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高中数学2.3.1等比数列教案 新人教B版必修5


2.3.1

等比数列
整体设计

教学分析 等比数列与等差数列在内容上是完全平行的,包括定义、性质、通项公式等,两个数的 等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等,因此在教学时要充分利用类比的方法, 以便于弄清它们之间的联系与区别. 等比数列是另一个简单常见的数列, 研究内容可与等差数列类比, 这是本节的中心思想 方法.本

节首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图象,又给出等比中项的 概念,最后是通项公式的应用. 等比数列概念的引入, 可按教材给出的几个具体的例子, 由学生概括这些数列的相同特 征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生 将这些数列进行分类, 由此对比地概括等比数列的定义. 根据定义让学生分析等比数列的公 比不为 0,以及每一项均不为 0 的特性,加深对概念的理解.启发学生用函数观点认识通项 公式,由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象. 由于有了等差数列的研究经验, 等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决, 充分利 用类比思想,教师只需把握课堂的节奏,真正作为一节课的组织者、引导者出现,充分发挥 学生的主体作用. 大量的数学思想方法渗透是本章的特色,如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法 思想、方程思想、一般到特殊的思想等,在教学中要充分体现这些重要的数学思想方法,所 有能力的体现最终归结为数学思想方法的体现. 三维目标 1.通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能在具 体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数的关 系. 2.通过现实生活中大量存在的数列模型,让学生充分感受到数列是反映现实生活的模 型,体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,达到提高学生学习兴趣的目的. 3. 通过对等比数列概念的归纳, 进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度. 体 会探究过程中的主体作用及探究问题的方法,经历解决问题的全过程. 重点难点

1

教学重点:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导. 教学难点: 灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题, 在具体问题中抽象出等 比数列模型及掌握重要的数学思想方法. 课时安排 2 课时

教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(情境引入)将一张厚度为 0.044 mm 的白纸一次又一次地对折,如果对折 1 000 次(假设是可能的),纸的厚度将是 4.4×10
296

m,相当于约 5.0×10 个珠穆朗玛峰的高度

292

和,这可能吗?但是一位数学家曾经说过:你如果能将一张报纸对折 38 次,我就能顺着它 在今天晚上爬上月球.将一张报纸对折会有那么大的厚度吗?这就是我们今天要解决的问 题,让学生带着这大大的疑问来展开新课. 思路 2.(实例导入)先给出四个数列: 1,2,4,8,16,?? 1,-1,1,-1,1,?? -4,2,-1,?? 1,1,1,1,1,?? 由学生自己去探究这四个数列, 每个数列相邻两项之间有什么关系?这四个数列有什么 共同点?让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同?由此引入新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ??1?回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法. ?2?阅读课本本节内容的①②③3 个背景实例,领会三个实例所传达的思想,写出由 3 个实例所得到的数列. ?3?观察数列①②③, 它们有什么共同的特征?你能再举出 2 个与其特征相同的数列 吗? ?4?类比等差数列的定义,怎样用恰当的语言给出等比数列的定义?
2

?5?类比等差中项的概念, 你能说出什么是等比中项吗?它与等差中项有什么不同? ?6?你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗? ?7?类比等差数列通项公式的推导过程,你能推导出等比数列的通项公式吗? ?8?类比等差数列通项公式与一次函数的关系, 你能说明等比数列的通项公式与指数 函数的关系吗? 活动: 教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程, 指导学生阅读并分析教科书中给出 的 3 个实例. 引导学生发现数列①②③的共同特点: 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 2; 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 3; 1 对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于- . 2 也就是说,这些数列有一个共同的特点:从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于同一 常数,这里仍是后项比前项,而不是前项比后项,具有这样特点的数列我们称之为等比数 列.让学生类比等差数列给出等比数列的定义: 一般地,如果一个数列,从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示,显然 q≠0,上面的三个数列 1 都是等比数列,公比依次是 2,3,- . 2 ①给出等比数列的定义后,让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义,即 a1=a,an
+1

=an·q(n=1,2,3,?). ②再让学生思考既是等差数列,又是等比数列的数列存在吗?学生思考后很快会举出

1,1,1,?既是等比数列也是等差数列,其公比为 1,公差为 0. 教师可再提出: 常数列都是等比数列吗?让学生充分讨论后可得出 0,0,0, ?是常数列, 但不是等比数列. ③至此,学生已经清晰了等比数列的概念,比如,从等比数列定义知,等比数列中的任 意一项不为零,公比可以为正,可以为负,但不能为 0. ④类比等差中项的概念,我们可得出等比中项的概念:如果三个数 x,G,y 组成等比数 G y 2 列,则 G 叫做 x 和 y 的等比中项.如果 G 是 x 和 y 的等比中项,那么 = ,即 G =xy,G= x G

3

± ab.因此同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,一个正数和一个负数没有 等比中项.显然,在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它的前 一项与后一项的等比中项;反之,如果一个数列从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等比中项,那么这个数列是等比数列. 课件演示:不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程: a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, ?? 归纳得到 an=a1+(n-1)d. 类比这个过程,可得等比数列通项公式的归纳过程如下: a2=a1q, a3=a2q=(a1q)q=a1q , a4=a3q=(a1q )q=a1q , ?? 归纳得到 an=a1q
n-1 2 3 2

.

这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用. 这个结论的正确性可 用后面的数学归纳法进行严格证明,现在我们先承认它. 下面我们再类比等差数列,探究推导等比数列通项公式的其他方法: ∵{an}是等比数列, ∴ an an-1 an-3 a2 =q, =q, =q,?, =q. an-1 an-2 an-4 a1

把以上 n-1 个等式两边分别乘到一起,即叠乘,则可得到 an n-1 =q , a1 于是得到 an=a1q
n-1

.

对于通项公式,教师引导学生明确这样几点: (1)不要把公式错误地写成 an=a1q . (2)对公比 q,要和等差数列的公差一样,强调“从第 2 项起,每一项与它的前一项的 比”,不要把相邻两项的比的次序颠倒,且公比 q 可以为正,可以为负,但不能为 0. (3)在等比数列 a,aq,aq ,aq ,?中,当 a=0 时,一切项都等于 0;当 q=0 时,第
4
2 3 n

二项以后的项都等于 0, 这不符合等比数列的定义. 因此等比数列的首项和公比都不能为 0. (4)类比等差数列中 d>0,d<0 时的情况,若 q>0,则相邻两项符号同号,若 q<0, 则各项符号异号; 若 q=1, 则等比数列为非零常数列; 若 q=-1, 则为如 2, -2,2, -2, ? 这样的数列;若|q|<1,则数列各项的绝对值递减. 最后让学生完成下表,从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同,加深概念的 理解.

等差数列 从第 2 项起,每一项与它前 定义 一项的差都是同一个常数 首项、公差(公比)取值有无限 没有任何限制 制 通项公式 an=a1+(n-1)d

等比数列 从第 2 项起, 每一项与它前一 项的比都是同一个常数 首项、公比都不能为 0 an=a1q
n-1

讨论结果:(1)~(3)略. (4)等比数列定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列. (5)并不是所有的两个数都有等比中项. (6)除 0 外的常数列既是等差数列,又是等比数列. (7)(8)略. 应用示例 例 1 由下面等比数列的通项公式,求首项与公比. (1)an=2 ; 1 n (2)an= ·10 . 4 活动: 本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式, 可由学生口答或互相提问. 解:(1)an=2·2 ∴a1=2,q=2.
n-1 n



5

1 n-1 (2)∵an= ·10·10 , 4 1 5 ∴a1= ×10= ,q=10. 4 2 点评:可通过通项公式直接求首项,再求公比.如(1)中,a1=2 =2,a2=2 =4,∴q =2.
1 2

变式训练 2a1+a2 设 a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为 2,则 的值为( 2a3+a4 A. 1 4 1 B. 2 1 C. 8 D.1 )

答案:A 解析:由题意,知 a2=a1q=2a1,a3=a1q =4a1,a4=a1q =8a1, ∴ 2a1+a2 2a1+2a1 1 = = . 2a3+a4 8a1+8a1 4
2 3

例 2(教材本节例 3) 活动:本例是等比数列通项公式的灵活运用,可让学生自己完成. 点评:解完本例后,启发引导学生观察 a5,a10,a15,a20 的规律.

变式训练 20 已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= ,求{an}的通项公式. 3 解:设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0. a3 2 ∵a2= = ,a4=a3q=2q, q q 2 20 ∴ +2q= . q 3 1 解得 q1= ,q2=3. 3 1 当 q= 时,a1=18. 3 1 n-1 18 3-n ∴an=18×( ) = n-1=2×3 . 3 3 2 当 q=3 时,a1= , 9

6

2 n-1 n-3 ∴an= ×3 =2×3 . 9

例 3 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求 an 的表达式. 活动: 教师引导学生观察, 数列{an}不是等差数列, 也不是等比数列, 要求 an 的表达式, 通过转化{an+1}是等比数列来求解. 解:(1)证明:∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1). an+1+1 ∵a1=1,故 a1+1≠0,则有 =2. an+1 ∴{an+1}是等比数列. (2)由(1)知{an+1}是以 a1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴an+1=2·2
n-1

,即 an=2 -1.

n

点评:教师引导学生进行解后反思.如本题(1),不能忽视对 an+1≠0 的说明,因为在 等比数列{an}中,an≠0,且公比 q≠0,否则解题会出现漏洞.

变式训练 已知数列{lgan}是等差数列,求证:{an}是等比数列. 证明:∵{lgan}是等差数列,设公差为 d, an+1 d 则 lgan+1-lgan=d,即 =10 (常数). an ∴{an}是等比数列.

知能训练 1.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7 等于( A.64 B.81 C.128 ) D.243 )

9 1 2 2.在等比数列中,已知首项为 ,末项为 ,公比为 ,则项数为( 8 3 3 A.3 答案: 1.A 解析:由 a1+a2=3,a2+a3=6,知 q=2,a1=1. B.4 C.5 D.6

7

所以 a7=a1·q =64. 2.B 解析:设等比数列为{an}. 9 2 1 an 2 n -1 8 n-1 又∵a1= ,q= ,an= ,∴q = ,即( ) = . 8 3 3 a1 3 27 ∴n-1=3,n=4,即项数为 4. 课堂小结 1.让学生归纳总结本节学习内容:等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简 单的应用,等比数列的证明方法.可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识,对比各自 性质的异同,让学生用列表的形式给出. 2.教师点出,通过本节内容的学习,在掌握知识的同时,我们还学到了探究新问题的 方法,提高了我们解决问题的能力,进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义,必 须领悟凝练数学思想方法. 作业 课本习题 2—3 A 组 1;习题 2—3 B 组 1. 设计感想 本教案设计将类比思想贯穿整节课始终, 等差数列和等比数列具有极其相似的特点, 比 较它们的结构和运算性质,运用类比的方法,可使很多相关性质得以类比和迁移;让学生体 会到:有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情,通过我们的努力,也可以做一些看似 数学家才能完成的事. 本教案设计加强了实际背景的教学, 等比数列有着非常广泛的实际应用: 如产品规格设 计的问题;储蓄,分期付款的有关计算等等.教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及 通项公式的内容, 而是通过实际问题创设一些数学情境, 让学生自己去发现, 去探索其意义. 本教案设计突出了数学思维的训练,数学是思维的体操,是培养学生分析问题,解决问 题的能力及创造能力的载体. 新课程倡导强调过程, 强调学生探索新知识的经历和获得新知 的体验,不再让教学脱离学生的内心感受,必须让学生追求过程的体验,学生的思维能力就 是在这种过程的体验中逐渐提高的. (设计者:张晓君)

6

第 2 课时 导入新课

8

思路 1:(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质,通过复习等差数列的性质,由学 生猜想并证明等比数列的性质. 这样既复习了旧知识, 同时又让学生经历了知识的发现过程, 这种引入符合新课程理念. 思路 2:让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究,借助学生的探究,师生共同归 纳出相关性质,自然地引入新课.(这种从课本上的练习题入手的方法,其好处是:直截了 当,节省课堂时间,教师也比较轻松,只是学生的思维活动层次较第一种弱一些,但也是一 种不错的导入选择) 推进新课 新知探究 提出问题 ??1?回忆上节课等比数列的概念,等比中项、通项公式的概念. ?2?回忆怎样证明一个数列是等比数列? ?3?类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系, 探究等比数列的图象与指数 函数的图象之间的关系. ?4?类比等差数列的性质,你能探究出等比数列有哪些重要结论?

活动:教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾,借以熟悉等比数列的有关概念, 为进一步探究做好必要的准备, 然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究”中 (2)(3)要求的图象(如图),说说通项公式为 an=2
n-1

的数列的图象和函数 y=2

x-1

的图象的

关系.然后交流、讨论,归纳出二者之间的关系.事实上,等比数列的通项公式可整理为 a1 n a1 x a1 x an= q ,而 y= q (q≠1)是一个不为零的常数 与指数函数 q 的乘积.从图象上看,表示 q q q a1 n a1 x 数列{ q }中的各项的点是函数 y= ·q 的图象上的孤立点. q q

9

和等差数列一样,等比数列中蕴涵着许多重要的性质,类比等差数列的探究方法,教师 与学生一起探究. 就任一等差数列{an},计算 a7+a10,a8+a9 和 a10+a40,a20+a30,你发现了什么规律?从 等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题,在等比数列中会有怎样的类似结论? 在等差数列{an}中,我们已经探究了,若 m+n=p+q(m、n、p、q∈N ),则 am+an=ap +aq, 那么我们可以类比猜想: 对于等比数列{an}, 若 m+n=p+s(m、 n、 p、 s∈N ), 则 am·an =ap·as.让学生对此给出证明. 证明:设等比数列{an}的公比为 q, 则有 am·an=a1·q
m-1 * *

·a1·q

n-1

=a1·q

2

m+n-2

,ap·as=a1q

p-1

·a1q

s-1

=a1·q

2

p+s-2



∵m+n=p+s,∴有 am·an=ap·as. 经过这个证明过程,我们得到了等比数列的一个重要性质,即等比数列{an}中,若 m+n =p+s(m,n,p,s∈N ),则有 am·an=ap·as. 结合等比中项,我们很容易有这样的结论: (1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积; (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 结合上节学习的内容,教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论: 1.等比数列的判断方法 (1)an=an-1·q(n≥2,q 是不等于零的常数,an-1≠0)?{an}是等比数列. (2)an=an-1·an+1(n≥2,an-1,an,an+1≠0)?{an}是等比数列. (3)an=c·q (c、q 均是不为零的常数)?{an}是等比数列. 2.主要性质 (1)当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,{an}是递增数列;当 q>1,a<0 或 0<q<1, a1>0 时,{an}是递减数列,当 q=1 时,{an}是常数列;当 q<0 时,{an}是摆动数列. (2)an=am·q
n-m n 2 *

(m、n∈N ).
*

*

(3)当 m+n=p+q(m、n、p、q∈N )时,有 am·an=ap·aq. (4)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为 lgq 的等差数列. (5)数列{an}中,公比 q≠1,则连续取相邻两项的和(或差)构成公比为 q 的等比数列. 学习等比数列时,时刻与等差数列进行对比,学会用类比、方程的思想解决问题. 讨论结果:(1)让学生默写. (2)有 3 种证明方法,比较常用的方法是:an=an-1·an+1(n≥2,an-1,an,an+1≠0)?{an}
10
2

是等比数列. (3)等比数列的通项公式是关于 n 的指数型函数. (4)最常用的是活动中的第 3 个性质. 应用示例 例 1 一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项和第 2 项. 活动:本例是课本上例题 3,由题意知 a3=12,a4=18,求 a1,a2.和等差数列一样,这 是属于基本量运算的题目,其基本量为 a1,q.教师引导学生探究,由等比数列的通项公式列 出方程组,求得通项公式,再由通项公式求得数列的任意项.这个过程可以帮助学生再次体 会通项公式的作用及其与方程之间的联系. 解:设这个等比数列的第 1 项是 a1,公比是 q,那么 a1q =12,① a1q =18.② 3 ②÷①,得 q= ,③ 2 16 把③代入①,得 a1= . 3 16 3 因此,a2=a1q= × =8. 3 2 16 答:这个数列的第 1 项和第 2 项分别是 与 8. 3 点评:通过本题让学生体会方程思想.
3 2

变式训练 a18 在等比数列{an}中,a5·a7=6,a2+a10=5,则 等于( a10 )

2 3 A.- 或- 3 2 答案:D

2 B. 3

3 C. 2

2 3 D. 或 3 2

? ?a2a10=6, 解析:∵a5·a7=a2·a10,由? ?a2+a10=5, ? ? ?a2=2, 得? ?a10=3 ? ? ?a2=3, ?a10=2. ?

或?



a18 a10 3 a18 2 = = 或 = . a10 a2 2 a10 3

11

例 2(1)在等比数列{an}中,已知 a1=5,a9a10=100,求 a18; (2)在等比数列{bn}中,b4=3,求该数列前七项之积; (3)在等比数列{an}中,a2=-2,a5=54,求 a8. 活动:本例三个小题属基本概念题,让学生合作交流完成,充分让学生思考探究,展示 将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. a9a10 100 解:(1)∵a1a18=a9a10,∴a18= = =20. a1 5 (2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4. ∵b4=b1b7=b2b6=b3b5,∴前七项之积为(3 ) ×3=3 =2 187. (3)∵a5 是 a2 与 a8 的等比中项,∴54 =a8×(-2).∴a8=-1 458. a5 54 3 另解:a8=a5q =a5· =54× =-1 458. a2 -2 点评:通过本例,让学生熟悉公式,善于联想,善于将解题过程简化.
2 2 2 3 7

变式训练 已知等比数列{an}中,a1+a3=15,且 a1+a2+a3+a4=45. (1)求数列{an}的通项公式; a2n+1 (2)设 bn=11-log2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 3 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q.
?a1+a1q =15, ? 由题意得? 2 3 ?a1+a1q+a1q +a1q =45, ?
2

解得 q=2,a1=3,

∴an=3·2

n-1

.

a2n+1 2n (2)由(1)得 a2n+1=3·2 ,∴bn=11-log2 =11-2n. 3 ∴数列{bn}是首项为 9,公差为-2 的等差数列. n?9+11-2n? 2 从而 Sn= =-n +10n. 2

12

例 3 三个正数成等差数列,它们的和等于 15,如果它们分别加上 1,3,9,就成为等比数 列,求此三个数. 活动:教师引导学生分析题意,因为所求三个数成等差数列,它们的和已知,故可设这 三个数为 a-d,a,a+d,再根据已知条件寻找关于 a、d 的两个方程,通过解方程组即可 获解. 解:设所求三个数为 a-d,a,a+d,
? ?a-d+a+a+d=15, 则由题设得? 2 ??a+3? =?a-d+1??a+d+9?, ?

解此方程组,得 a=5,d=2.∴所求三个数为 3,5,7. 点评:此类问题要注意设未知数的技巧.若设所求三个数为 a,b,c,则列出三个方程 求解,运算过程将过于繁杂.因此在计算过程中,应尽可能地少设未知数. 例 4 根据下图中的框图,写出所打印数列的前 5 项,并建立数列的递推公式,这个数列 是等比数列吗?

活动:本题是给出数列的前几项要求写出数列的递推公式.这种题型难度较大.但本题 用程序框图给出了数列的前 5 项, 而递推公式就包含在程序框图中, 这就大大降低了题目的 难度.教学时教师可引导学生回顾程序框图,引导学生思考如何判断一个数列是等比数列. 解:若将打印出来的数依次记为 a1(即 A),a2,a3,?, 1 1 可知 a1=1,a2=a1× ,a3=a2× . 2 2 a1=1, ? ? 于是,可得递推公式? 1 an= an-1?n>1?. ? 2 ?

13

an 1 由于 = , an-1 2 因此,这个数列是等比数列. 1 n-1 其通项公式是 an=( ) . 2 点评: 通过本题让学生明确, 要证明一个数列是等比数列, 只需证明对于任意正整数 n, an+1 是一个常数即可,同时也再一次体会到能够用框图中的循环结构来描述数列. an 知能训练 1.已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8,求 an. 2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的这种物质是原来的 84%, 这种物质的半衰期为多长?(精确到 1 年) 答案: 1.解:∵a1a3=a2,∴a1·a2·a3=a2=8.∴a2=2.
? ?a1+a3=5, 从而? ?a1·a3=4. ? ?a1=1, ? 解之,得? ? ?a3=4, ?a1=4, ? 或? ? ?a3=1.
2 3

1 当 a1=1 时,q=2,当 a1=4 时,q= . 2 ∴an=2
n-1

1 n-1 3-n * 或 an=4·( ) =2 (n∈N ). 2
2

点评:本例解答中易产生的错误是在求得 a1=1,a3=4 或 a1=4,a3=1 后,由 a3=a1q

1 1 n-1 1 n- n-1 n-1 分别得出 q=±2 或 q=± .求得 an=2 或 an=(-2) 或 an=4·( ) 或 an=4·(- ) 2 2 2
1

.教师引导学生寻找产生这一错误的原因是忽视了由于 a2=2, a1>0, 必有 q>0 这一隐含条

件. 2.解:设这种物质最初的质量是 1,经过 n 年,剩留量是 an, 由条件可得,数列{an}是一个等比数列,其中 a1=0.84,q=0.84. 设 an=0.5,则 0.84 =0.5. 两边取对数,得 nlg0.84=lg0.5, 用计算器算得 n≈4. 答:这种物质的半衰期大约为 4 年. 点评:本例是一道应用题,反映的是等比数列通项公式的基本量运算问题.在解题过程
14
n

中, 用对数的知识解方程可以帮助学生回顾对数的性质, 本题重在让学生发现实际问题情境 中数列的等比关系,培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力. 课堂小结 1.让学生归纳总结本节学习内容:等比数列的性质,等比数列与指数函数的关系.对 比小结等差数列与等比数列的知识,对比各自性质的异同.从函数的角度看,如果说等差数 列可以与一次函数联系起来,那么等比数列则可以与指数函数联系起来. 2.学习本节内容应注意等比数列定义的运用,灵活选设未知数,注意总结常用解题技 巧.有关本内容的高考题主要体现在考查化归能力、方程思想、分类讨论思想以及数学建模 能力上,并能用这些知识解决一些实际问题. 作业 课本习题 2—3 A 组 2、3、4. 设计感想 本教案设计突出了教学梯度. 因为从实际教学来看, 对这部分内容的学习不少同学仍然 是困难重重, 从中折射出他们学习方式存在的问题, 死记硬背仍然是公式学习的主要形式. 在 练习环节,不少学生只会做与课本例题完全一致的习题,如果稍加变式,就束手无策,反映 出数学思维的僵化及简单.但是训练学生的思维能力,提升学生的思维品质,是数学教师直 接面对的重要课题,也是提升教学效果的关键.因此在设计梯度方面注重了一题多解,这有 助于学生思维的发散性及灵活性的培养, 以及克服思维的僵化, 变式教学又可以提升思维视 野的广度,题后反思有助于学生思维批判性品质的提升. 本教案设计注重了教学过程的更优化、 更合理化, 因为长期以来的课堂教学太过于重视 结论,轻视过程.为了应付考试,为了使公式、定理应用达到所谓的熟能生巧,教学中不惜 花大量的时间采用题海战术来进行强化. 在概念公式的教学中往往采用的是“掐头去尾烧中 段”的方法, 到头来把学生强化成只会套用公式机械解题, 这样的学生面对新问题就会束手 无策,更不利于今后的创新式高考. 本教案设计清晰了课堂教学的层次阶段, 本节课可以划分为三个阶段, 第一阶段是等比 数列性质的推得和理解过程;第二阶段是等比数列性质的归纳、理解和应用的过程;第三阶 段是归纳小结.这三个阶段自然是以第一、第二阶段为主.这样便于学生课堂推进,也便于 教师对整个课堂的宏观调控. 备课资料 一、备用例题
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例 1.已知无穷数列 10,10,10 ,?,10 求证:(1)这个数列成等比数列;

2 5

n ?1 5

,?.

1 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的 ; 10 (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.

例 2.设 a,b,c,d 均为非零实数,(a +b )d -2b(a+c)d+b +c =0, 求证:a,b,c 成等比数列且公比为 d. 证法一:关于 d 的二次方程(a +b )d -2b(a+c)d+b +c =0 有实根, ∴Δ =4b (a+c) -4(a +b )(b +c )≥0.∴-4(b -ac) ≥0.∴-(b -ac) ≥0. 则必有 b -ac=0,即 b =ac,∴a,b,c 成等比数列. 设公比为 q,则 b=aq,c=aq ,代入 (a +a q )d -2aq(a+aq )d+a q +a q =0. ∵(q +1)a ≠0,∴d -2qd+q =0,即 d=q≠0. 证法二:∵(a +b )d -2b(a+c)d+b +c =0, ∴(a d -2abd+b )+(b d -2bcd+c )=0. ∴(ad-b) +(bd-c) =0.∴ad=b,且 bd=c. b c ∵a,b,c,d 非零,∴ = =d.∴a,b,c 成等比数列且公比为 d. a b 二、备用习题 1.公差不为 0 的等差数列第二、三、六项构成等比数列,则公比为( A.1 B.2 C.3 D.4
30 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

)

2 .设 {an} 是由正数组成的等比数列,公比 q = 2 ,且 a1·a2·a3·?·a30 = 2 ,则 a3·a6·a9·?·a30 等于( A.2
10

) B.2
20

C.2

16

D.2

15

16

3.各项为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,a1+a2+a3=21,则 a3+a4+a5 等于 ?? ( ) A.33 B.72 C.84 D.189

8 27 4 .在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 3 2 __________. 5.在等比数列{an}中, (1)若 a1=256,a9=1,求 q 和 a12; (2)若 a3·a5=18,a4·a8=72,求 q. 6.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 a1=b1=c>0,a2n+1=b2n+1,比较 an+1 与 bn+1 的大小. 参考答案: 1.答案:C 解析:设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意,得 a3 =a2a6,(a1+2d) =(a1+d)(a1 +5d). ∴d=-2a1. a3 设等比数列的公比为 q,则 q= =3. a2 2.答案:B 解析:由 a1a2a3a4?a30=2 ,得 a3 a6 a9 a30 30 3 · 3 · 3 ·?· 3 =2 , q q q q ∴a3 ·a6 ·a9 ·?·a30 =(2q) . ∴a3·a6·a9·?·a30=2 . 3.答案:C 解析:由 a1+a2+a3=a1+a1q+a1q =21,∴1+q+q =7. 解得 q=2,q=-3(舍去),∴a3=a1q =3×4=12. ∴a3+a4+a5=a3(1+q+q )=12×7=84. 4.答案:216 8 27 2 解析:设插入的三个数为 a、b、c,则 b = × =4×9=ac, 3 2 所以 b=6,ac=36,故 abc=216.
2 2 2 2 20 3 3 3 3 30 3 3 3 3 30 2 2

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1 8 8 5.解:(1)∵a9=a1·q ,∴256·q =1,即 q=± . 2 1 1 1 11 当 q= 时,a12=a1·q =256· 11= ; 2 2 8 1 1 11 1 11 当 q=- 时,a12=a1·q =256×(- ) =- . 2 2 8 (2)a1·q ·a1·q =18,即 a1 ·q =18. 又 a1q ·a1q =72,即 a1 ·q =72. 72 4 两式相除得 q = =4,∴q=± 2. 18 c 2n 2n 6.解:由题意知 c+2nd=cq ,∴nd= (q -1). 2 c 2n c n n n 2 ∵an+1-bn+1=c+nd-cq =c+ (q -1)-cq = (q -1) ≥0, 2 2 ∴an+1≥bn+1. 三、斐波那契数列的奇妙性质 我们看章头图中的斐波那契数列,它有一系列奇妙的性质,现简列以下几条,供读者欣 赏. 1.从首项开始,我们依次计算每一项与它的后一项的比值,并精确到小数点后第四位: 1 2 =1.000 0 =2.000 0 1 1 3 5 =1.500 0 =1.666 7 2 3 8 13 =1.600 0 =1.625 0 5 8 21 34 =1.615 4 =1.619 0 13 21 55 89 =1.617 6 =1.618 2 34 55 144 253 =1.618 0 =1.618 1 89 144 如果将这一工作不断地继续下去,这个比值将无限趋近于某一个常数,这个常数位于 1+ 5 1.618 0 与 1.618 1 之间,它还能准确地用黄金数 表示出来. 2 2.我们在初中曾经遇到过杨辉三角形,如下图所示,杨辉三角形中虚线上的数的和恰 好组成斐波那契数列:
3 7 2 10 2 4 2 6

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3.在斐波那契数列中,请你验证下列简单的性质: 前 n 项和 Sn=an+2-1, anan+1-an-1an-2=a2n-1(n≥3), an-1 +an =an-1(n≥2), an-2an=an-1 -(-1) (n≥3). 据载首先是由 19 世纪法国数学家吕卡将级数{Un}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,?,Un+1 =Un+Un-1 命名为斐波那契级数,它是一种特殊的线性递归数列,在数学的许多分支中有广 泛应用 .1680 年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式 Un + 1Un - 1 - U n = ( - 1) .1730 年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式,19 世纪初另一位法国数学家比内首先证 1+ 5 n 1- 5 n 明了这一表达式 Sn=[( ) -( ) ],现在称之为比内公式. 2 2 世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人. 斐波那契数列不仅是在初等数学中引人 入胜,而且它的理论已经广泛应用,特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开 了一片施展才华的广阔空间.
n 2 2 n 2 2

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