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新疆巴音郭楞州库尔勒市兵团农二师华山中学2015届高三上学期月考数学试卷(文科)


新疆巴音郭楞州库尔勒市兵团农二师华山中学 2015 届高三上学 期月考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)已知集合 M={x|x ﹣3x≤0},N={x|y=ln(x﹣2)},则 Verm 图中阴影部分表示的集 合是()
2

A.[2,3]

B.(2,3]

C.[0,2]

D.(2,+∞)

2. (5 分)函数 f(x)= A.(1,2) B.[1,2)

的定义域是() C.(﹣∞,1)∪(2,+∞) D. (1,2]

3. (5 分)“(2x﹣1)x=0”是“x=0”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)下列命题中: ①若 p,q 为两个命题,则“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件. ②若 p 为:?x∈R,x +2x≤0,则?p 为:?x∈R,x +2x>0. ③命题“若?p,则 q”的逆否命题是“若 p,则?q”. 其中正确结论的个数是() A.1 B. 2 C. 3
2 2

D.0

5. (5 分)下列函数在其定义域内,既是奇函数又存在零点的是() A.f(x)=e ﹣1
x

B.f(x)=x+x

﹣1

C.f(x)=x﹣x

﹣1

D.f(x)=﹣|sinx|

6. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(﹣2)= () A.﹣1 B . ﹣3 C. 1 D.3 7. (5 分)曲线 y=lnx+x 在点 M(1,1)处的切线与坐标轴围成三角形的面积是() A. B. C. D.

8. (5 分)执行程序框图,若 p=4,则输出的 S 等于()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)函数 f(x)=|x﹣2|﹣lnx 在定义域内零点的个数为() A.0 B. 1 C. 2

D.3

10. (5 分)已知实数 a≠0,函数 a 的取值范围是() A.(0,+∞)

,若 f(1﹣a)≥f(1+a) ,则实数

B.(﹣∞,0)

C.[﹣2,﹣1]

D.[﹣2, ﹣1]∪ (0, +∞)

11. (5 分)已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示〔其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数〕 ,y=f (x)的图象大致是下图中的()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分) 设向量 (b1,b2)=(a1b1,a2b2) .已知 图象上运动,且满足 别是() A. B. C.2,π

, 定义一运算:

? ,点 Q 在 y=f(x)的

(其中 O 为坐标原点) ,则 y=f(x)的最大值及最小正周期分

D.2,4π

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)若点(a,﹣1)在函数 的图象上,则 的值为.

14. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3ax +a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范 围为. 15. (5 分)若命题“?x∈R,使 x +(a﹣1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为. 16. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2(a+2)x+a ,g(x)=﹣x +2(a﹣2)x﹣a +8.设 H1(x) =max{f(x) ,g(x)},H2(x)=min{f(x) ,g(x)}, (max{p,q})表示 p,q 中的较大值, min{p,q}表示 p,q 中的较小值,记 H1(x)得最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A﹣ B=.
2 2 2 2 2

3

2

三、解答题:本大题共 4 小题,第 17 题 10 分,第 18-22 题,每题 12 分,共 70 分. 2 17. (10 分)已知 m∈R,命题 p:对任意 x∈[0,1],不等式 2x﹣2≥m ﹣3m 恒成立;命题 q: 存在 x∈[﹣1,1],使得 m≤ax 成立. (1)若 p 为真命题,求 m 的取值范围; (2)当 a=1,若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 m 的取值范围. 18. (12 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数且对任意实数 x 恒有 f(x+2)=﹣f(x) ,当 x∈[0, 2 2]时,f(x)=2x﹣x . (1)当 x∈[﹣2,0)时,求 f(x)的解析式; (2)计算 f(1)+f(2)+…+f 的值. 21. (12 分)已知函数 f(x)= (sin x﹣cos x)+2sinxcosx. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)设 x∈[﹣ , ],求 f(x)的值域和单调递增区间.
x 2 2

22. (12 分)设 a 为实数,函数 f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R.

(1)求 f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当 a>ln2﹣1 且 x>0 时,e >x ﹣2ax+1.
x 2

【选修 4-5:不等式选讲】 19. (12 分)选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣m|+|x+6|(m∈R) (Ⅰ)当 m=5 时,求不等式 f(x)≤12 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

【选修 4-4;坐标系与参数方程】 20. (12 分) 已知点 P (1+cosα, sinα) , 参数 α∈[0, π], 点 Q 在曲线 C: ρ= 上. (1)求点 P 的轨迹方程和曲线的直角坐标方程: (2)求|PQ|的最大值.

新疆巴音郭楞州库尔勒市兵团农二师华山中学 2015 届高 三上学期月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分. 2 1. (5 分)已知集合 M={x|x ﹣3x≤0},N={x|y=ln(x﹣2)},则 Verm 图中阴影部分表示的集 合是()

A.[2,3]

B.(2,3]

C.[0,2]

D.(2,+∞)

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 根据阴影部分对应的集合为 A∩B,然后根据集合的基本运算进行求解即可. 2 解答: 解:A={x|x ﹣3x≤0}={x|0≤x≤3},B={x|y=ln(x﹣2)}={x|x>2}, 由题意可知阴影部分对应的集合为 A∩B={x|2<x≤3}, 故选:B. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,利用阴影部分表示出集合关系是解决本题的关键.

2. (5 分)函数 f(x)= A.(1,2) B.[1,2)

的定义域是() C.(﹣∞,1)∪(2,+∞) D. (1,2]

考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 根据函数的解析式可得 ,解得 x 的范围,从而求得函数的定义域.

解答: 解:∵函数 f(x)=

,∴

,解得 1<x<2,故函数的定义域

为 (1,2) , 故选 A. 点评: 本题主要考查求函数的定义域的方法,属于基础题. 3. (5 分)“(2x﹣1)x=0”是“x=0”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的判断充要条件的方法,我们可以根据充要条件的定义进行判断. 解答: 解:若(2x﹣1)x=0 则 x=0 或 x= .即(2x﹣1)x=0 推不出 x=0. 反之,若 x=0,则(2x﹣1)x=0,即 x=0 推出(2x﹣1)x=0 所以“(2x﹣1)x=0”是“x=0”的 必要不充分条件. 故选 B 点评: 判定条件种类,根据定义转化成相关命题的真假来判定. 一般的,①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. 4. (5 分)下列命题中: ①若 p,q 为两个命题,则“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件. 2 2 ②若 p 为:?x∈R,x +2x≤0,则?p 为:?x∈R,x +2x>0. ③命题“若?p,则 q”的逆否命题是“若 p,则?q”. 其中正确结论的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.0 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑.

分析: ①根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. ②根据含有量词的命题的否定即可得到结论. ③根据四种命题之间的关系即可得到结论. 解答: 解:①若 p,q 为两个命题,若“p 且 q 为真”,则 p,q 同时为真命题,若“p 或 q 为 真”,则 p,q 至少有一个为真, 则 p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的充分不必要条件,故①错误. ②若 p 为:?x∈R,x +2x≤0,则¬p 为:?x∈R,x +2x>0.正确. ③命题“若¬p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则 p”,故③错误. 故正确的只有②, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,四种命题之间的关系以及含有量词的命 题的否定,比较基础. 5. (5 分)下列函数在其定义域内,既是奇函数又存在零点的是() A.f(x)=e ﹣1
x 2 2

B.f(x)=x+x

﹣1

C.f(x)=x﹣x

﹣1

D.f(x)=﹣|sinx|

考点: 函数奇偶性的判断;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数的奇偶性,再判断函数的零点情况,从而得出结论. 解答: 解:由于函数 f(x)=e ﹣1,f(﹣x)=e +1≠﹣f(x) ,故函数不是奇函数,故排除 A. 由于函数 f(x)=x+x 满足 f(﹣x)=﹣x+(﹣x) ﹣(x﹣x )=﹣f(x) ,是奇函数, 但方程 f(x)=0 无解,故不存在零点,故排除 B. 由于函数 f(x)=x﹣x
﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣1

x

﹣x

是 满足 f(﹣x)=﹣x﹣(﹣x) =﹣(x﹣ )=﹣f(x) ,是奇函数,

﹣1

且由 f(x)=0 解得 x=1,故存在零点 x=1,故 C 满足条件. 由于函数 f(x)=﹣|sinx|,满足 f(﹣x)=﹣|sin(﹣x)|=﹣|sinx|=f(x) ,是偶函数,不是奇 函数,故排除 D, 故选 C. 点评: 本题主要考查函数零点的定义和判断,函数的奇偶性的判断,属于中档题. 6. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(﹣2)= () A.﹣1 B . ﹣3 C. 1 D.3 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数奇偶性可得 f(﹣2)=﹣f(2) ,根据 x>0 时 f(x)表达式可求得 f(2) ,从 而可求得 f(﹣2) . 解答: 解:因为 f(x)为奇函数,所以 f(﹣2)=﹣f(2) , 又 x>0 时,f(x)=log3(1+x) , 所以 f(﹣2)=﹣log3(1+2)=﹣1, 故选 A. 点评: 本题考查函数的奇偶性、对数运算法则,属基础题.

7. (5 分)曲线 y=lnx+x 在点 M(1,1)处的切线与坐标轴围成三角形的面积是() A. B. C. D.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;三角形的面积公式. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据求导公式求出函数的导数,把 x=1 代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化 简,分别令 x=0 和 y=0 求出切线与坐标轴的交点坐标,再代入面积公式求解. 解答: 解:由题意得 y′= +1,则在点 M(1,1)处的切线斜率 k=2, 故切线方程为:y﹣1=2(x﹣1) ,即 y=2x﹣1, 令 x=0 得,y=﹣1;令 y=0 得,x= , ∴切线与坐标轴围成三角形的面积 S= = ,

故选 A. 点评: 试题主要考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考生的计算 能力. 8. (5 分)执行程序框图,若 p=4,则输出的 S 等于()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 分析: 由程序框图知,此程序是求 解答: 解:由程序框图可知 S= 故选:B. 点评: 作这类题的关键是看懂其算法过程.把程序语言翻译成代数去处理求值. + 的和

9. (5 分)函数 f(x)=|x﹣2|﹣lnx 在定义域内零点的个数为() A.0 B. 1 C. 2 考点: 函数的零点;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用.

D.3

分析: 先求出函数的定义域,再把函数转化为对应的方程,在坐标系中画出两个函数 y1=|x ﹣2|,y2=lnx(x>0)的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数. 解答: 解:由题意,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ; 由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0 的根. 令 y1=|x﹣2|,y2=lnx(x>0) ,在一个坐标系中画出两个函数的图象: 由图得,两个函数图象有两个交点, 故方程有两个根,即对应函数有两个零点. 故选 C.

点评: 本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系,通过转化和作图求出 函数零点的个数.

10. (5 分)已知实数 a≠0,函数 a 的取值范围是() A.(0,+∞)

,若 f(1﹣a)≥f(1+a) ,则实数

B.(﹣∞,0)

C.[﹣2,﹣1]

D.[﹣2, ﹣1]∪ (0, +∞)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 依题意,对 a 分 a<0 与 a>0 讨论,解关于 a 的一元二次不等式即可求得实数 a 的取 值范围. 解答: 解:∵数 a≠0,f(x)=
2


2

∴当 a>0 时,f(1﹣a)≥f(1+a)?(1﹣a) +2a≥﹣(1+a)?a +a+2>0? 0, 显然成立, ∴a>0 符合题意; 2 2 当 a<0 时,f(1﹣a)≥f(1+a)?﹣(1﹣a)≥(1+a) +2a?a +3a+2≤0, 解得:﹣2≤a≤﹣1.

+ >

综上所述,实数 a 的取值范围是[﹣2,﹣1]∪(0,+∞) . 故选 D. 点评: 本题考查解一元二次不等式,考查分段函数理解与应用,考查分类讨论思想,属于 中档题. 11. (5 分)已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示〔其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数〕 ,y=f (x)的图象大致是下图中的()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 导数的综合应用. 分析: 分别利用函数的导数判断函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:由 y=xf′(x)的图象可知,当 x>0 时,当 0<x<1 时,f′(x)<0,此时函数单 调递减, 当 x>1 时,f′(x)>0,函数单调递增, 当 x<0 时,若﹣1<x<0 时,f′(x)<0,此时函数单调递减, 当 x<﹣1 时,f′(x)>0,函数单调递增, 故 x=﹣1 时,函数 f(x)取得极大值,x=1 时,函数 f(x)取得极小值, 故对应的图象为 C, 故选:C 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数导数符号和单调性之间的关系是解 决本题的关键. 12. (5 分) 设向量 (b1,b2)=(a1b1,a2b2) .已知 图象上运动,且满足 别是() A. B. C.2,π D.2,4π , 定义一运算: ? ,点 Q 在 y=f(x)的

(其中 O 为坐标原点) ,则 y=f(x)的最大值及最小正周期分

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由题意可得 Q 的坐标,进而可得

,可得函数解析式为 y=f(x)=2sin2x,

由三角函数的知识易得答案. 解答: 解:由题意可得 故点 Q 的坐标为( ,2sinx1) , =( ,2sinx1) ,

由点 Q 在 y=f(x)的图象上运动可得



消掉 x1 可得 y=2sin2x,即 y=f(x)=2sin2x 故可知最大值及最小正周期分别是 2,π, 故选 C 点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,由新定义得出函数的解析式是解决问题的关键, 属中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)若点(a,﹣1)在函数 的图象上,则 的值为 .

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 将 x=a,y=﹣1 代入函数解析式中求出 a 的值,将 a 的值代入所求式子中计算即可求 出值. 解答: 解:将 x=a,y=﹣1 代入函数解析式得:﹣1= 解得:a=3, 则 tan =tan =tan(π+ )=tan = . ,

故答案为: 点评: 此题考查了三角函数的化简求值,涉及的知识有:对数的运算性质,诱导公式,以 及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键. 14. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3ax +a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范 围为( ,+∞) .
3 2

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: 先利用导数求函数的极大值和极小值,再解不等式,求交集即可. 2 解答: 解∵f′(x)=3x ﹣6ax(a>0) , ∴由 f′(x)>0 得:x>2a 或 x<0,由 f′(x)<0 得:0<x<2a. ∴当 x=2a 时,f(x)有极小值,x=0 时,f(x)有极大值. 由极大值为正数,极小值为负数,即 3 2 (2a) ﹣3a(2a) +a<0,且 a>0, 解得 a> . 故答案为: ( ,+∞) . 点评: 本题考查导数求函数的极值.解决函数的极值问题,导数是唯一方法.极值点左右 两边的导数符号必须相反. 15. (5 分)若命题“?x∈R,使 x +(a﹣1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为﹣1≤a≤3. 考点: 命题的真假判断与应用;一元二次不等式的应用. 分析: 先求出命题的否定,再用恒成立来求解 解答: 解:命题“?x∈R,使 x +(a﹣1)x+1<0”的否定是:““?x∈R,使 x +(a﹣1)x+1≥0” 2 即:△ =(a﹣1) ﹣4≤0, ∴﹣1≤a≤3 故答案是﹣1≤a≤3 点评: 本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题. 16. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2(a+2)x+a ,g(x)=﹣x +2(a﹣2)x﹣a +8.设 H1(x) =max{f(x) ,g(x)},H2(x)=min{f(x) ,g(x)}, (max{p,q})表示 p,q 中的较大值, min{p,q}表示 p,q 中的较小值,记 H1(x)得最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A﹣ B=﹣16. 考点: 函数的值域. 专题: 新定义. 分析: 由 f(x)=g(x)时解得 x 的值,求出 H1(x) 、H2(x) ,即得 A 与 B 的表达式,从 而计算 A﹣B 的值. 解答: 解:∵f(x)=x ﹣2(a+2)x+a =[x﹣(a+2)] ﹣4a﹣4, 2 2 2 g(x)=﹣x +2(a﹣2)x﹣a +8=﹣[x﹣(a﹣2)] ﹣4a+12, 当 f(x)=g(x)时,x=a+2 或 x=a﹣2; 又∵H1(x)=max{f(x) ,g(x)}, H2(x)=min{f(x) ,g(x)}; ∴A=﹣4a﹣4,B=﹣4a+12, ∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16; 故答案为:﹣16.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查了新定义下的二次函数的值域问题,解题时应深刻理解题意,求出 A 与 B 的表达式,是解题的关键. 三、解答题:本大题共 4 小题,第 17 题 10 分,第 18-22 题,每题 12 分,共 70 分. 2 17. (10 分)已知 m∈R,命题 p:对任意 x∈[0,1],不等式 2x﹣2≥m ﹣3m 恒成立;命题 q: 存在 x∈[﹣1,1],使得 m≤ax 成立. (1)若 p 为真命题,求 m 的取值范围; (2)当 a=1,若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;一元二次不等式的解法. 专题: 简易逻辑. 分析: (Ⅰ)由对任意 x∈[0,1],不等式 2x﹣2≥m ﹣3m 恒成立,知 m ﹣3m≤﹣2,由此能 求出 m 的取值范围. (Ⅱ)由 a=1,且存在 x∈[﹣1,1],使得 m≤ax 成立,推导出命题 q 满足 m≤1,由 p 且 q 为假, p 或 q 为真,知 p、q 一真一假.由此能求出 a 的范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)∵对任意 x∈[0,1],不等式 2x﹣2≥m ﹣3m 恒成立, 2 ∴(2x﹣2)min≥m ﹣3m, 2 即 m ﹣3m≤﹣2, 解得 1≤m≤2, 即 p 为真命题时,m 的取值范围是[1,2]. (Ⅱ)∵a=1,且存在 x∈[﹣1,1],使得 m≤ax 成立 ∴m≤1, 即命题 q 满足 m≤1. ∵p 且 q 为假,p 或 q 为真, ∴p、q 一真一假. 当 p 真 q 假时,则 当 p 假 q 真时, ,即 1<m≤2, ,即 m<1.
2 2

综上所述,m<1 或 1<m≤2. 故答案为: (1)m∈[1,2]…(5 分) (2)m∈(﹣∞,1)∪(1,2]…(10 分) 点评: 本题考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意不等式的性 质的合理运用. 18. (12 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数且对任意实数 x 恒有 f(x+2)=﹣f(x) ,当 x∈[0, 2 2]时,f(x)=2x﹣x . (1)当 x∈[﹣2,0)时,求 f(x)的解析式; (2)计算 f(1)+f(2)+…+f 的值. 考点: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 x∈[﹣2,0)时,x+2∈[0,2],结合 f(x+2)=﹣f(x) ,及当 x∈[0,2]时,f 2 (x)=2x﹣x .可得当 x∈[﹣2,0)时,f(x)的解析式;

(2)由 f(x+2)=﹣f(x) ,易得 f(x)是 T=4 的周期函数,利用分组求和法,可得 f(1)+f (2)+…+f 的值. 解答: 解: (1)当 x∈[﹣2,0)时,x+2∈[0,2] 2 2 ∴f(x+2)=2(x+2)﹣(x+2) =﹣x ﹣2x, 又∵f(x+2)=﹣f(x) , 2 ∴f(x)=x +2x…(6 分) ; (2)∵f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) , 故 f(x)是 T=4 的周期函数, 由(1)得: f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(﹣1)=﹣1,f(4)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+…+f=503×(1+0﹣1+0)+1+0=1…(12 分) 点评: 本题考查的知识点是函数周期性的性质,函数解析式的求解方法,是函数图象和性 质的简单综合应用,难度不大,属于基础题. 21. (12 分)已知函数 f(x)= (sin x﹣cos x)+2sinxcosx. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)设 x∈[﹣ , ],求 f(x)的值域和单调递增区间.
2 2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)根据二倍角公式和和差角公式(辅助角公式) ,化简函数解析式为正弦型函数 的形式,进而结合 ω=2,可得 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)当 x∈[﹣ 的值域,由 间. 解答: 解: (Ⅰ) ∵ …(3 分) , ∴ω=2, ∴f(x)的最小正周期为 π. (Ⅱ)∵ ∴ ∴ ∴f(x)的值域为 , . . …(8 分) , = , ]时, 递增时, ,结合正弦函数的图象和性质可得 f(x) ,可得 f(x)的单调递增区

…(5 分)



递增时, ,



. . …(12 分)

故 f(x)的递增区间为

点评: 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换,三角函数的周期性及单调性,熟练掌 握三角函数的图象和性质是解答的关键. 22. (12 分)设 a 为实数,函数 f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; x 2 (2)求证:当 a>ln2﹣1 且 x>0 时,e >x ﹣2ax+1. 考点: 利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)由 f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R,知 f′(x)=e ﹣2,x∈R.令 f′(x)=0,得 x=ln2.列 表讨论能求出 f(x)的单调区间区间及极值. x 2 x (2)设 g(x)=e ﹣x +2ax﹣1,x∈R,于是 g′(x)=e ﹣2x+2a,x∈R.由(1)知当 a>ln2 ﹣1 时,g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0.于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0, x 2 所以 g(x)在 R 内单调递增.由此能够证明 e >x ﹣2ax+1. x 解答: (1)解:∵f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R, x ∴f′(x)=e ﹣2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln2. 于是当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,ln2) ln2 (ln2, +∞) f′(x) ﹣ 0 + f(x) 单调递减? 2(1﹣ln2+a) 单调递增? 故 f(x)的单调递减区间是(﹣∞,ln2) , 单调递增区间是(ln2,+∞) , f(x)在 x=ln2 处取得极小值, ln2 极小值为 f(ln2)=e ﹣2ln2+2a=2(1﹣ln2+a) ,无极大值. x 2 (2)证明:设 g(x)=e ﹣x +2ax﹣1,x∈R, x 于是 g′(x)=e ﹣2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2﹣1 时, g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2﹣1 时,对任意 x∈(0,+∞) ,都有 g(x)>g(0) . 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞) ,g(x)>0. x 2 即 e ﹣x +2ax﹣1>0, x 2 故 e >x ﹣2ax+1. 点评: 本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明,具体涉及到导数的性质、 函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用.解题时要认真审题,仔细解答.
x x x

【选修 4-5:不等式选讲】 19. (12 分)选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣m|+|x+6|(m∈R) (Ⅰ)当 m=5 时,求不等式 f(x)≤12 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 m=5 时,f(x)≤12,即|x﹣5|+|x+6|≤12.由绝对值的意义可得 、﹣ 对

应点到 5 和﹣6 对应点的距离之和正好等于 12,从而求得不等式 f(x)≤12 的解集. (Ⅱ)由绝对值不等式的性质求得 f(x)的最小值为|m+6|,由题意得|m+6|≥7,由此求得 m 的 范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 m=5 时,f(x)≤12,即|x﹣5|+|x+6|≤12. 由于|x﹣5|+|x+6|表示数轴上的 x 对应点到 5 和﹣6 对应点的距离之和,而 5 和﹣6 对应点的距离之和正好等于 12, 故不等式 f(x)≤12 的解集为 . 、﹣ 对应点到

(Ⅱ)f(x)=|x﹣m|+|x+6|≥|(x﹣m)﹣(x+6)|=|m+6|,由题意得|m+6|≥7, 故有 m+6≥7,或 m+6≤﹣7,解得 m≥1 或 m≤﹣13,故 m 的取值范(﹣∞,﹣13]∪[1,+∞) . 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想, 属于中档题. 【选修 4-4;坐标系与参数方程】 20. (12 分) 已知点 P (1+cosα, sinα) , 参数 α∈[0, π], 点 Q 在曲线 C: ρ= 上. (1)求点 P 的轨迹方程和曲线的直角坐标方程: (2)求|PQ|的最大值. 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)利用消参法,可得 P 的轨迹方程;利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线的直角坐 标方; (2)求出圆心到直线的距离,即可求|PQ|的最大值. 2 2 解答: 解: (1)令 x=1+cosα,y=sinα,α∈[0,π],则点 P 的轨迹是上半圆: (x﹣1) +y =1 (y≥0) . 曲线 C:ρ= ,即 ρcosθ﹣ρsinθ=10,

∴曲线 C 的直角坐标方程:x﹣y=10…(6 分)

(2)圆心到直线的距离为 ∴|PQ|的最大值为

=



+1.…(12 分)

点评: 本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查直线与圆 的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础.



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