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高考一轮复习第七章 第三节 平面的基本性质及两直线的位置关系


第三


第 七 章
立 体 几 何

平面 的基 本性

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

质及
两直 线的 位置 关系

提 能 力

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[备考方向要明

了] 考 什 么 1.了解可以作为推理依据的公理和定理.

2.理解空间直线、平面位置关系的定义.
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的 位置关系的简单命题.

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怎 么 考 1.从高考内容上来看,多以空间几何体为载体考查点、线面 间的位置关系及异面直线问题.

2.高考中各种题型均有涉及,难度中、低档.

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一、平面的基本性质及推论 1.平面的基本性质: 基本性质1:如果一条直线上的 两点在一个平面内,那么 这条直线上的所有点都在这个平面内. 基本性质2:经过 不在同一直线上 的三点,有且只有一个平 面.

基本性质3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么
它们 有且只有一条过这个点的公共直线. 返回

2.平面基本性质的推论: 推论1:经过一条直线和 直线外的一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条 相交直线 ,有且只有一个平面. 推论3:经过两条 平行直线,有且只有一个平面.

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二、直线与直线的位置关系
? 相交直线 ? ? ?共面直线? ? ?平行直线 位置关系的分类? ?异面直线:既不相交 又不平行 的直线 ?

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1.(教材习题改编)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 A.3 C.5 B.4 D.6 ( )

解析:如图与AB共面也与CC1共面 的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条. 答案: C

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2.下列说法正确的是 A.若a?α,b?β,则a与b是异面直线 B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面

(

)

C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面 解析:由异面直线的定义可知选D.

答案: D

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3.(2011· 四川高考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线, 则下列命题正确的是 ( )

A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面

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解析:在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定 平行,故A错;两条平行直线中的一条垂直于第三条 直线,则另一条也垂直于第三条直线,B正确;相互 平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,

故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三
条侧棱,故D错. 答案: B

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4.(教材习题改编)两个不重合的平面可以把空间分成
______部分. 解析:由题意知两个不重合的平面可以平行或相交, 平行时分空间3部分,相交时分空间4部分. 答案: 3或4

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5.一个正方体纸盒展开后如图所示, 在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB与CM所成的角为60°; ③EF与MN是异面直线; ④MN∥CD.

以上四个命题中,正确命题的序号是________.

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解析:把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图
所示,则AB⊥EF,EF与MN为异面直线,AB∥CM,

MN⊥CD,只有①③正确.
答案:①③

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1.三个基本性质的作用 (1)基本性质1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内; ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内. (2)基本性质2的作用:确定平面的依据,它提供了把空间

问题转化为平面问题的条件.
(3)基本性质3的作用:①判定两平面相交;②作两相交平 面的交线;③证明多点共线.

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2.异面直线的判定方法 (1)反证法; (2)利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:

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[例1] (2012· 金华模拟)在图中,G、N、M、H分别是正三
棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面 直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

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[自主解答]

图①中,直线GH∥MN;

图②中,G、H、N三点共面,但M?面GHN,

因此直线GH与MN异面;
图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 图④中,G、M、N共面,但H?面GMN, 因此GH与MN异面.

所以图②、④中GH与MN异面.
[答案] ②④ 返回

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!) 1. (2012· 青岛模拟)如图是一几何体的平 面展开图.其中ABCD为正方形,E、F 分别为PA、PD的中点,在此几何体中, 给出下面四个结论: ①直线BE与AF异面;②直线BE与CF异面;③EF∥平 面PBC;④平面BCE∩平面PAD=EF.

其中正确的有________(把所有正确结论的序号都填
上). 返回

解析:如图,①显然正确;由已知可得EF∥AD, AD∥BC,

∴EF∥BC. 即E、F、B、C共面. ∴②错误;③正确,④正确. 答案:①③④

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2.(2012· 合肥模拟)若两条异面直线所成的角为60°,则称 这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各 顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对.

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解析:正方体如图,若要出现所成的 角为 60° 的异面直线,则直线为面对 角线,以 AC 为例,与之构成黄金异面 直线对的直线有 4 条,分别是 A′B, BC′,A′D,C′D,正方体的面对角线有 12 条,所以所 12×4 求的黄金异面直线对共有 =24 对. 2

答案:24

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[冲关锦囊] (1)异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线 不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的

条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定
假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中 经常用到. (2)客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平面 内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直

线.

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[精析考题] [例 2] (2012· 淄博月考)如图, 四边形 ABEF 和 ABCD 都

1 1 是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 2 2 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点.

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(1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?

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[自主解答]

(1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD,

1 可得 GH 綊 AD. 2

1 又 BC 綊 AD,∴GH 綊 BC, 2 ∴四边形 BCHG 是平行四边形.

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1 (2)法一:由BE綊2AF,G为FA中点知BE綊GF, ∴四边形BEFG为平行四边形. ∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH. ∴EF与CH共面.又D∈FH, ∴C、D、F、E四点共面.

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法二:如图,延长FE、DC分别与AB的延长线交于点M,M′, 1 ∵BE綊2AF,∴B为MA的中点,

1 ∵BC綊2AD,∴B为M′A的中点, ∴M与M′重合,即EF与CD相交于点M(M′),∴C、D、E、F 四点共面.

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)

3.(2012· 汕头月考)如图所示,空间四
边形ABCD中,E、F、G分别在AB、 BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB =2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G 的平面交AD于H,连接EH.

(1)求AH∶HD;
(2)求证:EH、FG、BD三线共点.

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AE CF 解:(1)∵EB=FB=2,∴EF∥AC. ∴EF∥平面 ACD. 而 EF?平面 EFGH,且平面 EFGH∩平面 ACD=GH, ∴EF∥GH.而 EF∥AC.∴AC∥GH. AH CG ∴HD=GD=3,即 AH∶HD=3∶1.

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EF 1 GH 1 (2)证明:∵EF∥GH,且AC= , AC = , 3 4 ∴EF≠GH.∴四边形 EFGH 为梯形. 令 EH∩FG=P,则 P∈EH,而 EH?平面 ABD,P∈ FG,FG?平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴P∈BD.∴EH、FG、BD 三线共点.

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[冲关锦囊] 1.证明四点共面的基本思路有:一是直接证明,即利用 平面的基本性质或推论来直接证明;二是先由其中不 共线的三点确定一个平面,再证第四个点也在这个平 面内即可. 2.要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点

在直线上,也就是利用平面的基本性质3,即证点在
两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线, 然后证明另一点也在此直线上. 返回

3.证明三线交于一点常用的方法: (1)证明其中两线的交点在第三条直线上.将直线归为两平 面的交线,交点归为两平面的公共点,由平面的基本性

质3证明点在直线上.
(2)证明直线a与b的交点和b与c的交点重合.

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[考题范例] (2012· 大连模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F 分别为棱AA1、CC1的中点,则在空间中与三条直线 A1D1、EF、CD都相交的直线有________条.

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[快速得分] 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M 确定一个平面,这个平面与CD有且仅

有1个交点N,当M取不同的位置就确
定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与 这3条异面直线都有交点,如图所示.

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另解:在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平 面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交 于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求 直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线 A1D1,EF,CD都相交. 答案: 无数

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[高手点拨] 找与三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一

个平面内作与三条直线都相交的直线,因而可考虑过一
条直线及另外一条直线上的一点作平面,进而研究公共 交线问题,本题解法较多,但关键在于构造平面,要求 考生具有较强的空间想象能力.

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