段,每 10 段含 100 名工人; (5)从第一段即为 0001 号到 0100 号中随机抽取一个号 l; (6)按编号将 l,100+l,200+l,…,900+l 共 10 个号选出,这 10 个号所对应的工人组成样本.
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考向三

分层抽样

【例3】 一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其中人口比例
为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个300人的样本,分 析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置

及水土有关,问应采取什么样的方法?并写出具体过
程. 解 因为该种疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同 乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的方法. ①将3万人分为五层,其中一个乡镇为一层.

②按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.

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300×

3 2 5 =60(人);300× =40(人);300× =100(人); 15 15 15

2 3 300× =40(人);300× =60(人),所以各乡镇抽取人 15 15 数分别为 60,40,100,40,60. ③将 300 人组到一起即得到一个样本.

[方法总结] 在分层抽样的过程中,为了保证每个个体被抽
到的可能性是相同的,这就要求各层所抽取的个体数与该 层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之 比,即ni∶Ni=n∶N.

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【训练3】 某校有高一学生400人,高二学生302人,高三学

生250人,现在按年级分层抽样,从所有学生中抽取一
个容量为190人的样本,应该在高________学生中剔除 人,高一、高二、高三抽取的人数依次是________.

解析

总体人数为 400+302+250=952(人).

302-2 952 400 250 ∵ 等于 5 余 2, =80, =60, =50, 190 5 5 5 ∴应从高二年级中剔除 2 人,从高一、高二、高三年级 中分别抽取 80 人,60 人,50 人. 答案 二 80、60、50

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热点突破31

高考中抽样方法问题

从近两年新课标高考试题可以看出高考主要是以填
空题的形式考查抽样方法,难度并不大.其中重点考查分 层抽样,其次是系统抽样.计算时应注意:分层抽样是按

比例抽样,系统抽样首先是对总体分段的计算,注意分段
时可能要排除一些个体,各段的间距是一样的.

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【示例】 (2010· 湖北卷改编)将参加夏令营的600名学生编 号为:001,002,…,600,采用系统抽样方法抽取一 个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名 学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从

301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个
营区被抽中的人数依次为________.
[审题与转化] 第一步:按照系统抽样方法,抽出的从 600 003 开始间隔为 =12 的号码. 50 第二步:抽取的号码按照等差数列的通项公式求解.

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[规范解答] 第三步: 第Ⅰ营区的学生人数需满足 0<12n 3 -9≤300,解得 <n≤25,故第Ⅰ营区的学生有 25 人; 4 第Ⅱ营区的学生人数需满足 300<12n-9≤495,则在第 Ⅱ营区的学生人数为 17 人;在第Ⅲ营区的学生人数需 满足 495<12n-9≤600,则在第Ⅲ营区的学生人数为 8 人.故填 25,17,8.

[反思与回顾] 第四步:系统抽样是把总体分成均匀的段 进行的抽样,一般有一个规则,其中最简单的一个就 是在第一段抽取的号码的基础上,加上段的长度.

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高考经典题组训练
1.(2012· 江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人 数之比是3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中 三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二 年级抽取________名学生.
解析 ∵高一、二、三年级的学生数之比是 3∶3∶4,

∴高二年级学生数在三个年级学生总数中所占比例为 3 3 3 = , ∴ 高 二 年 级 学 生 应 抽 取 ×50 = 10 3+3+4 10 15(人).

答案

15
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2.(2011· 天津卷)一支田径队有男运动员48人,女运动员
36人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽 取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为 ________. 解析 答案 ∵男、女运动员比例是4∶3,容量为21,∴每

份为3人,∴抽取男运动员为12人.
12

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3.(2010· 重庆卷改编)某单位有职工750人,其中青年职工350 人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职

工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本
中的青年职工为7人,则样本容量为________. 解析 由题意知,青年职工人数∶中年职工人数∶老年职 工人数=350∶250∶150=7∶5∶3.由样本中的青年职工为 7人得样本容量为15.

答案

15

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4.(2011· 上海卷)课题组进行城市空气质量调查,按地域
把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别 为4,12,8,若用分层抽样抽取6个城市,则丙组中应抽 取的城市数为________.

解析

n n1 n2 8 x 由分层抽样的性质N= = =…可知 = , N1 N2 24 6

∴x=2.
答案 2

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5.(2012· 山东卷改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做
问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在 第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32

人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间
[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人 中,做问卷B的人数为________. 解析 由题意知应将 960 人分成 32 组,每组 30 人.设
每组选出的人的号码为 30k+9(k=0,1,…,31),由 442 741 451≤30k+9≤750,解得 ≤k≤ ,又 k∈N,故 k 30 30 =15,16,…,24.

答案

10
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