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1.2 数列的函数特性


1.2 数列的函数特性

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第一章 数列

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1.了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公 式).

2.了解递增数列、递减数列、常数列的概念.
3.掌握判断数列增减性的方法.

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第一章 数列

/>
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1.判断数列的增减性(重点)

2.利用数列的增减性求最大、最小项(难点)
3.三种考查方式均有可能出现,属中档题.

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第一章 数列

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第一章 数列

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1 1 1 1 1.若数列{an}的前 4 项分别为-2,6,-12,20,则其 ?-1?n 一个通项公式为 an= . n?n+1? 2.若{an}的通项公式 an=3n-1,则 an+1=3n+2,an+1 -an=3,an 与 an+1 的大小关系为 an+1>an. 3. 对于函数 f(x), 若对于定义域内任意 x1<x2, 总有 f(x1) <f(x2)成立,则称 f(x)是单调递增函数.
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4.数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的有限子集
{1,2,3,?,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数

对应的一列函数值就构成一个数列.

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第一章 数列

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1.数列的表示方法 (1) 数 列 可 用 图 像 来 表 示 , 在 直 角 坐 标 系 中 , 以 序 号 为

,相应的项为 纵标 描 点 画 图 , 其 图 像 是 相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点.
横标 (2) 从 函 数 的 观 点 看 , 数 列 的 表 示 方 法 有

列表法、图像法、解析法.

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2.数列的函数特性 一个数列{an},如果从第 第二项 二项 起,每一项都 大于

它前面的一项,即an+1>an,那么这个数列叫做 递增数列.
如果从 起,每一项都 小于 它前面的一项, 递减数列. 如果数列{an}的各项都 常数列.

即an+1<an,那么这个数列叫做
相等,那么这个数列叫做

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第一章 数列

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1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( 1 1 1 A.1, , , ,? 2 3 4 B.-1,-2,-3,-4,? 1 1 1 C.-1,- ,- ,- ,? 2 4 8 D.1, 2, 3,?, n

)

答案:

C

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2.数列{an}的通项公式an=3n2-28n,则数列{an}各项中最

小的项是(
A.第4项 C.第6项

)
B.第5项 D.第7项

答案: B 3.已知an + 1 -an -3=0,则数列{an}是________数列(填 “递增”或“递减”) 答案: 递增

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c?n+1? cn 解析: an+1-an= - b?n+1?+1 bn+1 c = >0, ?bn+b+1??bn+1? ∴an+1>an.

答案: an+1>an

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5.已知数列{an}的通项公式为 an= n2+1,证明数列 {an}为递增数列.
证明: ∵an= n2+1,∴an+1= ?n+1?2+1, ∴an+1-an= ?n+1?2-1- n2+1 2n+1 = >0. 2 2 ?n+1? +1+ n +1 ∴an+1>an,∴数列{an}为递增数列.

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把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1,3,5,7,?用列表法 表示出来,并在直角坐标系中画出它的图像,根据图像指出它 的增减性.

先列表,描点得到图像,再观察图像得到数列的增减性.

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[解题过程] 列表 n an 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 ? ? k 2k-1 ? ?

图像:

由图像知,从第2项起,每一项都大于它前面的一项,所以 是递增数列.
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[题后感悟]

(1)数列的表示方法有列表法、图像法、解析法,

这同函数的表示方法相一致. (2)利用图像可直观判断数列的增减性.

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1.把数列{n2-9n}用列表法表示出来,并在直角坐标系中
画出它的图像,并根据图像指出它的增减性. 解析: 列表
n an 1 -8 2 -14 3 -18 4 -20 5 -20 6 -18 7 -14 8 -8 ? ? k k2-9k ? ?

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图像

由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的,在{5,6,7,8,?}

上是递增的.

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1 已知函数 f(x)=x-x .数列{an}满足 f(an)=-2n,且 an> 0. (1)求数列{an}的通项公式. (2)判断数列{an}的增减性.

先将条件看作:关于an的方程,通过解方程求出an,再用作 差法或作商法判断增减性.

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[解题过程]

1 (1)∵f(x)=x-x ,f(an)=-2n.

1 ∴an- =-2n.即 an2+2nan-1=0, an 解得 an=-n± n2+1, ∵an>0,∴an= n2+1-n.
(2)方法一(作差法): ∵an+1-an= ?n+1?2+1-(n+1)-( n2+1-n) = ?n+1?2+1- n2+1-1 [ ?n+1?2+1- n2+1][ ?n+1?2+1+ n2+1] = -1 2 2 ?n+1? +1+ n +1
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?n+1?+n = -1 2 2 ?n+1? +1+ n +1 显然 ?n+1?2+1>n+1, n2+1>n. ?n+1?+n ∴ <1 2 2 ?n+1? +1+ n +1 ∴an+1-an<0,即 an+1<an. ∴数列{an}是递减数列.

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方法二:(作商法) ∵an>0, an+1 ?n+1?2+1-?n+1? ∴ = an n2+1-n = [ ?n+1?2+1-?n+1?]? n2+1+n?[ ?n+1?2+1+?n+1?] ? n2+1-n?? n2+1+n?[ ?n+1?2+1+?n+1?] n2+1+n = <1 2 ?n+1? +1+?n+1? ∴an+1<an.∴数列{an}是递减数列.
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第一章 数列

[题后感悟] 数列{an}增减性的判定方法:

(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列; ②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列; ③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列. (2)作商比较法
an+1 an+1 an >1 an <1 递增数列 递减数列 递减数列 递增数列
第一章 数列

an>0 an<0
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an+1 an =1 常数列 常数列
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n2 2.已知数列{an}的通项公式为 an= 2 .求证此数列为 n +1 递增数列.
?n+1?2 n2 证明: ∵an+1-an= - 2 2 ?n+1? +1 n +1 ?n+1?2?n2+1?-n2[?n+1?2+1] = [?n+1?2+1]?n2+1? 2n+1 = . 2 2 [?n+1? +1]?n +1?

由n∈N+,得an+1-an>0,即an+1>an, ∴数列{an}是递增数列.
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第一章 数列

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已知数列{an}的通项公式为

?10? an=(n+1)?11?n(n∈N+),试 ? ?

问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项;若没有,说明 理由.

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[策略点睛]

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[规范作答] 方法一:因为 an+1-an ?10? + ?10? n 1 =(n+2)?11? -(n+1)?11 ?n ? ? ? ? ?10? 9-n =?11?n·11 , ? ? 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an;

所以 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?, 所以数列中有最大项,最大项为第 9、10 项, 1010 即 a9=a10= 119 .

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第一章 数列

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方法二:假设数列{an}中有最大项,并设第 k 项为最大项, ?a ≥a - ? k k 1 对任意的 k∈N+且 k≥2 都成立. ? ?ak≥ak+1 ? ?10? ?10? - ? k ?k+1??11? ≥k?11?k 1? ? ? ? ? ? 即? , ?10? ?10? + ??k+1?? ?k≥?k+2?? ?k 1 ? ?11 ? ?11 ? ?10 ?11?k+1?≥k ∴? ?k+1≥10?k+2? 11 ?

,解得 9≤k≤10.

又 k∈N+, ∴数列{an }中存在的最大项是第 9 项和第 10 项.
1010 且 a9=a10= 119 .
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?10? ?n+1??11?n an ? ? 方法三:令 ≥1(n≥2),即 ?10? ≥1, an-1 - n?11 ?n 1 ? ?

n+1 11 整理,得 n ≥10,解得 2≤n≤10, 当 n=10 时取等号.
?10? ?n+1??11?n an ? ? 令 ≥1,即 ?10? + ≥1, an+1 ?n+2??11?n 1 ? ?

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n+1 10 整理得 ≥ .解得 n≥9, n+2 11 当 n=9 时取等号. 所以从第 1 项到第 9 项递增,从第 10 项起递减. 所以数列{an}有最大项,最大项为第 9、10 项, 1010 即 a9=a10= 9 . 11

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第一章 数列

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[题后感悟]

(1)对于正项数列的单调性判断除利用作差

an+1 an+1-an 来研究外,还可以利用 a 与 1 的大小来判断. n (2)若求一数列中最大项
?a ≥a + ? n n 1 an,只需满足? ?an≥an-1 ?

求出 n

值,求最小项

?a ≤a + ? n n 1 an,只需满足? ?an≤an-1 ?

求出 n 值.?

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3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4,则(1)数列中 有多少项是负数? (2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
解析: (1)an=n
2

? 5?2 9 -5n+4=?n-2? - , 4 ? ?

当 n=2,3 时,an<0. ∴数列中有两项是负数.

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第一章 数列

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(2)∵an=n

2

? 5?2 9 -5n+4=?n-2? -4, ? ?

5 可知对称轴方程为 n=2=2.5. 又因 n∈N+,故 n=2 或 3 时,an 有最小值,其最小值 为-2.

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写出满足条件的数列的前4项,并归纳出通项公式:

(1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N+);
(2)a1=3,an+1=3an(n∈N+).

根据递推公式写出前4项,再由这4项寻找规律,归纳出通
项公式.

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[解题过程] (1)由递推关系,得a1=0=02,
a2=a1+(2×1-1)=1=12,

a3=a2+(2×2-1)=4=22,
a4=a3+(2×3-1)=9=32. 观察前4项,可归纳出an=(n-1)2. (2)由递推关系式,得 a1=3=31,a2=3a1=9=32, a3=3a2=27=33,a4=3a3=81=34. 观察前4项,可归纳出an=3n.
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[题后感悟] 递推公式是确定数列的另一种形式,由递推公 式求通项公式的基本方法是先求出数列的前几项再进行归纳.

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4 . 在 数 列 {an} 中 , 已 知 a1 = 2 , a2 = 3 , an + 2 = 3an + 1 -
2an(n≥1),写出数列的前6项并归纳出数列的通项公式. 解析: 由a1=2,a2=3及an+2=3an+1-2an 得:a3=3a2-2a1=5=22+1 a4=3a3-2a2=9=23+1 a5=3a4-2a3=17=24+1 a6=3a5-2a4=33=25+1. 由此可归纳an=2n-1+1.
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1.数列的单调性

(1)单调性理解,数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为
正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性如an=(-1)n或常 数数列.有些数列在正整数集上有多个单调情况,如an =(n- 10)2 在n∈{1,2,?,10}上单调递减.在n∈{10,11,?}单调递 增.有些数列在正整数集上单调性一定如an=2n+1.

(2)判断方法:①比较an+1与an的大小(即定义法)
②利用数列的图像直观判断.

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2.数列的递推关系
(1)有些数列的给出利用通项公式不直观或不能写成关于n的 函数,往往借助于相邻之间的关系给出:如数列 1,1,2,3,5,8,13,? 此数列的规律可以写成an+2=an+1+an.其中a1=1,a2=1.可 以利用以上关系列出整个数列,把此种类型的表示方法称为递 推公式法.

(2)递推公式存在一定的弊端,不能直接写出指定的某一项
的值,有时需转化成通项公式,往往需运用归纳猜想或逻辑推 理的方法得到.
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第一章 数列

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3.函数与数列的联系与区别
一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时, 要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题, 即用共性来解决特殊问题. 另一方面,还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义

域是N + 或它的子集{1,2,?,n},因而它的图像是一系列孤立
的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲 线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性,如研究单调

性时,由数列的图像可知,只要这些点每个比它前面相邻的一
个高(即an >an-1),则图像呈上升趋势,即数列递增,即{an}递 增?an+1 >an 对任意的n(n∈N + )都成立.类似地,有{an}递减 ?an+1<an对任意的n(n∈N+)都成立.
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◎已知数列{an}是递增数列,且对于任意的n∈N+,an=n2
+λn恒成立,求实数λ的取值范围.
【错解】 因为 an=n2+λn 是关于 n 的二次函数,且 λ n≥1,所以-2≤1,解得 λ≥-2.

【错因】 数列是以正整数N+(或它的有限子集{1,2,?, n})为定义域的函数,因此它的图像只是一些孤立的点.

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【正解一】

因为 an=n2+λn,

λ 其图像的对称轴为 n=-2, λ 由数列{an}是单调递增数列有- ≤1, 2 得 λ≥-2; 如图所示,当
? λ? λ ?- ?>- -1, 2- 2 2 ? ?

即 λ>-3 时,数列{an}也是单调递增的.

故λ的取值范围为{λ|λ≥-2}∪{λ|λ>-3}={λ|λ>-3}. 即λ>-3为所求的范围.

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【正解二】 因为数列{an}是单调递增数列, 所以an+1-an>0(n∈N+)恒成立. 又an=n2+λn(n∈N+), 所以(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)>0恒成立, 即2n+1+λ>0. 所以λ>-(2n+1)(n∈N+)恒成立. 而n∈N+时,-(2n+1)的最大值为-3(n=1时), 所以λ>-3即为所求的范围.

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练考题、验能力、轻巧夺冠
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