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省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 正态分布(含解析)


安徽省宿松县九姑中学 2015 届高考数学百大经典例题 正态分 布(含解析)
例 设 ? 服从 N (0,1) ,求下列各式的值: (2 ) P(? ? ?1.24); (3) P( ? ? 1.54).

(1) P(? ? 2.35);

分析:因为 ? 用从标 准正态分布,所以可以借助于标准正态分布表,查出其值.但由 于表中

只列出 x0 ? 0, P(? ? x0 ) ? ?( x0 ) 的情形,故需要转化成小于非负值 x0 的概率,公 式:?(? x) ? 1 ? ?( x); P(a ? ? ? b) ? ?(b) ? ?(a); 和 P(? ? x0 ) ? 1 ? P(? ? x0 ) 有其用武 之地.

; 解: (1) P(? ? 2.35) ? 1 ? P(? ? 2.35) ? 1 ? ?(2.35) ? 1 ? 0.9906? 0.0094 ; (2) P(? ? ?1.24) ? ?(?1.24) ? 1 ? ?(1.24) ? 1 ? 0.8925? 0.1075
(3) P( ? ? 1.54) ? P(?1.54 ? ?1.54) ? ?(1.54) ? ?(?1.54)

? ?(1.54) ? [1 ? ?(1.54)] ? 2?(1.54) ? 1 ? 0.8764 .
说明:要制表提供查阅是为了方便得出结 果,但标准正 态分布表如此简练的目的,并 没有给查阅造成不便. 相反其简捷的效果更突出了核心内容. 左边的几个公式都应在理解的 基础上记住它,并学会灵活应用. 求服从一般正态分布的概率 设 ? 服从 N (1.5,2 ) 试求:
2



(1) P(? ? 3.5); (3) P(? ? 2);

(2) P(? ? ?4); (4) P( ? ? 3).

分 析 : 首 先 , 应 将 一 般正 态 分 布 N (1.5,2) 转 化 成 标 准 正 态 分 布 , 利 用 结 论 : 若

? ~ N (?,? 2 ) ,则由 ? ?

??? ? x?? ? ~ N (0,1) 知: P(? ? x) ? ?? ?, 其后再转化为非负标 ? ? ? ?
? 3.5 ? 1.5 ? ; ? ? ?(1) ? 0.8413 2 ? ?

准正态分布情况的表达式,通过查表获得结果. 解: (1) P(? ? 3.5) ? ??

1

(2) P(? ? ?4) ? ??

? ? 4 ? 1.5 ? ; ? ? ?(?2.75) ? 1 ? ?(2.75) ? 0.0030 2 ? ? ? 2 ? 1.5 ? ; ? ? 1 ? ?(0.25) ? 0.4013 ? 2 ?

(3) P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 2) ? 1 ? ??

(4) P( ? ? 3) ? P(? ? 2) ? 1 ? ??

? 3 ? 1.5 ? ? ? 3 ? 1.5 ? ? ? ?? ? 2 ? ? 2 ? ?

? ?(0.75) ? ?(?2.25) ? 0.7734? [1 ? ?(2.25)] ? 0.7734? (1 ? 0.9878 ) ? 0.7612 .
说明:这里,一般正态分布 ? ~ N (? ,? ) ,总体小于 x 的概 率值 F ( x) 与 P(? ? x) 和
2

? x?? ? ? x?? ? ?? ? 是 一样的表述,即: P(? ? x) ? F ( x) ? ?? ?. ? ? ? ? ? ?
服从正态分布的材料强度的概率 已知:从某批材料中任取一件时,取得的这件材料强度 ? 服从 N (200 ,18 ).
2



(1)计算取得的这件材料的强度不低于 180 的概率. (2)如果所用的材料要求以 99%的概率保证强度不低于 150,问这批材料 是否符合这 个要求. 分析:这是一个实问 题,只要通过数学建模,就可以知道其本质就是一个“正态分布 下求随机变量在某一范围内取值的概率 ”的问题;本题的第二问是一个逆向式问法,只要 把握实质反向求值即可. 解: (1 ) P(? ? 180) ? 1 ? P(? ? 180) ? 1 ? ??

? 180? 120? ? ? 1? ? 18 ?

?(?1.11) ? 1 ? [1 ? ?(1.11)] ? ?(1.11) ? 0.8665 ;
(2)可以先求出 :这批材料中任取一件时强度都不低于 150 的概率为多少,拿这 个结 果与 99%进行比较大小,从 而得出结论. ? 150? 200? P(? ? 150) ? 1 ? P(? ? 150) ? 1 ? ?? ; ? ? 1 ? ?(?2.78) ? 1 ? [1 ? ?(2.78)] ? ?(2.78) ? 0.9973 18 ? ? 即从这批 材料中任取一件时,强 度保证不低于 150 的概率为 99.73%>99 %,所以这 批材料符合所提要求. 说明: “不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于” .转化“小于”后,仍须再转化 为非负值的标准正态分布表达式,从而才可查表. 公 共汽车门的 高度 例 若公共汽车门的高度是按照保证成年 男子与车门顶部碰头的概率在 1%以下设计

2

,36) (单位:㎝) 的 ,如果某地成年男子的身高 ? ~ N (175 ,则该地公共汽车门的高度应设
计为多高? 分析:实际应 用问题,分析 可知:求的是门 的最低高度 ,可设其为 x(cm) ,使其总体 在不低于 x 的概率值小于 1%,即: P(? ? x) ? 0.01 ? 1% ,从中 解出 x 的范围. 解:设该地公共汽车门的高度应设计高为 x cm,则根据题意可知: P(? ? x) ? 1% ,由

,36) , 于 ? ~ N (175
所以, P(? ? x) ? 1 ? P(? ? x) ? 1 ? ??

? x ? 175? ? ? 0.01; ? 6 ?

也即 : ??

? x ? 175? ? ? 0.99; ? 6 ?
x ? 175 ? 2.33; 6

通过查表可知:

解得: x ? 188.98; 即该地公共汽车门至少应设计为 189cm 高. 说明:逆向思维和逆向查表 ,体现解决问题的灵活性.关键是理解题意和找出正确的 数学表达式. 学生成绩的正态分布 例 某班有 48 名同学,一次考试后数学成绩服从正态分布.平均分为 80,标准差 为 10, 问 从理论上讲在 80 分至 90 分之间有多少人? 分析:要求 80 分至 90 分之间的人数,只要算出分数落在这个范围内的概率,然后乘 以总人数即可,而计算这个概率,需要 查标准正态分布表,所以应首先 把这个正态总体化 成标准正态总体. 解:设 x 表示这个班的数学成 绩,则 x 服从 N (80,10 ) 设Z ?
2

x ? 80 则 z 服从标准正态分布 N (0,1) . 10

查标准正态分布 表,得:

? (1) ? 0.8413 ,? (0) ? 0.5000

p(80 ? x ? 90) ? p(


80 ? 80 x ? 80 90 ? 80 ? ? ) ? p(0 ? z ? 1) ? ?(1) ? ?(0) ? 0.8 10 10 10 ? 0.5 ? 0.3


4

∴ 48 ? 0.3413 ? 16.3824 ? 16 . 说明:这类问题最容易犯 的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解,一般地,我 们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体.

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