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临近高考给你提个醒


高考临近给你提个醒
集合与简易逻辑
1. 区分集合中元素的形式:

?x | y ? f ( x)? ? y | y ? f ( x)? ?( x, y) | y ? f ( x)?
函数的定义域 函数的值域 函数图象上的点集 例 1.集合 M ? y y ? x 2 , x ? R , N ? y y ? ?x 2 ? 1 ,

x ? R ,则 M ? N ? 例 2.集合 M ? ( x, y) y ? x 2 , x ? R , N ? ( x, y) y ? ?x 2 ? 1 , x ? R , M ? N ? 例 3.集合 M ? a a ? ?1,2? ? ? ?3,4? , ? ? R ,集合 N ? a a ? ?2,3? ? ? ?4,5? , ? ? R , 则M ? N ? 2.研究集合必须注意集合元素的特征,即集合元素的三性:确定性、互异性、无序性。 例 4.已知集合 A ? ?x , xy , lg( xy)? ,集合 B ? ?0 , | x | , y? ,且 A ? B ,则 x ? y ? 3.集合的性质:① 任何一个集合 P 都是它本身的子集,记为 P ? P 。 ② 空集是任何集合 P 的子集,记为 ? ? P 。 ③ 空集是任何非空集合 P 的真子集,记为 ? ? P 。
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

注意:若条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。 例 5.集合 A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ,实数 a 的取值范围 集合的运算:④
?

? A ? B? ? C ? A ? ?B ? C ?、 ? A ? B? ? C ? A ? ?B ? C ?;
CU ? A B? ? (CU A) (CU B) 、 CU ? A B? ? (CU A) (CU B) 。

⑤ A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? 。 ⑥ 对于含有 n 个元素的有限集合 M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为: 2 、 2 ? 1 、 2 ? 1 、 2 ? 2 。
n n n
n

例 6.满足条件 ? 1 , 2?? A ? ? 1 , 2 , 3 , 4 , 5? 的集合 A 共有
?

个。

4.研究集合之间的关系,当判断不清时,建议通过“具体化 ”的思想进行研究。 ... 例 7.已知 M ? x x ? 2k ? 1 , k ? N , N ? x x ? 4k ? 1 , k ? N ,则 M _____N 。 5.补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 .... 例 8.设函数 f ?x? ? 4x ? 2? p ? 2?x ? 2 p ? p ? 1在区间 ?? 1,1?上至少存在一个实数 C ,
2 2

?

?

?

?

使 f ?c ? ? 0 ,求实数 p 的取值范围 6.命题是表达判断的语句。判断正确的叫做真命题;判断错误的叫做假命题。 ① 命题的四种形式及其内在联系:
1

原命题:如果 ? ,那么 ? ;
原命题

互 逆 逆命题 互为 互 逆 逆否 互 否 逆否命题

逆命题:如果 ? ,那么 ? ; 否命题:如果 ? ,那么 ? ; 逆否命题:如果 ? ,那么 ? ;

互 否 否命题

② 等价命题:对于甲、乙两个命题,如果从命题甲可以推出命题乙,同时从命题乙也可以推出命题 甲,既“甲 ? 乙” ,那么这样的两个命题叫做等价命题。 ③ 互为逆否命题一定是等价命题,但等价命题不一定是互为逆否命题。 ④ 当某个命题直接考虑有困难时,可通过它的逆否命题来考虑。 例 9. “ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的 条件。 ⑤ 注意命题“如果 ? ,那么 ? ”的否定与它的否命题的区别: 命题“如果 ? ,那么 ? ”的否定是“如果 ? ,那么 ? ” ;否命题是“如果 ? ,那么 ? ” 。 *例 10. “若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的否命题是 7.常见结论的否定形式: p 或q p 且q 原结论 是 都是 一定 否定形式 不是 不都是 不一定 否定是 大于 不大于 小于 不小于

p 且q

p 或q

原结论 否定形式

至少一个 一个也 没有

至多一个 至少两个

至少 n 个 至多 n ?1 个

至多 n 个 至少 n ?1 个 推导关系

对所有 x 都成立 存在某 x 不成立

对任何 x 不成立 存在某 x 成立

8.充要条件: 条件 结论 判断结果

???

? 是 ? 的充分条件 ? 是 ? 的必要条件
? 是 ? 的充要条件

?

?

? ??
? ? ? 且 ? ??

在判断“充要条件”的过程中,应注意步骤性: 首先必须区分谁是条件、谁是结论,然后由推导关系判断结果。

不等式
1.基本性质: (注意:不等式的运算强调加法运算与乘法运算) ① a ? b 且 b ? c ? a ? c; ② 推论:ⅰ. a ? b ? a ? c ? b ? c ; ⅱ. a ? b 且 c ? d ? a ? c ? b ? d ;

2

c?0 ? ac ? bc ? ③ a ? b ? ?ac ? bc ? 0 c ? 0 ; ? ac ? bc c ? 0 ?
④ 推论:ⅰ. a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ? ac ? bd ; ⅱ. a ? b 且 a 、 b 同号 ?

1 1 ? ; a b

1 1 ?0? ; a b b b?m ? ⑤ a ? b ? 0,m ? 0 ? ; a a?m
ⅱ. a ? 0 ? b ?

ⅲ. a ? b ? 0 , n ? 0 ? an ? bn , n a ? n b ;

??0 ? ?b ? ? ⑥ a ?b ?? 0 ? a ?? b ; ?? 0 ?? b ? ?
2.解不等式: (解集必须写成集合或区间的形式) ① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤: ⅰ.分解因式 ? 找到零点; ⅱ.画数轴 ?标根 ? 画波浪线; ⅲ.根据不等号,确定解集; 注意点:ⅰ.分解因式所得到的每一个因式必须为 x 的一次式; ⅱ.每个因式中 x 的系数必须为正。
关 键

②绝对值不等式

去绝对值: ⅱ. x ? a ? ? a ? x ? a (a ? 0) ;

ⅰ. x ? a ? x ? a或 ? ?a (a ? 0) ; ⅲ. a ? b ? a2 ? b2 ;

ⅳ. f ? x ? ? g ? x ? ( g ? x ? ? 0) ? f ? x ? ? ? g ? x ? 或 f ?x ? ? g ?x ? ;

ⅴ. f ? x ? ? g ? x ? ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ; 去掉幂、指、对符号 ? 解不等式: 解对数不等式时,应注意些什么问题?(化成同底、利用单调性、注意同解变形) ④ 解含参数的不等式时,定义域是前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键。 而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结:综上所述 ⑤对于不等式恒成立问题,常用“函数思想 ” 、 “分离变量思想 ”以及“图象思想 ” 。 .... ...... .... ③幂、指、对不等式 例 1.已知不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围
2

借助函数单调性

3.基本不等式:
2 2 ① a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。

a, b ? R? ,则 a ? b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。
( a ? b) 2 ? 2ab , 当且仅当 a ? b 时,等号成立。 综上,若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2
2 2

a 2 ? b2 a ? b 2 ? ? ab ? *② 若 a, b ? R ,则 ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。 1 1 2 2 ? a b
?

3

*③ x ? 1 x

? ?2 ? ? ? ?? ?2 ? ?

1 x ? 0,当且仅当x ? ,即x ? 1 时, 等号成立 x 。 1 x ? 0,当且仅当x ? ,即x ? ?1 时, 等号成立 x

例 2.已知正数 a 、 b 满足 ab 例 3.函数 y ? 4 x ?

? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是

9 1 ( x ? ) 的最小值为 2 ? 4x 2
x y

例 4.若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是 例 5.正数 x 、 y 满足 x ? 2 y ? 2 ,则

1 1 ? 的最小值为 x y

4.不等式的证明: ① 比较法:作差 → 因式分解或配方 → 与“ 0 ”比较大小 → ② 综合法:由因导果。 ③ 分析法:执果索因;基本步骤:要证 即证 即证 。 ④ 反证法:正难则反。 ⑤最值法: a ? f ?x ?max ,则 a ? f ( x) 恒成立; a ? f ?x?min ,则 a ? f ( x) 恒成立。

函数
1.九个基本函数必须熟练掌握:强调函数图象 和 性质 ...... . .. 正比例函数, 反比例函数, 一次函数, 二次函数, 幂、指、对函数, 三角函数,反三角函数。 2.反函数:当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。 ① 求反函数的步骤掌握了吗? ⅰ.解方程,用 y 表示 x ;ⅱ.交换 x 与 y ,写成反函数的形式; ⅲ.注明反函数的定义域。 ② 你还记得反函数的四个性质吗? ⅰ.互换性; ; ⅱ.对称性; ⅲ.单调一致性; ⅳ .还原性。

例 1.函数 y ? f ?x ? 过点 ?1,1? ,则 f ?4 ? x ? 的反函数的图象一定经过点 ③ 若原函数 y ? f ( x) 在定义域上单调,则一定存在反函数;但一个函数存在反函数,则此函数 不一定单调。你能写出一个具体的函数吗?

? ? 1 ?x 1 ?? ? ? 1 x ? 0 例如:分段函数: f ?x ? ? ? ? 或 f ? x ? ? 等。 ?2? x ?? x ? 1 x?0 ?
3.函数的要素:定义域、值域、对应法则 ① 定义域: ⅰ.给出函数解析式,求函数的定义域(即求使函数解析式有意义的 x 的范围) (1) y ? [ f ( x)] ? f ( x) ? 0 ;
0

(2) y ?

P( x) ? Q( x ) ? 0 ; Q( x )

4

(3) y ? 2n P( x) ? P( x) ? 0 ; (5) y ? tan[ P( x)] ? P( x) ? k? ?

(4) y ? log P( x) Q( x) ? P( x) ? 0, P( x) ? 1, Q( x) ? 0 ;

?
2

, k ? Z ; (6) y ? cot[ P( x)] ? P( x) ? k? , k ? Z ;
(8) y ? arccos[ P( x)] ? ?1 ? P( x) ? 1 ;

(7) y ? arcsin[ P( x)] ? ?1 ? P( x) ? 1 ; ⅱ.使实际问题有意义的自变量的范围。 例 2.锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则 ⅲ.求复合函数的定义域:

AC 的值等于 cos A

, AC 的取值范围为

若 f ?x ? 的定义域为 ?a, b? ,则 f ?g ?x ?? 的定义域由不等式 a ? g ?x ? ? b 解出; 若 f ?g ?x ?? 的定义域为 ?a, b? ,则 f ?x ? 的定义域相当于 x ? ?a, b?时 g ?x ? 的值域; 例 3.函数 f ( x) ?

x( 4 ? x ) 的定义域为 lg( x ? 3)
?1 ? ? ?

例 4.若函数 y ? f ?x ? 的定义域为 ? ,2? ,则函数 f ?log2 x ? 的定义域为 2 例 5.若函数 f x 2 ? 1 的定义域为 ?? 2,1? ,则函数 f ?x ? 的定义域为 ② 值域:函数的值域(或最值)有哪几种常用解题方法? ⅰ.二次函数型或可化为二次函数型;ⅱ.单调性;ⅲ.基本不等式; ⅳ.换元法;ⅴ.数形结合; 例 6.函数 y ? 2 sin 2 x ? 3 cos x ? 1 的值域为 例 7.设 x , a1 , a2 , y 成等差数列, x , b1 , b2 例 8.函数 y ? sin x ?
2

?

?

2 ? a1 ? a 2 ? , y 成等比数列,则 的取值范围是

b1b2

9 的值域为 1 ? sin 2 x

例 9.函数 y ? 2

x ?2

? log3 ?5 ? x ? 的值域为

3.函数的基本性质: ①奇偶性: ⅰ.定义判断奇偶性的步骤: ? 定义域 D 是否关于原点对称;? 对于任意 x ? D ,判断 f (? x) 与 f ( x) 的关系: 若 f (? x) ? f ( x) ,也即 f (? x) ? f ( x) ? 0 ? y ? f ( x), x ? D 为偶函数 若 f (? x) ? ? f ( x) ,也即 f (? x) ? f ( x) ? 0 ? y ? f ( x), x ? D 为奇函数 ⅱ.图象判断奇偶性:函数图象关于原点对称 ? 奇函数; 函数图象关于 y 轴对称 ? 偶函数; ⅲ.判断函数的奇偶性时,注意到定义域关于原点对称了吗? ⅳ.如果奇函数 y ? f ( x) 在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 。
5

ⅴ.一个函数既是奇函数又是偶函数, 则该函数必为: f ( x) ? 0, x ? D (其中定义域 D 关于原点对称) ⅵ.如果两个函数都是非零函数(定义域相交非空) ,则有: 奇+奇 ? 奇;奇+偶 ? 非奇非偶;偶+偶 ? 偶;奇 ? 奇 ? 偶; 奇 ? 偶 ? 奇; 偶 ? 偶 ? 偶。 ②单调性:设任意 x1 , x2 ? D ,且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 无单调性

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 减函数 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 增函数 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

在比较 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 大小时,常用“作差法” ,比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 0 的大小。 ⅰ.奇函数的图象在 y 轴两侧的单调性一致;偶函数的图象在 y 轴两侧的单调性相反。 ⅱ.互为反函数的单调性一致。 ⅲ.增函数+增函数 ? 增函数; 减函数+减函数 ? 减函数。 ⅳ.复合函数单调性由“同增异减”判定。 例 10.函数 y ? log 1 ? x ? 2 x 的单调递增区间为
2 2

?

?

ⅵ.注意函数“单调性” 、 “奇偶性”的逆用(即如何体现函数的“奇偶性” 、 “单调性” ) 例 11.已知奇函数 f ?x ? 是定义在 ?? 2,2? 上的减函数,若 f ?m ? 1? ? f ?2m ? 1? ? 0 , 求实数 m 的取值范围 ③最大值和最小值:参见函数的值域 当 x 取 x1 , x2

, xn 的中位数时,函数 y ?| x ? x1 | ? | x ? x2 | ?

? | x ? xn | 取最小值

④函数的零点:对于函数 y ? f ( x) ( x ? D) ,如果存在实数 c(c ? D) ,当 x ? c 时, f (c) ? 0 , 那么就把 x ? c 叫做函数 y ? f ( x) ( x ? D) 的零点。注:零点是数; 用二分法求零点的理论依据是:①函数 f ? x ? 在闭区间 [ a, b] 上连续;② f (a) ? f (b) ? 0 那么,一定存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 。 (反之,未必) 以下性质不是 函数的基本性质 .. ⑤周期性:对于函数 y ? f ( x) x ? D ,如果存在一个非零常数 t ,使得对于任意 x ? D 时,恒有

f ( x ? t ) ? f ( x) 成立,那么函数 y ? f ( x) x ? D 叫做周期函数,非零常数 t 叫做该函数的周期。
ⅰ. 任意 x ? D , f ?x ? a ? ? ? f ?x ? , 则 T ? 2a ⅱ. 任意 x ? D , f ? x ? a ? ? ?

1 , 则 T ? 2a f ?x ?

ⅲ. 任意 x ? D , f ? x ? a ? ? f ? x ? b? ,则 T ?| a ? b | 例 12.定义在 R 上的偶函数 f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?x ? ,且在 ?? 3,?2? 上是减函数,若 ? 、 ? 是 锐角三角形的两个内角,则 f ?sin ? ? 与 f ?cos ? ? 的大小关系为

6

*ⅳ.若 y ? f ?x ?图像有两条对称轴 x ? a 、 x ? b ( a ? b ) ,则 y ? f ?x ? 必是周期函数, 且一周期为 T ? 2 a ? b 。 *ⅴ.若 y ? f ?x ?图像有两个对称中心 A?a,0? 、 B?b,0? ( a ? b ) ,则 y ? f ?x ? 是周期函数, 且一周期为 T ? 2 a ? b 。 *ⅵ.如果函数 y ? f ?x ? 的图像有一个对称中心 A?a,0? 和一条对称轴 x ? b ( a ? b ) , 则函数 y ? f ?x ?必是周期函数,且一周期为 T ? 4 a ? b 。 例 13.已知定义在 R 上的函数 f ?x ? 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ?x ? ? 0 在 x ? ?? 2,2? 上 至少有 ⑥ 对称性: 个实数根。

ⅰ.点 ? x, y ? 关于 y 轴的对称点为 ?? x, y ? ;函数 y ? f ?x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ? f ?? x ? 。 ⅱ.点 ? x, y ? 关于 x 轴的对称点为 ?x,? y ? ;函数 y ? f ?x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ?x ? 。 ⅲ. 点 ? x, y ? 关于原点的对称点为 ?? x,? y ? ; 函数 y ? f ?x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ?

b?a 对称。 2 a?b ⅴ.函数 f ?x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? ,则函数的图象关于直线 x ? 对称。 2
ⅳ.两函数 y ? f ?a ? x ? 与 y ? f ?b ? x ?的图像关于直线 x ? 例 14.二次函数 f ( x) ? ax ? bx 满足 f ?5 ? x ? ? f ?x ? 3? ,且方程 f ( x) ? x 有等根,则 f ( x) ?
2

例 15.己知函数 f ? x ? ?

x?3 ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C1 ,它关于直线 y ? x 对称图像是 C 2 , 2x ? 3

C 2 关于原点对称的图像为 C3 ,则 C3 对应的函数解析式是
例 16.函数 y ? x 2 ? x 与函数 y ? g ?x ? 的图象关于点 ?? 2,3? 对称,则 g ?x ? ? ⅵ.形如 y ? 分别为 x ? ?

ax ? b ? d a? (c ? 0 , ad ? bc ) 的图像是双曲线,对称中心是点 ? ? , ? ,两条渐近线 cx ? d ? c c? d a ,y? 。 c c

2 例 17.已知函数图象 C1 与 C 2 : y?x ? a ? 1? ? ax ? a ? 1 关于直线 y ? x 对称,且图象 C1 关于

点 ?2,?3? 对称,则 a ? 4.函数图象变换: ① 平移变换:
7

ⅰ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅱ.函数 y ? f ( x) 的图象 ② 伸缩变换: ⅰ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅱ.函数 y ? f ( x) 的图象 ③ 对称变换: ⅰ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅱ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅲ.函数 y ? f ( x) 的图象 ⅳ.函数 y ? f ( x) 的图象

左加右减 上加下减

函数 y ? f ( x ? a) 的图象; 函数 y ? f ( x) ? b 的图象;
1

沿x轴方向伸缩为原来的 k 倍

函数 y ? f (k ? x) 的图象; 函数 y ? k ? f ( x) 的图象;

沿y轴方向伸缩为原来的 k 倍

关于y轴对称

函数 y ? f (? x) 的图象; 函数 y ? ? f ( x) 的图象; 函数 y ? ? f (? x) 的图象; 函数 y ? f (| x |) 图象; 函数 y ?| f ( x) | 图象;

关于x轴对称

关于原点对称

x>0时,图象不变;然后再关于y轴对称

ⅴ.函数 y ? f ( x) 的图象 f(x)>0时,图象不变;然后再关于x轴对称

例 18.要得到 y ? lg?3 ? x ? 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向_____平移 3 个 单位而得到。

b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与 x?a 原图象关于直线 y ? x 对称,那么 ( ) (A) a ? ?1 , b ? 0 ; (B) a ? ?1 , b ? R ; (C) a ? 2 , b ? 0 ; (D) a ? 0 , b ? R ;
例 19.将函数 y ? 5.常见的抽象函数模型: ① 正比例函数模型: f ?x ? ? kx , k ? 0 ┄┄┄ f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? 。 ② 幂函数模型: f ?x ? ? x 2 ┄┄┄ f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? ; f ? 。 ? y? ?? ? ? f ?y? ③ 指数函数模型: f ?x ? ? a x ┄┄┄ f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? ; f ?x ? y ? ?

? x?

f ?x ?

f ?x ? 。 f ?y?

④ 对数函数模型: f ?x ? ? loga x ┄┄ f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? ; f ? ? y? ? ? f ?x ? ? f ? y ? 。 ? ? ⑤ 三角函数模型: f ?x ? ? tan x ┄┄┄ f ?x ? y ? ?

? x?

f ?x ? ? f ? y ? 。 1 ? f ?x ? ? f ? y ?

6.三个二次(哪三个二次)的关系以及应用掌握了吗? ① 在研究三个二次时,你注意到二次项系数非零了吗? ② 如何利用二次函数来研究一元二次方程、一元二次不等式的问题。
8

③ 一元二次函数的研究强调数形结合,那么数形结合该从哪些方面去研究?(开口、对称轴、 定义域以及偏移度) ④ 特别提醒:二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根即为不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 (?) 解集的端点值,
2

也是二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 图象与 x 轴交点的横坐标。 7.研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗? 8.研究函数的性质注意在定义域内进行了吗? 9.解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制了吗? 10.指数运算法则: ( a ? 0 , b ? 0 , m ? R , n ? R ) ⅰ. a ? a ? a
m n m? n



ⅱ. (a m ) n ? (a n ) m ? a m?n ;

ⅲ. (a ? b) n ? a n ? b n ;

11.对数运算法则:

loga M ? loga N ? loga (M ? N ) ;

M log a M ?l o g a N ?lo g a N ;

a loga b ? b ;

logc b ; loga b ? logc a

log a m b n ?

n log a b ; m

三角
1.三角比的定义你还记得吗? 2.三角公式你记住了吗?① 同角三角比的关系:商数关系、倒数关系、平方关系; ② 诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。 ③ 你能用“小三角形”进行同角三角比的转换吗? 3.三角化简,强调哪两点?① 切、割化弦;② 化繁为简。 4.三角条件求值你注意到两个关系了吗?(角的关系、名的关系) 例如: ? ? ?? ? ? ? ? ? ; 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ; 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 例 1.已知 tan ?? ? ? ? ?

2 ?? ?? 1 ? ? , tan? ? ? ? ? ,则 tan? ? ? ? ? 5 4? 4? 4 ? ? 3 ,则 y 关于 x 的 5

例 2.已知 ? 、 ? 为锐角, sin ? ? x , cos ? ? y , cos ?? ? ? ? ? ? 函数关系为 5.在三角中,你知道“ 1 ”等于什么吗?

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec 2 ? ? tan2 ? ? csc 2 ? ? cot2 ? ? tan ? ? cot ? ? tan
? sin

?
4

?
2

? cos 0 ? ?? 。 1 ? cos 2? ; 2 ? sin ? 1 ? cos ? ③ tan ? ; ? 2 1 ? cos ? sin ?
2

6.重要公式:① sin ? ?

② cos ? ?
2

cos 2? ? 1 2

④ a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 ? sin ?? ? ? ? ;

9

例 3.当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取最大值时, tan x ? 7.你还记得在弧度制下弧长公式以及扇形的面积公式吗?你注意到了扇形的弧长与周长的 区别了吗?( 1rad ? 57.3 )
0

弧长公式: l ? ? ? r ; 周长公式: c ? l ? 2r ;

面积公式: S ?

1 1 ? ?r2 ? l ?r; 2 2

例 4.已知扇形 AOB 的周长是 6cm ,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积 8.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?会用它们解斜三角形吗?如何实现边 角互化? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2 2 2

余弦定理: a ? b ? c ? 2bc ? cos A ; cos A ? 面积公式: S ? ?

b2 ? c2 ? a2 ; 2bc

1 1 1 ab ? sin C ? bc ? sin A ? ca ? sin B ; 2 2 2

大边对大角: a ? b ?

A? B ?

sin A ? sin B ;

2 2 2 锐角 ?ABC 中:若 a ? b ? c ,则 A ? B ?

?
?
2

? A? ? A? ? A?

?
2

? B ? sin A ? cos B ;

钝角 ?ABC 中:若 a ? b ? c ,则 A ? B ?
2 2 2 2 2 2 直角 ?ABC 中:若 a ? b ? c ,则 A ? B ?

?

?

2 2

?

2 2

?B?

?
2

? sin A ? cos B ;

? B ? sin A ? cos B ;
(注意几解) (注意几解)

例 5.在 ?ABC 中,若 sin A ?

1 ,则 cos A ? 3 1 在 ?ABC 中,若 cos A ? ,则 sin A ? 3
2 2 2

*9.三角形与向量综合的有关结论: ① 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC , ? O 是 ?ABC 的外心; (外心:中垂线的交点) ② 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 , ? O 是 ?ABC 的重心; (重心:三边中线的交点) ③ 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , ? O 是 ?ABC 的垂心; (垂心:高的交点)
? ? ④在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ? AB ? AC ? , ? AP 所在直线经过 ?ABC 的内心; ? ? ? AB AC ? ? ?

⑤在 ?ABC 中,给出 AD ?

AB ? AC , ? 等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2

例 6. O 是 ?ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ?ABC 的形状为 例 7.若 D 为 ?ABC 边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 ,
10

AP


PD

? ? ,则 ? ?

例 8.若 O 是 ?ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则角 C ? 10.你能迅速画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象吗?你知道三角函数线吗? 能写出它们的单调区间及其取最值时 x 的集合吗?(别忘了 ; ...k ? Z ) 能给出三角函数的对称轴、对称点吗? 11.会用五点法画函数“ y ? A sin( ?x ? ? ) ? B ”的草图吗?哪五点? 会根据图象求出参数 A 、 ? 、 ? 、 B 的值吗?

?x ? ? ) ? B 的最小正周期会求吗?有关函数周期的定 12.形如 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 、 y ? A tan(
义还记得吗?周期函数有何性质? 13.反三角的处理思想是什么?(回归思想:① 设、② 化、③ 范围,回到三角范围求解) 14.你能熟练的画出反三角函数: y ? arcsin x 、 y ? arccos x 、 y ? arctan x 的图象吗? 并结合图象,你能说明反三角函数的性质吗? 15.在三角函数中求一个角时,注意考虑两方面要求: ① 先求出某一个三角函数值;② 再判定角的范围。 16.三角不等式或三角方程的通解一般式你注明“ k ? Z ”了吗? 17.在用反三角表示直线的倾斜角、两直线的夹角、异面直线所成角、线面角、二面角、向量夹角 时,是否注意到它们的范围? 直线的倾斜角: ?0, ? ? ;两直线的夹角: ?0, 二面角: ?0, ? ?;向量夹角: ?0, ? ?;

? ?? ? ?? ? ?? ;异面直线所成角: ? 0, ? ;线面角: ?0, ? ; ? ? 2? ? 2? ? 2?

数列:
1.数列的本质是什么?(定义在正整数集或其子集上的函数) 。 2.等差数列的通项公式与一次函数有什么关系?等比数列的通项公式与指数函数有什么关系? 3.等差数列的求和公式有几个?等比数列的求和公式应注意什么? 4.设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则“ ?an ? 是等差数列”的充要条件是“ S n ? An2 ? Bn ,其中 公差 d ? 2 A ” 。 设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则“ ?an ? 是非常数等比数列”的充要条件是 “ Sn ? Aqn ? A( A ? 0) 其中公比是 q ” 。 5.常数列: an ? a (n ? N )

? ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列;
11

非零 常数列 既是等差数列,又是等比数列;既是等差数列又是等比数列的数列必为非零常数列 .. ...

6.若 ?an ? 是等差数列,则 b

;若 ?a ? 是等比数列,则 ?log a ?是等差数列; ? ?是等比数列( b ? 0 )
an
n
b n

7.对于等差、等比数列,你是否掌握了类比思想? 8.等差数列、等比数列有哪些重要性质?你注意到它们的性质的关键在于下标以及结构特征了吗?


定 义 通项 公式 前n 项和 公式















从第二项起, 后一项减前一项的差是同一个 常数,则该数列为等差数列。 1. an ? an?1 ? d

从第二项起,后一项与前一项的比是同一非零常 数,则该数列为等比数列。 1.

(n ? 2, n ? N ? )

an ? q (n ? 2, n ? N ? , q ? 0) a n?1

an ? a1 ? (n ? 1)d
Sn ?

(n ? N ? )

an ? a1q n?1 (n ? N ? )
? na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q q ?1 q ?1

(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? n ? n ? a1 ? ?d 2 2 ? An2 ? Bn (n ? N ? )

通项公式 an 与前 n 项和公式 S n 之间的关系: a n ? ? 1. an ? ak ? (n ? k ) ? d 2. 2an?1 ? an ? an?2

?

S1 ?S n ? S n ?1
1.

n ?1 n ? 2, n ? N ?

(n, k ? N ? )

(n ? N ? )

an ? q n?k ak

(n, k ? N ? )

2 2. an ?1 ? an ? an?2

(n ? N ? , an?1 ? 0)

3.若 i ? j ? k ? l ? 2 p , 则: ai ? a j ? ak ? al ? 2a p 性

3.若 i ? j ? k ? l ? 2 p , 则: ai ? a j ? ak ? al ? (a p )
2

Sn ?

(a1 ? a n ) ? n (a 2 ? a n ?1 ) ? n ? ? ?? 2 2

4.若 k1 , k 2 , k3 ?? 是公差为 k 的等差数列, 4.若 k1 , k 2 , k3 ?? 是公差为 k 的等差数列, 则: ak1 , ak2 , ak3 ?? 是公差为 k ? d 的等 差数列。 质 5. ?an ? , ?bn ? 分别是公差为 d1 ,d 2 的等差数 列, ? 、 ? 是常数,则: 5. ?an ? , ?bn ? 分别是公比为 q1 , q2 的等比数列, 则: ak1 , ak2 , ak3 ? 是公比为 q 的等比数列。
k

? 、 ? 是非零常数,则:
{? ? an ? ? ? bn } 是公比为 q1 ? q2 的等比数列;
{
12

?? ? an ? ? ? bn ? 是公差为 ? ? d1 ? ? ? d 2
的等差数列。

? ? an q } 是公比为 1 的等比数列。 ? ? bn q2

例 1.已知 ?an ? 是等比数列,且 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3n ? r ,则 r ? 例 2.在等比数列 ?an ? 中, a3 ? a8 ? 124, a4 ? a7 ? ?512,公比 q 是整数,则 a10 ? 9.无论是在等差数列还是在等比数列中,共有五个关键量: a1 、 an 、 S n 、 n 、 d 或 q , 如果已知其中三个量,则可由 an 及 S n 的公式,求出其余两个量(知三求二) ; 10.求数列通项公式有哪几种典型类型? ① an ? an?1 ? d (n ? 2, n ? N ) 或

an ) ? q(n ? 2, n ? N ) 型(定义 ..? 等差或等比数列 .......? 利用公式 .... an?1

② 已知 an?1 ? an ? f (n) 或 a n?1 ? g (n) (n ? N ) 型 (累计求和或累计求积 ) ......... an ③ 已知 an?1 ? p ? an ? q ( p ? 1 )型(等式左右两边同时减去 ..........

q ) 1? p

④ 已知和 S n ,求项 an ,则: a n ? ?

? S1 ?S n ? S n ?1

n ?1 n?2

(是否注意到 “ n ? 2 ”?) .....

⑤利用迭代、递推的方法 ⑥数学归纳法证明(用数学归纳法证明问题的关键是什么?是否具有从特殊到一般的思维模式 ) ................................ 例 3.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

? , n ? 2 , n ? N ,则 an ?

? 例 4.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3an?1 ? 2 , n ? 2 , n ? N ,则 an ?

例 5.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 例 6.数列 ?an ? 满足

an?1 ? an ,则 an ?

1 1 1 a1 ? 2 a 2 ? ?? ? n a n ? 2n ? 5 ,则 an ? 2 2 2

11.求数列 ?an ? 的最大、最小项的方法:注意点:由于 n 是正整数,注意等号成立。 ① 函数思想(特别是,利用数列的单调性) ;

? ?? 0 ② 作差比较法: a n ?1 ? a n ? ?? ? ? ? 0 a n ?1 ? a n ; ? ?? 0 ? ?
③ (an ) max ? ?

?an ? an?1 ?a ? an?1 ; (an ) min ? ? n ?an ? an?1 ?an ? an?1

例 7.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?2n 2 ? 29n ? 3 ,则 ?an ? 的最大项为 例 8. ?an ? 的通项公式为 a n ?

n ,则 ?an ? 的最大项为 n ? 156
2

13

9 n ? ?n ? 1? 例 9. ?an ? 的通项公式为 a n ? ,则 ?an ? 的最大项为 10n
12.求数列前 n 项和 S n 有哪几种典型类型? ① 通过判断 ? “等差或等比数列” ? 利用求和公式求解。 ② 通过判断 ? “等差 ? 等比”型 ? 分组拆项求和。 ③ 通过判断 ? “等差 ? 等比”型 ? 错位相减法。 ④通项或表达式为分式时,常用裂项相消求和法。 1 1 1 1 常用裂项方法: ? ( ? ) ( m ? n) (k ? m)(k ? n) m ? n k ? n k ? m ⑤倒序相加法,或倒序相乘法,强调配对思想。 ⑥对于数表型问题,找规律,再操作。 ⑦对于奇偶项的不同,分类讨论,分别求和。 (注意项数、公差、公比的变化) 例 10. 1 ?

1 1 1 ? ? ?? ? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ?n

例 11.函数 f ? x ? ?

x2 ?1? ?1? ?1? ,则 f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? f ?4? ? f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? 2 1? x ? 2? ? 3? ? 4?

13.你会根据数列项的关系来研究“数列和的最值”以及“数列积的最值”吗? 例 12.等差数列 ?an ? 中, a1 ? 25 , S 9 ? S17 ,问该数列中多少项和最大?并求此最大值。 例 13. 若 ?an ? 是等差数列, 首项 a1 ? 0 ,a2003 ? a2004 ? 0 ,a2003 ? a2004 ? 0 , 则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最大正整数 n 是 14.数列换元应注意哪两个原则?(最小下标原则以及下标一致原则) 。 15.极限有哪几种典型类型?分别如何处理? ① lim c ? c
n??

? 0 q ?1 1 ? n q ?1 (c 为常数) ; ② lim ? ? 0( a ? 0) ;③ lim q ? ? 1 ; n ?? n n ?? ?不存在 q ? 1或q ? ?1 ?
? 1 ? a ,| a |?| b | ? ? 1 ? ? ,| a |?| b | ? b ?1 1 ?a ? b ,a ? b ?

④ lim an ? bn ? c ? a (d ? 0) ;⑤ a n ? bn n??? dn 2 ? en ? f lim n ?1 n ?1 d n ???
2

a

?b

16.极限的运算性质有哪些? 如果: lim a n ? A , lim bn ? B ,则:① lim( a n ? bn ) ? A ? B ; ② lim( a n ? bn ) ? A ? B ;
n?? n?? n ?? n ??

③ lim

an A ? n ?? b B n
n

( B ? 0) ;④ lim(a n ) k ? (lim a n ) k ? A k
n ?? n ??

k 为有限数;

注:极限的四则运算应满足:项数有限且每一项都有极限 18. lim q ? 0 ? _ ?( q ? 1 ) ;若 lim q 存在,则 q 满足什么条件?( q ? 1 或 q ? 1 )
n n ?? n ??

14

上述 q 与等比数列的公比有什么区别吗? 19.无穷等比数列的“各项和”就是“所有项和” ,也就是数列和的极限。它的前提是等比数列的公 比 q 满足: q ? 1 且 q ? 0 ,则各项和为 S ?

a1 。 1? q

*20.存款单利问题: (零存整取储蓄(单利)本利和计算模型) 若每期存入本金 p 元, 每期利率为 r , 则 n 期后本利和为:S n ? p?1 ? r ? ? p?1 ? 2r ? ? ?? p?1 ? nr? ; 分期付款复利问题:若贷款 p 元,采用分期等额还贷款,从借款日算起,一期后为第 一次还款日,如此下去,分 n 次还清,如果每期利率为 r (按复利) ,那么每期等额还贷款 x 元 应满足: x?1 ? r ?
n?1

? x?1 ? r ?

n ?2

n ? ?? ? x?1 ? r ? ? x ? p?1 ? r ? ;

复数
1.你还记得复数是怎样定义的吗? ① 虚数单位 i :四次一循环

i 4k ?1 ? i;

i 4k ?2 ? ?1;

i 4k ?3 ? ?i;

i 4k ?4 ? 1;

(k ? Z )

注:易知 (1 ? i)2 ? 2i ; ② 复数的代数形式:形如 a ? bi

(1 ? 2i)2 ? ?2ik ; (1 ? i)2k ? 2k ? i k ; (1 ? i)2k ? ( ?2) k ? ik
(a, b ? R) 的数叫做复数,记为: z ? a ? bi (a, b ? R) 。

a 叫做复数 z 的实部,记为: Re z ? a ;

b 叫做复数 z 的虚部,记为: Im z ? b ,注意:复数的虚部是一个实数。
注:虚数不能比较大小;能比较大小的复数是实数 ③ z1 ? a ? bi , z 2 ? a ? bi (a, b ? R) , 则称 z 1 、 z 2 为共轭复数,记为: z1 ? z 2 ,或 z 2 ? z1 。 注:实数 a 的共轭复数就是本身,即 a ? a (a ? R) ④ z ? R ? Im z ? 0 ? z ? z ? z ? 0 ;
2

? ?Re z ? 0 ?z ? z ? 0 ?? ? z2 ? 0 z 是纯虚数 ? ? ? ?Im z ? 0 ? z?0

? ? ? ?正整数 ? ? ? ? 整数 ? 0 ? ?有理数 ? ? ? ? ? 实数 ? ⑤ 数的分类: ?负整数 ? ? ? ? ? 复数z=a+bi(a,b ? R)? 分数 ? ? ? ? ? 无理数 ? ? ?纯虚数 : a ? 0且b ? 0, 即z ? bi (b ? 0) ?虚数 ? ? ? 非纯虚数 : z ? a ? bi (a ? 0 且 b ? 0) ?

2.解复数问题的指导思想是什么?(根据复数相等的充要条件,将复数问题转化为实数问题求解) 设 z1 ? a ? bi , z 2 ? c ? di (a, b, c, d ? R) ,则 z1 ? z2 ? a ? c且b ? d(把复数问题转化 为实数问题) .. 3.复数的性质有哪些? ① 共轭的性质:ⅰ. z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; ⅱ. z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; ⅲ. (
15

z1 z ) ? 1 ; ⅳ. ( z ) ? z ; z2 z2

② 模的性质:ⅰ. z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; ⅳ. z
2

ⅱ.

z1 z1 ? ; z2 z2
2

ⅲ. z
2

n

? z ;
2 2

n

? z ? z?z;

2

ⅴ. z1 ? z 2

? z1 ? z 2

? 2 z1 ? z 2

?

?;

ⅵ. | z1 | ? | z2 | ?| z1 ? z2 |?| z1 | ? | z2 | ③ 幂的运算法则: (注:n、m 为整数) ⅰ. z ? z ? z
m n m? n



ⅱ. ( z n ) m ? z n?m ? ( z m ) n ;

ⅲ. ( z1 ? z 2 ) n ? ( z1 ) n ( z 2 ) n ;

ⅴ. (1 ? i) 2 ? 2i ? (1 ? i) 2n ? (2i) n ; ⅵ.? ?

(1 ? i) 2 ? ?2i ? (1 ? i) 2n ? (?2i) n ;

? 1 ? 3i ? 1 ? 3i ? ? 2 ?? ? , ? 3 ? 1 , 1?? ?? 2 ? 0 ; 2 2 1 2 3 1 3 i ,其中? 1,2 ? ? ? i 叫做立方虚根。 2 2 2

? 的本质:方程 x3 ? 1 的三个根是 1 和 ? ?

? 的运算满足三次一循环: ?13k ? 1 ; ?13k ?1 ? ?1 ; ?13k ?2 ? ?2 ? ?1 ( k ? Z )
4.你还记得实系数一元二次方程的求根公式吗?“共轭虚根定理”的前提是什么,结论是什么? ① 实系数一元二次方程: ax ? bx ? c ? 0
2

(a, b, c ? R, a ? 0)

?b ? b2 ? 4ac ⅰ.当 ? ? b ? 4ac ? 0 时 ? 有两个实数根: x1 , x2 ? ; 2
2

ⅱ.当 ? ? b ? 4ac ? 0 时 ? 有一对共轭虚根: x1 , x2 ?
2

?b ? 4ac ? b2 i ; 2

b ? ? x1 ? x 2 ? ? a ② 无论 ? ? 0 还是 ? ? 0 ,韦达定理都成立: ? ? c ? x1 ? x 2 ? a ?
注意: (1)实系数一二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a, b, c ? R, a ? 0) 中,以下公式和定理适用 : .. 求根公式;利用判别式判断根的情况与个数;韦达定理;共轭虚根定理(即虚根成对出现) (2)虚系数一元二次方程中:仅韦达定理 可用; .... (3)已知 x1、x2 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a, b, c ? R, a ? 0) 的两根,则
2

ⅰ.若 | x1 ? x2 |? p( p ? 0) ,则 ?

???0 ???0 2 2 或? 2 2 ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? p ?4 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? p
? ?? 0 ? ??0 ? 或 2 2 2 ? c x ? x ? 2 | x x | ? p ? 1 2 1 2 ?p ?| x1 | ? | x2 |? 2 | x1 |? 2 x1 ? x2 ? 2 ? a

ⅱ.若 | x1 | ? | x2 |? p( p ? 0) ,则 ?

16

矩阵
1.矩阵:由 m ? n 个数 aij ( i ? 1 , 2 , 3 , ? , m ; j ? 1 , 2 , 3 , ? , n )按顺序排成的 m 行、 n 列

? a11 a12 a13 ? a1n ? ? ? 矩形数表叫做矩阵,记为: A ? ? a 21 a 22 a 23 ? a 2 n ? ,简记为: A ? aij ?? ? ? aij ? ? ? ? ?a ? ? m1 a m 2 a m3 ? a mn ?
2.元素:矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,记为 aij 。

? ?

m?n

,读做:矩阵 A .

3.单位矩阵:主对角线上元素均为 1 ,其余元素均为 0 的方矩阵,叫做单位矩阵,记为 I 。

?1 0 0 ? ? ? ?1 0 ? 例如: 2 阶单位矩阵: ? ?0 1 ? ? ; 3 阶单位矩阵: ? 0 1 0 ? 。 ? ? ?0 0 1 ? ? ?
4.负矩阵:将矩阵 A ? aij

? ?

m?n

中每一个元素 aij 变为其相反数 ? aij ,所得的矩阵称为矩阵 A 的 。

负矩阵,记为: ? A ? ? aij

?

?

m?n

5.零矩阵:所有的元素都为 0 的矩阵,称为零矩阵。 6.相等矩阵:若两个矩阵是同类型,即 A ? aij

? ?

m?n

, B ? bij

? ?

m?n

,当且仅当它们对应位置的

元素都相等,即 aij ? bij 时,则称这两个矩阵相等,记做: A ? B 。 7.矩阵的和(差) :两个同类型矩阵 A ? aij 设 cij ? aij ? bij ,所得到的矩阵 C ? cij

? ?

m?n

、 B ? bij

? ?

m?n

对应位置上的元素相加(减) ,

? ?

m?n

称为矩阵 A 、 B 的和,记做: C ? A ? B 。

注:矩阵相等、矩阵加减运算,前提条件是两矩阵的行数与列数相同。 矩阵加法运算律:① 交换律: A ? B ? B ? A 8.数与矩阵相乘:设 k 为任意实数,将矩阵 A ? aij ② 结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) ;
m?n

? ?

的所有元素都与 ? 相乘得到的

? ka11 ? ka 矩阵 ? 21 ? ? ? kam1

ka12 ka22 kam 2

ka13 ka23 kaij kam 3

ka1n ? ? ka2 n ? 叫做矩阵 A 与实数 k 的乘积矩阵,记作: ?A ? ?aij ? ? kamn ?

? ?

m?n



注:实数与矩阵的乘法运算律:如果 A 、 B 是两个同类矩阵, m 、 n 是任意实数,那么: ① 实数关于矩阵加法的分配律: m( A ? B) ? mA ? mB ; ② 矩阵关于实数加法的分配律: (m ? n) A ? mA ? nA ; ③ 实数关于实数与矩阵乘法的结合律: (mn) A ? m(nA) ;
17

9.矩阵的乘积:当且仅当矩阵 A ? aij 矩阵 C ? cij

? ?

m?n

的列数 n 与矩阵 B ? bij

? ?

p?q

的行数 p 相等时,定义

? ?

m?q

的任意一个元素 cij ? ai1 ? b1 j ? ai 2 ? b2 j ? ai 3 ? b3 j ? ?? ? ain ? bpj ,则称矩阵 C

是矩阵 A 与矩阵 B 的乘积,记作: C ? AB 。 注: 两个矩阵进行乘法运算, 必须是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数, 其核心为: “左行乘右列” 。 矩阵变换:要“左乘”变换矩阵 ① 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵;② 若 AB ? 0 ,一般不能推出 A ? 0 或者 B ? 0 ; ③ 若 AB ? AC , 即使 A 是非零矩阵, 也不一定有 B ? C ; ④ 矩阵乘法不满足交换律, 即 AB 与 BA 一般不相等。

行列式
1.二阶行列式:

a1 a2

b1 b2

,其展开式为: a1b2 ? a 2 b1 。

?a x ? b1 y ? c1 2.设二元一次方程组: ? 1 ,其中 a1 、 a2 、 b1 、 b2 是未知数 x 、 y 的系数,且不全为 ? a 2 x ? b2 y ? c 2

零,c1 、c2 是常数项, 设D ?

a1 a2

b1 b2

,D x ?

c1 c2

b1 b2

,D y ? a1

a2

?D ? x ? Dx , 则方程组可整理为:? c2 ?D ? y ? D y
c1

ⅰ、当 D ? 0 时,方程组有唯一解: ?

? Dx D y ? ? D , D ? ?; ? ?

ⅱ、当 D ? 0 ,且 D x 、 D y 不全为零时,方程组无解; ⅲ、当 D ? Dx ? Dy ? 0 时,方程组有无穷多组解。 注意:利用三阶行列式解线性方程组时: D ? 0 ? 方程组有唯一解;

D ? 0 ? 方程组有无穷解或无解 (只需知道即可) ...... ........

a11
3.把九个数排成三行三列的方阵称为三阶行列式,记做: a 21

a12 a 22 a32

a13 a 23 , a33

a31

按行列展开为: a11a22 a33 ? a21a32 a13 ? a31a12 a23 ? a13 a22 a31 ? a23 a32 a11 ? a33 a12 a21 。 ① 余子式:把三阶行列式中某元素 aij 所在的行和列划去后所得的二阶行列式叫做该元素 aij 的 余子式,记做: M ij (本质:还是行列式) 。

18

② 代数余子式:把某元素 aij 的余子式 M ij 添上相应的符号 ?? 1? 该元素 aij 的代数余子式。 例如: a 23 的余子式为: M 23 ?

i? j

,得到 ?? 1?

i? j

M ij ,叫做

a11 a31

a12 a11 2?3 ;代数余子式为 ?? 1? M 23 ? ? a32 a 31

a12 ; a 32

③ 三阶行列式可以按任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和;三阶行列式 可以按任意一列展开成该列元素与其对应的代数余子式的乘积之和;

a11
例如: a 21

a12 a 22 a32 a12 a 22 a32

a31 a11 a 21 a31

a a 23 ? a11 22 a32 a33 a a 23 ? ?a12 21 a31 a33 a13

a13

a 23 a33

? a12

a 21 a31

a 23 a33

? a13

a 21 a31

a 22 a32



a 23 a33

? a 22

a11 a31

a13 a33

? a32

a11 a 21

a13 a 23



4.在平面直角坐标系中,点 A 、 B 、 C 的坐标分别为 ?x1 , y1 ? 、 ?x2 , y 2 ? 、 ?x3 , y3 ? ,

则 ?ABC 的面积公式 S ?ABC

x1 1 ? x2 2 x3

y1 1 y2 1 。 y3 1

向量
1.向量的本质是什么?① 即有大小又有方向的量;② 向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊! 2.向量的性质有哪些? ① 相等向量:大小相等,方向相同的两个向量叫做相等向量,记为: (与起点,终点的位置无关) ; ② 互为负向量: 大小相等, 方向相反的两个向量叫做互为负向量。 ? a ; a ? (?a) ? 0 ; a 的负向量: ③ 平行向量:方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。 (平行向量与大小无关) 若 a , b 都是非零向量,则 a // b ? a ? k b ( k ? R ); (向量平行即共线)

④ 零向量:大小为零的向量叫做零向量,记为: 0 。 (零向量方向任意) 注: 0 ? 0, ? 0 ? 0 , 0 //任意向量, 0 ? 任意向量; ⑤ 单位向量:大小为“ 1 ”的向量叫做单位向量。单位向量方向不确定;单位向量不唯一;单位 向量之间不一定相等;若 a 0 是非零向量 a 的单位向量,则: a0 ?

a a



⑥ 位置向量:起点在原点的向量叫做位置向量 ? 位置向量与向量终点一一对应 ? 位置向量的 向量坐标与终点的点坐标一一对应
19

⑦ 判断向量垂直的依据: a ? b ? a ? b ? 0 ? a ? b ? a ? b ⑧ 判断向量平行的依据: (非零向量) 方法一:存在常数 k ,使得 a ? k b ? a // b 且 k ? 0 时, a 与 b 同向; k ? 0 时, a 与 b 反向。

?a ?b ? a ? b ? 方法二: ? a ?b ? ? a ? b ? ?

? cos? ? 1

? ? ? 0 ? 同向 ? 反向

? cos? ? ?1 ? ? ? ?
a ?b b

? a // b 。

⑨ 向量 a 在向量 b 方向上的投影: a ? cos ? ?

。 (投影有正负)

3.你掌握了“数与向量相乘” , “向量的数量积”的运算了吗? ① 数与向量乘积: k ? a = k a (结果为向量)注:若 k ? a ? 0 ,则 a ? 0 或 k ? 0 。

运算律:当 m 、 n ? R 时,ⅰ、 (m ? n)a ? ma ? na ; ⅱ、 m(a ? b) ? ma ? mb ; ⅲ、 m(na) ? (mn)a ? n(ma) ; ② 向量的数量积: a ? b ? a ? b ? cos ? , ? ? [0, ? ] (结果为实数) 性质:① a ? b ? b ? a ④ a?a ? a ? a
2 2

② (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ⑤ ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? b
2 2

③ m(a ? b) ? (ma) ? b ? a ? (mb)
2 ⑥ ( a ? b) ? a ? 2a ? b ? b 2 2

③ 向量的夹角 ? :

a ?b ? ? ? ?[0, ? ] (注意起点重合) , cos? ? ? t ?? ? ? ? a?b ? 2

? arccost ? ?? ? arccost

t?0 t?0 t?0

④ 向量的运算与实数运算有区别:等式两边能同时约去一个向量吗?;向量满足的乘法结合律吗? (即 a ? (b ? c) ? (a ? b) ? c ) 。切记向量不能相除。 4.线段的定比分点公式记住了吗? ? 的取值与定比分点 P 和 P 1P 2 的位置有何关系? ⅰ、中点公式以及重心公式你还记得吗?ⅱ、在利用定比分点解题时,你注意到 ? ? ?1 了吗? 5.平面向量分解定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不平行的向量,那么对于这个平面内的 任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,满足 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。 6.函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系! 例 1.按向量 a 把点 ?2,?3? 平移到 ?1,?2? ,则按向量 a 把点 ?? 7,2? 平移到点 例 2.函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移,得到函数的解析式是 y ? cos 2 x ? 1,则 a ? 7.向量坐标:
20



面 向 量



间 向 量(理)

a ? ?x, y ? ? xi ? y j
a ? x2 ? y2

x, y ? R

a ? ?x, y, z ? ? xi ? y j ? z k
a ? __________ ________

x, y, z ? R

若 a ? x1 i ? y1 j ; b ? x2 i ? y2 j 则: a ? b ?

若 a ? x1 i ? y1 j ? z1 k ; b ? x2 i ? y2 j ? z 2 k

_ ?__________ ? _ ?__________

则: a ? b ?

? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2 ?z ? z 2 ? 1

若 a ? ?x, y ? ,则: ? a ? ?? x,? y ?

若 a ? ?x, y, z ? ,则: ?a ? _____

若非零向量 a ? x1 i ? y1 j ; x1 , y1 ? R 非零向量 b ? x2 i ? y2 j ; x2 , y 2 ? R

非零向量 a ? x1 i ? y1 j ? z1 k ; x1 , y1 , z1 ? R 非零向量 b ? x2 i ? y2 j ? z 2 k ; x2 , y 2 , z 2 ? R 则: a ? b ? a ? k b ? ? __________ ?
? __________ ? ? __________

? x ? kx2 ; 则: a // b ? a ? k b ? ? 1 ? y1 ? ky2
a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0
零向量: 0 ? ?0,0,0? 若 a ? ?x, y, z ? , 则与 a 同方向的单位向量 a 0 为: a0 ?

零向量: 0 ? __________ __ 若 a ? ?x, y ? , 则与 a 同方向的单位向量 a 0
? ? x y ? 为: a 0 ? a ? ? , 2 2 2 2 ? ? x ?y ? a ? x ?y

a a

?

若a ? ?x1 , y1 ? , b ? ?x2 , y 2 ? 则 a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y 2 ?

若 a ? ?x1 , y1 , z1 ?, b ? ?x2 , y 2 , z 2 ? 则 a ? b ? __________ __________ ___

a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y 2 ? a ? b ? __________ __________ ___   ?????? ??????????? ????????????????? ?
向 量 的 加 , 减 运 算 的 最 终 结 果 仍 为向 量

若a ? ?x, y ? , k ? R
数 与 向 量 相 乘 , 结 果 仍 为向 量

若a ? ?x, y, z ? , k ? R

则k a ? __________ ____ 则k a ? ?kx, ky, kz ? ????????????? ? ????????????? ? ?

21

若a ? ?x1 , y1 ? , b ? ?x2 , y 2 ? 则 a 与 b 的数量积为:

若 a ? ?x1 , y1 , z1 ? , b ? ?x2 , y 2 , z 2 ? 则 a 与 b 的数量积为:
向 量 与向 量 的 数 量 积 为 实 数

a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y 2 a ? b ? __________ __________ ______  ???? ?????????????????????????????
若 a ? ?x1 , y1 ? , b ? ?x2 , y2 ? 则 a 与 b 的夹角 ? 的余弦为: ? ? [0, ? ]
cos? ? a ?b ab ? __________ ________

若 a ? ?x1 , y1 , z1 ? , b ? ?x2 , y2 , z2 ? 则 a 与 b 的夹角 ? 的余弦为: ? ? [0, ? ]

cos? ?

a ?b ab

?

x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? z1 ? z 2 x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y 2 ? z 2
2 2 2 2 2 2

已知: P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y 2 ) ,

已知: P1 ( x1 , y1 , z1 ) , P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) ,

P3 ( x3 , y3 ) ,且 P1 P3 ? ? P3 P2 , ? ? ?1
x1 ? ?x 2 ? 则 ? x3 ? 1 ? ? ,中点: ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ? 2 2 y ? ?y 2 ? y3 ? 1 1 ? ? ?

P3 ( x3 , y3 , z3 ) ,且 P1 P3 ? ? P3 P2 , ? ? ?1
x1 ? ?x 2 ? ? x3 ? 1 ? ? 则? y1 ? ?y 2 中点: ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 , z1 ? z 2 ) ? ? y3 ? 2 2 2 1? ? ? ? z ? z 1 ? ?z 2 3 ? 1? ? ?

重心: (

x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ) 3 3

重心: ( x1 ? x2 ? x3 , y1 ? y 2 ? y3 , z1 ? z 2 ? z 3 )
3 3 3

(理)8.空间向量在立体几何中的应用 ① 异面两条直线 AB 、 CD 所成的角 ? : cos? ?
AB ? CD AB ? CD



② 空间直线 l 与平面 ? 所成线面角的大小: (当直线 l 与平面 ? 相交且不垂直时)设 l 与 ? 所成的线 面角为 ? ,直线 l 的一个方向向量为 d ,平面 ? 的一个法向量为 n ,则 sin ? ?

d ?n d ?n



③ 二面角:设二面角的两个半平面所在的平面 ?1 、 ? 2 的法向量分别为 n1 、 n2 ,二面角的大小为

? ( 0 ? ? ? ? ) ,则 | cos? |? d ? n ,且 ? 的范围由图象确定。
d ?n

④ 设 P 为平面 ? 外一点,H 是点 P 在平面 ? 上的射影, 设 A 为平面 ? 内任意一点,n 为平面 ? 的 一个非零法向量,则点 P 到平面 ? 的距离为 PA ? n 。 n ⑤直线 l 的方向向量是 d ,平面 ? 的法向量是 n ,则 l / /? ? d ? n
22

平面 ? 的法向量是 n1 ,平面 ? 的方向量是 n2 ,则 ? / / ? ? n1 / / n2 ,? ? ? ? n1 ? n2

立体几何
1.立体几何的三个公理及其推论你还记得吗?你能画出图形并写成数学语言吗? 公理(一) :如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 公理(二) :如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线。 公理(三) :经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理(四) :平行于同一直线的两条直线互相平行。 2.立体几何中的判定定理、性质定理你了解吗? 3.线、线关系: ?共面? ?
? 平行 ? ?相交 ?异面 ?

① 证明两直线是异面直线思想方法:反证法;

② 异面直线所成角的范围: (0 ,

?
2

];

③ 异面直线所成角的求解思想方法:ⅰ.平移 ? 相交 ? 放入三角形中 ? 利用余弦定理求解; (理)ⅱ.建立空间直角坐标系 ? 利用向量夹角公式加以求解。 P ? ABCD 例 1.正四棱锥 的所有棱长相等, E 是 PC 的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所成角的 余弦值为 例 2.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 是侧棱 DD1 的中点, O 是底面 ABCD 的中心, P 是棱

A1 B1 上的一点,则 OP 与 AM 所成角的大小为
? 线在面内 4.线、面关系: ? ?线在面外?线、面平行 ? ? ?线、面相交 ?
① 直线与它在平面内的射影所成的角叫做“线面角” ; ② 线面角的取值范围: [0 , ③ 线面角的求解思想:关键找出线在平面内的射影。 例 3.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? 1 , D 在 BB1 上, BD ? 1 ,则 AD 与 平面 AA1C1C 所成的角为
?平行 5.面、面关系: ? ?相交

?
2

];

① 由一条直线和这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; ② 二面角的取值范围: [0 , ? ] ; ③ 二面角的求解思想: ⅰ.找出或作出二面角(关键要找到面的垂线)ⅱ.建立坐标系,用向量求解。
23

例 4.正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,对角线 BD1 ? 8 ,且 BD1 与侧面 BB1C1C 所成角为 30 ,
0

则二面角 C1 ? BD1 ? B1 的大小为 例 5.从点 P 出发引三条射线 PA 、 PB 、 PC ,每两条的夹角都是 60 , 则二面角 B ? PA ? C 的余弦值为 6.常见的多面体有哪些?(请试着自己画出它们的图像) ① 正三棱锥:底面是正三角形;顶点在底面上的射影是底面的中心。 ② 正四面体:所有的棱都相等,所有的面都是正三角形; 侧棱与底面所成角的大小为: arccos 每组对边所成角的大小为:
0

1 3 ;侧面与底面所成角的大小为: arccos ; 3 3

? 。 2

③ 正四棱锥:底面是正方形,侧面是等腰三角形;顶点在底面上的射影是底面的中心。
a ④ 正六棱锥:底面是正六边形,侧面是等腰三角形;顶点在底面上的 c c 射影是底面的中心。 b b a ⑤ 平行六面体:所有的面都是平行四边形。 1 2 a b 3 ⑥ 正四棱柱:底面是正方形;侧棱垂直底面。 b c c ⑦ 正方体:所有的面都是正方形。 a ⑧ 长方体:所有的面都是矩形; 长方体的体对角线的平方等于经过同一顶点的三条棱的平方和,即: a 2 ? b 2 ? c 2 ? l 2 ; 如果长方体的一条体对角线与经过同一顶点的三条棱所成的角分别为: ?1 、 ? 2 、 ?3 , 则: cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1. ⑨ 圆柱: 将矩形 ABCD (及其内部) 绕其一条边 AB 所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做圆柱。

h

h

h

⑩ 圆锥:将直角三角形 ABC (及其内部)绕其一条直角边 AB 所在直线旋转一周,所形成的 几何体叫做圆锥。

圆锥过顶点的截面是一个等腰三角形,当这个截面同时过圆锥的轴时,截面就成了轴截面。 在所有过圆锥顶点的截面中,面积最大的不一定是轴截面,设圆锥的母线是 l ,轴截面的顶角为 ? ,

1 2 l sin ? , 2 1 2 0 当 0 ? ? ? 90 时,面积最大的截面就是轴截面,最大截面面积为: l sin ? ; 2
截面等腰三角形的顶角为 ? , 0 ? ? ? ? ,则截面面积为 当 ? ? 90 时,面积最大的截面不是轴截面,而是过顶点且顶角为
0

? 1 的截面,最大截面面积为 l 2 。 2 2

24

7.锥体的体积公式不要忘了系数“

1 1 ” ;柱体的体积公式为底面积乘以高,不可以乘 。 3 3

8.注意区分表面积与侧面积。 9.球:将圆心为 O 的半圆(及其内部)绕其直径 AB 所在的直线旋转一周,所形成的几何体叫做球。 记做:球 O 。
2 已知球的半径为 r ,则球的表面积为: S ? 4?r ;球的体积为 V ?

4 ? ? r3 。 3

经线:球面上从北极到南极的半个大圆 。 .... 纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆。 经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面 与 0 经线及地轴确定的半平面所成的 ... 二面角的度数。 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。 球面距离:在联结球面上两点的路径中,通过该两点的大圆劣弧最短,该弧的长度称为球面上两点 间的球面距离。 10.球面上两点 A 、 B 间距离的求法: ① 计算线段 AB 的长;② 计算球心角 ?AOB 的弧度数;③ 用弧长公式计算劣弧 AB 的长。
0

直线
1.直线的倾斜角 ? 与斜率 k 的关系: ? ? [0, ? ) , k ? R 当倾斜角 ? ?

?
2

时, ? 的正切值叫做这条直线的斜率,即斜率 k ? tan ? ;当倾斜角 ? ?

?
2

时,

称该直线的斜率不存在;对于每一条直线而言,都有倾斜角,但不一定都有斜率。 ① k ? 0 ? ? ? 0 ? 直线水平方向; ② k ? 0 ? ? ? (0, ③ k ? 0 ? ? ?(

?

?
2

2

) ? ? ? arctan k ? 直线一、三象限方向倾斜;

, ? ) ? ? ? ? ? arctan| k |? ? ? arctank ; ? 直线二、四象限方向倾斜

④ 斜率 k 不存在 ? ? ?

?
2

? 直线竖直方向;

2.直线的斜率公式、点到直线的距离公式、直线到直线所成角公式、夹角公式记住了吗? ① 设直线 l 的方向向量 d ? (?,? ) ,斜率 k ,直线上任意两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) , 当 ? ? 0 即 x1 ? x 2 时, k ?

? y1 ? y 2 ; 当 ? ? 0 即 x1 ? x 2 时,斜率 k 不存在; ? ? x1 ? x2
?l : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 , a12 ? b12 ? 0 则 l1 的 2 2 l : a x ? b y ? c ? 0 , a ? b ? 0 2 2 2 2 ?2 2

② 设直角平面坐标系中,两直线的方程分别为: ? 1

一个方向向量为 d1 ? ?b1 ,?a1 ? , l 2 的一个方向向量为 d 2 ? ?b2 ,?a2 ? ,

25

设 l1 与 l 2 的夹角为 ? ,则 cos? ? d1 ? d 2 ? d1 ? d 2

, ? ? ?0, ? ? , ? 2 2 ? 2? ? a12 ? b12 ? a 2 ? b2

| a1 ? a 2 ? b1 ? b2 |

③ 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ( A 、 B 不全为零)的距离为: d ? ④两平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ; l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ( A 、 B 不全为零) 则这两平行直线间的距离为: d l1 ?l2 ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

C1 ? C 2 A2 ? B 2

⑤设 ? ?

ax0 ? by0 ? c a2 ? b2

,则在直线同侧的所有点, ? 同号;在直线异侧的所有点, ? 异号;

在直线上的所有点, ? ? 0 。 2. 几种直线方程间的关系: (在用“点斜式” 、 “斜截式”求直线方程时,你是否注意到斜率 k 不存在的情况?) 类型 点方向式 直线方程 方向向量 法向量 斜率

x ? x0

?

?

y ? y0

?

点法向式

a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b

点斜式

斜截式

一般式

ax ? by ? c ? 0

4.如何判断两直线位置关系?(在坐标平面上,两直线的位置关系有:相交、平行、重合)
2 2 ? ① 设直角平面坐标系中,两直线的方程分别为: ?l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 , a1 ? b1 ? 0 2 2 ?l 2 : a 2 x ? b2 y ? c2 ? 0 , a 2 ? b2 ? 0

D?

a1 a2

b1 b2

, Dx ?

? c1 ? c2

b1 b2

, Dy ?

a1 a2

? c1 ? c2



26

? ?x ? ? 当 D ? 0 即 a1b2 ? a2 b1 ? 0 时 ? ? ?y ? ? ?
当 D ? 0 即 a1b2 ? a2 b1 ? 0 时

Dx D l 与 l 2 相交; Dy ? 1 D

若 Dx ? 0 或 D y ? 0 ? 方程组无解 ? l1 与 l 2 平行; 若 Dx ? Dy ? 0 ? 方程组有无数组解 ? l1 与 l 2 重合。 例 1. “ D ? 0 ”是“两直线相交”的 条件;“ D ? 0 ”是“两直线平行”的 条件

② 设直角平面坐标系中,两直线的方程分别为: ? 1

?l : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 , a12 ? b12 ? 0 2 2 ?l 2 : a 2 x ? b2 y ? c2 ? 0 , a 2 ? b2 ? 0

则 l1 的一个方向向量为 d1 ? ?b1 ,?a1 ? , l 2 的一个方向向量为 d 2 ? ?b2 ,?a2 ? ,
当 d1 // d 2 时 ?

l1 与 l 2 平行或重合;当 d1 与 d 2 不平行时 ? l1 与 l 2 相交;当 d1 ? d 2 时 ? l1 与 l 2 垂直;
条件。

例 2. “ d1 ? d 2 ”是“直线 l1 与 l 2 平行”的

③ 已知直线 l1 、 l 2 的斜率分别为: k 1 、 k 2 ,在 y 轴上的截距分别为 b1 、 b2 ,即直线 l1 、 l 2 的 斜截式方程分别为 l1 : y ? k1 x ? b1 ; l 2 : y ? k 2 x ? b2 ;则 当 k1 ? k 2 时 ? l1 与 l 2 相交; 当?

?k1 ? k 2 时 ? l1 与 l 2 平行; ? b1 ? b2

当?

?k1 ? k 2 时 ? l1 与 l 2 重合; ? b1 ? b2

当 k1 ? k 2 ? ?1 时 ? l1 与 l 2 垂直; 条件; “ l1 ? l 2 ”是“ k1 ? k 2 ? ?1 ”的 条件;

例 3. “ l1 // l 2 ”是“ k1 ? k 2 ”的

例 4.已知直线 l1 : x ? a 2 y ? 6 ? 0 ,直线 l 2 : ?a ? 2?x ? 3ay ? 2a ? 0 ,求当 a 为何值时,

l1 与 l 2 相交、平行、重合。
例 5.直线 l 到点 A?3,3? ,点 B?5,2? 的距离相等,且 l 过 3x ? y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 的交点, 求直线 l 的方程。 例 6.已知直线 l : y ? kx ? 3 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点位于第一象限,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是

圆锥曲线
27

1.圆的定义:平面内到一定点 O( a, b) 的距离等于定长 r (r ? 0) 的点的轨迹叫做圆, ①你知道圆的方程的标准形式、一般形式吗?你会互化吗? ②二元二次方程: Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 为圆的充要条件是:

B ? 0 , A ? C ? 0 且 D 2 ? E 2 ? 4 AF ;
2.你会判断点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系吗? 4.圆的切线:已知点 P ( x0 , y0 ) ① 点 P 在圆 O : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 上, 则过点 P 的圆的切线方程为: ( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? b)( y0 ? b) ? r 2 ② 点 P 在圆 O 外, 则过点 P 的圆的切线方程可以这样求解: 先设切线方程为 l :y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (注意斜率是否存在) ;再利用圆心到直线的距离 d O? L 等于半径 r ? k ? 切线方程。 6.你知道圆的参数方程吗? 7.解决直线与圆的关系问题时,特别强调“垂径定理 ” 。 .... 2.椭圆:平面内到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定值 2 a ( 2a ? 2c ? 0 )的点的轨迹。
2a ? 2c ? 0 ? ? ? 2a ? 2c ? 0 ? 线段F1 F2 ? ? 0 ? 2a ? 2c ? 无意义,轨迹不存在? ? 椭圆

数形结合

2 2 b2 c ? 基本概念:长轴长 2 a ;短轴长 2b ;焦距:焦距 2c , (a ? b ? 0、a ? c ? 0 ) ;a ?

3. 双曲线:平面内到两个定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于定值 2 a (0 ? 2a ? 2c) 的点的轨迹 叫做双曲线。
0 ? 2a ? 2c ? 双曲线 ? ? 2a ? 2c ? 0 ? 两条射线 ? ? 2a ? 2c ? 0 ? 无意义,轨迹不存在 ? ?

数形结合

2 2 2 基本概念:实轴长 2 a ;虚轴长 2b ;焦距 2c , ( c ? a ? 0 、 c ? b ? 0) ) ; a ?b ?c

4.抛物线:平面内到一个定点以及一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 (定点在定直线外 ) ....... 定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线,定点到准线的距离叫焦准距,记作 p 5.如何判断直线与圆锥曲线的位置关系? 6.用直线方程与圆锥曲线方程联立求解时,在得到的方程中你注意到“最高次项系数是否为零” 以及“ ? ? 0 ”了吗?圆锥曲线本身的范围你注意到了吗? 7.你会求弦长吗? AB ?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2

? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? y1 ? y 2 ? 1 ?
28

1 。 k2

抛物线的焦点弦长: | AB |? x1 ? x2 ? p (焦点在 x 轴上) | AB |? y1 ? y2 ? p (焦点在 y 轴上) 7.你知道“近日点” 、 “远日点”的概念吗?你知道圆锥曲线上的点到焦点的距离的取值范围吗? 8.你会利用圆锥曲线的对称性设点、设直线、解题吗? 9.求轨迹与求轨迹方程是有区别的,求轨迹方程可别忘了寻求范围 呀! ....... ① 直接法:直接建立 x 、 y 之间的关系,得到轨迹方程 F ?x, y ? ? 0 ; ② 待定系数法:根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定的系数; ③ 代入法:相关点代入求动点轨迹方程; ④ 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义, 则可由曲线的定义直接写出轨迹方程; (理)⑤ 参数法:将动点的坐标 x 、 y 均用某一中间量(参数)表示,得到参数方程,再削去参数 得到普通方程。 10.解析几何与向量综合的有关结论:
? ? ,u ? 0 ; ① 给出直线的方向向量 d ? ? u,? ? ,则直线的斜率 k ? ? ? u ? ?不存在, u ? 0

② 给出 OA ? OB 与 AB 相交,相当于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; ③ 给出 PM ? PN ? 0 ,相当于已知 P 是 MN 的中点; ④ 给出以下情形之一:ⅰ、 AB // AC ;ⅱ、存在实数 ? ,使 AB ? ? AC ;ⅲ、若存在实数 ? 、 ? , 且 ? ? ? ? 1 ,使 OC ? ? OA ? ? OB 。相当于已知 A , B , C 三点共线; ⑤给出 OP ?

OA ? ? OB ,相当于已知 P 是 AB 的定比分点,即 AP ? ? PB ; 1? ?
? ? MA ? MB ? 0 ? ? MA / / MB
?AMB 是钝角 ? ? ;

?AMB 是锐角 ? ? ⑥ ?AMB ? MA ? MB ? 0 ;

? ? MA ? MB ? 0 ? ? MA / / MB

⑦平行四边形 ABCD 中, AB ? AD ? AB ? AD ? 0 ,相当于已知 ABCD 是菱形; ⑧平行四边形 ABCD 中,给出 AB ? AD ? AB ? AD ,相当于已知 ABCD 是矩形; (理)11.将参数方程化为普通方程时,你注意到参数的范围了吗? (理)12.极坐标问题的处理思想:ⅰ、图形思想;ⅱ、化归思想;
2 2 2 有序数对 ( ? ,? ) ,叫做点 M 的极坐标( ? 必须是弧度制) ; ? ? x ? y , ? cos ? ? x , ? sin ? ? y

?

??

?

排列、组合
1.排列有序、组合无序;分类为加、分步为乘 3.排列数、组合数计算公式你还记得吗?组合数的性质你知道吗?
29

①排列数公式: Pn ? n(n ? 1)(n ? 2) ??(n ? m ? 1) ?
m

n! (n ? m)!

( m ? n)

m ②组合数公式: Cn ?

Pm n(n ? 1)(n ? 2)??(n ? m ? 1) n! ? ? nm m(m ? 1)(m ? 2)??3 ? 2 ? 1 m!?(n ? m)! Pm
0 ; Cn ?1 ;

(m ? n)

③ Pnn ? Pn ? n!? 1? 2 ? 3??(n ? 1) ? n (n ? N ) ; 0! ? 1
m m n ?m m?1 m m Cn ? ; Cn Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ;

n m ?1 C n ?1 m

; n ? n!? ?n ? 1?!?n!

4.解排列组合问题的依据:分类相加;分步相乘;有序排列;无序组合。 5.解排列组合的基本方法:枚举法、捆绑法、插入法、排除法; 6.解排列组合的基本思想:先选后排。 7.解排列组合问题的注意点: ① 必须先确定类型,然后才能进行计算;② 特殊元素、特殊位置要优先考虑; 例 1.将 5 封信投入 3 个邮筒,则不同的投法共有 种。

例 2.在平面直角坐标系中,由六个点 ?0,0? , ?1,2? , ?? 2,?1? , ?? 1,?2? , ?2,4? , ?6,3? , 可以确定三角形的个数为 例 3.设 ? A 的一边 AB 上有 4 个点,另一边 AC 上有 5 个点,连同 ? A 的顶点共有 10 个点, 以这些点为顶点,可以构成 个三角形。

例 4.某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中中恰好有 3 枪连在一起的不同种数为 例 5.已知 3 人坐在一排 8 个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法有 例 6.现有某种产品 10 只,其中 4 只为次品, 6 只为正品,每只产品均不相同且可区分, 今每次取出一只测试,直到 4 只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时 被发现的不同情况种数是 种。

二项式定理
1.公式: (a ? b) ? Cn a ? Cn a
n 0 n 1 n?1 2 n?2 2 k n ?k k n n b ? Cn a b ? ?? ? Cn a b ? ?? ? Cn b n ? N 等号

右边的表达式叫做二项展开式,共 n ? 1 项;
k n ?k k 通项公式: Tk ?1 ? Cn a b (k ? 0,1, 2, k , n) ; 其中: C n (k ? 0,1, 2,

, n) 叫做二项式系数;

2.二项式系数的性质: (k ? 0,1, 2,

, n)


k n?k ① 在二项展开式中,与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等,即: Cn ? Cn
n

0 1 2 n ② 在二项展开式中,所有的二项式系数之和等于: 2 ,即: Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? Cn ? (1 ? 1) n ? 2 n ;

30

奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于: 2

n ?1



0 2 4 1 3 5 即: Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? 2n?1

n? N ;

3.在二项展开式中: ① 当 n 为偶数时 ? 共有 n ? 1 项 ? 第

n ? 1 项的二项式系数最大,即 C n2 ; 2
n ?1 n ?1

n

② 当 n 为奇数时 ? 共有 n ? 1 项 ? 第

n ?1 n?3 项和第 项的二项式系数最大,即 C n 2 , C n 2 ; 2 2

4.注意点:① 注意二项式系数、项的系数、以及项与项之间的联系与区别; ② 在二项展开式的化简计算中,注意特殊值的选取; 5.二项式问题有哪几类?分别该如何计算?
? ? (2) 求二项式两项中的某一 项 (a或b); ? k n?k k Tk ?1 ? C n a b 进行求解; ? ? 借助通项公式: (3) 求展开式中某一项; ? ? (4) 求展开式中某一项的系 数; ? (1) 求指数n;

(5) 求二项展开式的有关系 数和 ? 对照二项展开式 , 给a、b赋值;
6.设 ?ax ? b? ? f ?x ?,则 ?ax ? b? 展开式的各项系数和为 f ?1? ;
n n

奇数项系数和 ? 偶次幂系数和 ?

f ?1? ? f ?? 1? f ?1? ? f ?? 1? ;偶数项系数和 ? 奇次幂系数和 ? 。 2 2

7.你会求展开式中的系数最大(小)的项吗?

统计初步
1.在统计中,考察对象的全体叫做总体,总体中的每一个考察对象叫做个体。 ① 已知一组数据: x1 , x2 , x3 ,??, xn 总体平均数: ? ?

(n ? N ? ) ,则:
? xn ) ;
? ( xn ? ? ) 2 ] ?

1 ( x1 ? x2 ? x3 ? n

总体方差: ? 2 ? 1 [( x1 ? ? )2 ? ( x2 ? ? )2 ? ( x3 ? ? ) 2
n

1 2 ( x1 ? x2 2 ? x32 ? n

2 ? xn 2 ) ? ? ? ? ;

总体标准差: ? ?

? 2 ,也即方差的算术平方根;
, xn (n ? N ) 由小到大(或由大到小)依次排列,当 n 为奇数时,

中位数:将数据 x1 , x2 , x3 ,

位于该数列正当中位置的数就是中位数;当 n 为偶数时,位于该数列正当中位置的两个数的 平均数就是中位数; (位于“中位数”两侧的数据个数相等) ② 已知有两组数据:x1 , x2 , x3 ,??, xn

(n ? N ) 与:y1 , y2 , y3 ,??, yn (n ? N ) 之间存在关系:

, y n ? kxn ? b ( n ? N 且 k 、 b 为非零常数)
31

ⅰ、若 x1 , x2 , x3 ,??, xn 的平均数为 ? ,则 y1 , y2 , y3 ,??, yn 的平均数为: k ? ? b ; ⅱ、若 x1 , x2 , x3 ,??, xn 的方差为 ? ,则 y1 , y2 , y3 ,??, yn 的方差为: k ? ;
2
2 2

ⅲ、若 x1 , x2 , x3 ,??, xn 的标准差为 ? ,则 y1 , y2 , y3 ,??, yn 的标准差为:| k? |; ③ ④ ⑤ ⑥ 方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小, 数据方差和标准差越大, 说明这组数据的波动越大; 中位数用来衡量一组数据的中等水平; 平均数用来衡量一组数据的平均水平; 出现次数最多的数称为众数; , xn 的平均数是 5 , 方差是 4, 则数据 3x1 ? 7 , 3x2 ? 7 , , 3xn ? 7

例 1. 已知数据 x1 , x2 , x3 , 的 平均数为

;标准差为

2.从总体中取出一部分个体叫做总体的一个样本,样本中包含个体的个数叫做样本的容量。 例 2.某中学高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 300 人,通过分层抽样抽取一个容量 为 n 的样本,若每个学生被抽到的概率为 0 .2 ,则 n ? (1) 科学的抽样方法必须使样本具有代表性。 样本的代表性指选取的样本能客观地反映总体的情况, 没有人为的主观偏向。 (样本的代表性是科学抽样的基本要求) 。 (2)常用的抽样方法有如下三种:随机抽样、系统抽样、分层抽样(你知道它们的区别吗?) 例 3:将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002,…,600。采用系统抽样方法抽取一个容量 为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003。这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 住 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 住在第Ⅱ营区,从 496 到 600 住在第Ⅲ营区。三个营区被抽中的 人数依次为( ) (A)26,16,8 (B)25,17,8 (C)25,16,9 (D)24,17,9 3.用样本的平均值 ......x ?

x1 ? x2 ? n

? xn

作为总体平均值的点估计值;

用样本的标准差 ......s ?

?x

1

? x ? x 2 ? x ? ?? x n ? x n ?1

? ?
2

?

2

?

?

2

作为总体标准差的点估计值。

例 4.某校高一年级 128 名学生参加某次数学联考,随机抽取其中 10 名学生的联考,数学成绩 如下表,则该高一学生数学联考成绩标准差的点估计值= 学生 成绩 (精确到 0.1 )

a
78

b
68

c
80

d 85

e
82

f
75

g

h
92

i

j
81

80

79

概率
1.随机事件 A 的概率 0 ? P? A? ? 1 ,当 P? A? ? 1 时称为必然事件;当 P? A? ? 0 时称为不可能事件。
32

2.等可能事件的概率(古典概率) : P ? A? ?

m 。 n

例 1.设 10 件产品中有 4 件次品, 6 件正品,求下列事件的概率:① 从中任取 2 件都是次品; ② 从中任取 5 件恰有 2 件次品; ③ 从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品;④ 从中依次取 5 件 恰有 2 件次品; 3. 互斥事件(不可能同时发生的事件): P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ; 一般情况下: P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ? P? AB? ; 例 2.有 A 、 B 两个口袋, A 袋中有 4 个白球和 2 个黑球, B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球, 从 A 、 B 袋中各取两个球交换后,求 A 袋中仍装有 4 个白球的概率。 4.对立事件( A 、 B 不可能同时发生,但 A 、 B 中必然有一发生): P? A? ? P A ? 1 。 两互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件。 (理)5.独立事件(事件 A 、 B 的发生互不影响): P? AB? ? P? A? ? P?B? 。 例 3.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 概率相同,则事件 A 发生的概率 P? A? ? 例 4.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题 分别得 100 分、 100 分、 200 分,答错得 0 分,假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率 分别为 0.8 、 0 .7 、 0 .6 ,且各题答对与否相互之间没有影响,则这名同学得 300 分的概率为 这名同学至少得 300 分的概率为 例 5.有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是 例 6.冰箱中有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次从中任取 1 瓶甲种或乙种饮料,取甲种或乙种的概率 相等,则甲种饮料饮用完时乙种饮料还剩下 3 瓶的概率为 (理)6.数学期望:随机变量 ? 为 x1 , x2 ,┅, xn 时对应的概率分别为 p1 , p 2 ,┅, p n , 则 x1 p1 ? x2 p2 ? ?? ? xn pn 叫做随机变量 ? 的数学期望, 记作: E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? ? xn pn 。 ① 本质:随机变量的加权平均数; ② 数学期望也叫随机变量的均值;

??

1 , A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的 9

7.随机变量的方差:随机变量 ? 为: x1 , x2 ,┅, xn 时对应的概率分别为: p1 , p 2 ,┅, p n , 且随机变量 ? 的数学期望为 E? , 则 D? ? ( x1 ? E? ) 2 p1 ? ( x2 ? E? ) 2 p2 ? ?? ? ( xn ? E? ) 2 pn 叫做随机变量的方差。 8.随机变量的标准差:随机变量的方差的算术平方根叫做随机变量 ? 的标准差。随机变量的 方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度。 例 7.一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时取出 2 个,求其中含红球个数的 数学期望 E? 以及方差 D? 。
33

例 8.一种填字彩票,购票者花 1 元买一张小卡,购买者在卡上填 10 以内的三个数字(允许重复) 。 如果三个数字依次与开奖的三个有序的数字分别相等,则奖金 600 元,只要有一个数字不符 (大小或次序) ,则无奖金,求购买一张彩票的期望收益。 例 9.市场上有一种“双色球”福利彩票,每注售价为 2 元,中奖概率为 6.710 0 ,一注彩票的 平均奖金额为 14.9 元,如果小王购买了 5 注彩票,求他的期望收益。 (精确到 0.01 )

数学家简介
康托尔:德国数学家,集合论的创始人。 德.摩根:英国数学家,现代符号逻辑学和数理逻辑的奠基人。 吴文俊:当代中国数学家,计算法与几何证明相结合,发明了“机器证明”的“吴方法” 。 笛卡尔:法国数学家、哲学家,解析几何的创始人,指导思想是用代数方法研究几何。 张遂:又名僧一行,在天文研究中发明了“不等间距二次内插” 。 欧拉:瑞士数学家,在数学、力学、物理、天文学方面均有突出贡献,在三角学方面,他首先提出 弧度制思想。 高斯:德国著名数学家,他的研究涉及到数学的各个领域,并对天文学和大地测量学研究有突出 贡献,他在世界上享有崇高的声誉,并被誉为“数学王子” 。高斯首先证明一元 n 次方程 有且仅有 n 个根。 阿基米德:古希腊数学家、物理学家,他在数学上的贡献包括用极限思想求出许多几何图形的 面积和体积。 莱布尼茨:德国数学家,与牛顿齐名的微积分创始人,他在数学上还有一项发明就是行列式。 华罗庚:深刻论述了“数与形”的关系。 卡尔丹:世界上第一个使用负数开方的数学家。 苏步青:数学家,中国科学院院士,他在射影曲线和曲面、极小曲面和闭拉普拉斯序列等方面的 研究成果,受到国际上的高度评价,开创了计算几何学。 祖冲之、祖暅父子:中国古代数学家,精确计算圆周率,提出约率和密率。 陆家羲:上海人,1965 年开始解决组合数学重大问题,1983 年获得世界声誉。 李善兰:与英国人伟烈亚力合译了《几何原本》 ,创立了二次平方根的幂级数展开式,各种三角 函数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式 杨辉:我国南宋时期数学家,杨辉三角就是以他的名字命名的。 帕斯卡:法国数学家,概率论的奠基者。 拉普拉斯:概率论之父。 许宝禄:中国数学家,中国科学院院士,他是 20 世纪最富有创造性的统计学家之一,他是多元 分析的开创者之一。他的研究领域涉及统计推断、极限理论、马尔科夫过程等。 费马:法国数学家,早期便有坐标思想,他的坐标系是倾斜的,而且不用负数,指出方程和曲线的 关系并知道了直线和二次曲线的方程。

34

§集简逻 1. ?0,1?

2. ?? ?

? ? ? 2 1 ?? ?? 2 1 ? ? ? , ? , , ? ? 3. ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ?? ?? ?

??? 2,?2??

4. ? 2 5. a ? 0

6.

7

7. M ? N
?

8. ? ? 3, ?

? ?

3? 2?

9. 充分非必要条件

10. 否命题是“若 a 和 b 不都是偶数,

则 a ? b 是奇数” ;否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是奇数” 。 §不等式 1. a ? ?? 2,2? 2. ?9,??? §函数 1. ?1,3? 2.2, 3. 8 4. 2 2 5.

3 ? 2 2
5. ?1,5? 6. ? ? 4,

?

2, 3

?

3. ?3,4? 4.

? 2,4?

? ?

17 ? 8? ?

7. ?? ?,0? ? ?4,??? 8. ? 12. f ?sin ? ? ? f ?cos ? ?

?11 ? ,9 ?2 ? ?

9. ?0,???

10. ?1,2?

11. ?

1 2 ?m? 2 3 x?2 2x ? 1

13.5

14. f ? x ? ? ? 18. y ;右;

1 2 x ?x 2

15. y ? ?

16. g ?x? ? ? x 2 ? 7 x ? 6 17. 2

19. C 3. ?

§三角 1.

3 22

2. y ? ? 3 1 ? x 2 ? 4 x , 3 ? x ? 1 5 5 5 7. ? ? 2 2. 512 8. C ?

3 2

4. 2cm

2

5. ?

2 2 2 2 , 3 3

6.直角三角形 §数列 1. ? 1

?
3
4. an ? 2 ? 3n?1 ? 1 5. a n ?

3. an ?

n ?1 ? 2 ?1

1 n2

?14 6. an ? ? n?1 ?2
10.

n ?1 n ? 2 , n? N?
7 2

1 7. a7 ? 102 8. a12 ? a13 ? 25
13. 4006

99 9. a8 ? a9 ? 8 10
1

2n n ?1

11.

12.前 13 项和最大,最大值为 169

§向量 1. ?? 8,3? 2. a ? ? ?

6 6 3 ? ? ? 0 2. 90 3. arcsin 4. arcsin ,1? §立几 1. 4 3 3 ? 4 ?

5.

1 3

§直线 1. 充要条件,必要非充分条件

2. 既非充分也非必要条件; 3. 既非充分也非必要条件

4. 必要非充分条件 5. a ? ?? ?,?1? ? ?? 1,0? ? ?0,3? ? ?3,??? , a ? ?1 或 a ? 0 , a ? 3 6. x ? 6 y ? 11 ? 0 或 x ? 2 y ? 5 ? 0 7. ?

?? ? ? , ? ?6 2?

8.9. 6.576
4 C6 5 ? 5 C10 84

§排列组合 1.243 2.15 3.90 4.20 5.24 §统计初步 1.22,6 2.200 3. B 4. 6.2 §概率 1.

2 10 44 10 ; ; ; 15 21 125 21

2.

8 21

3.

2 3

4. 0.228 , 0.564

5.

1 9

6.

35

7.1.2,0.36 8.-0.4

9.-4.33

36


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