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2013高中数学竞赛模拟试卷


高中数学竞赛模拟试卷 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1. 方 程 x1 ? 1 ? 2 x2 ?4 1 ?x3 ? 3 2 ? 9 x1 ? 的 x2 实? x数 ? 解 ? 3 ? x1 , x2 , x3 ? ? _______________. 2. 有一条长度为 1

的线段 EF ,其端点 E , F 在边长为 3 的正 方形 ABCD 的四边上滑动,当 EF 绕着正方形的四边滑动 一 周 时 , EF 的 中 点 M 所 形 成 的 轨 迹 的 长 是 _______________. 3. 复数数列 ? an ? 满足 a1 ? 0 , an ? an ?1 ? i ( n ? 2 , i 为虚 2 A D E B M F C 数单位) ,则它的前 2007 项的和为_______________. 4. 已知 ? ? l ? ? 是大小为 45 的二面角, C 为二面角内一定点,且到半平面 ? 和 ? 的 ? 距离分别为 2 和 6 , A , B 分别是半平面 ? , ? 内的动点,则 ? ABC 周长的最小 值为_______________. 5. 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 点 与 点 的 对 应 法 则 f : P ? m, n ? ? P ' ? m, n ? ? m ? 0, n ? 0 ? . 若 一 段 曲 线 在 对 应 法 则 f 下 对 应 椭 圆 的 一 段 弧 x2 y 2 ? ? 1? x ? 0, y ? 0 ? ,则这段曲线的方程是________________. a 2 b2 n? ,计算: f ?1? ? f ? 3? ?? ? f ? 2n ? 1? ? _______________. 4 x ? xn?2 7. 已知数列 ? xn ? 满足 x1 ? 0 , x2 ? 1 , xn ? n ?1 ? n ? 3? ,则数列 ? xn ? 的通项公 2 6. 已知 f ? n ? ? cos 式 xn ? _______________. 8. 已知圆 M : ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 4 ,过 x 轴上的点 P ? a , 0 ? 存在圆 M 的割线 PBA , 2 2 使得 PA ? BA ,则点 P 的横坐标 a 的取值范围是_______________. 二、解答题 9.(本题满分 14 分)对任意正整数 n ,用 S ? n ? 表示满足不定方程 1 1 1 ? ? 的正整数 x y n 对 ? x, y ? 的个数,例如,满足 1 1 1 ? ? 的正整数对有 ? 6, 3 ? , ? 4, 4 ? , ? 3, 6 ? 三个, x y 2 则 S ? 2 ? ? 3 .求出使得 S ? n ? ? 2007 的所有正整数 n . 10. (本题满分 14 分) 已知关于 x 的方程 x sin ? ? ? sin ? ? 2 ? x ? 6 x ? 4 ? 0 有三个正 3 2 实根,求 u ? 9sin 2 ? ? 4sin ? ? 3 的最小值. ?1 ? cos ? ?? 2 cos ? ? 6sin ? ? 3sin 2? ? 2 ? 11. (本题满分 16 分) 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? ,AB 2 是 过 焦 点 F 的 弦 , 如 果 AB 与 x 轴

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