当前位置:首页 >> 数学 >>

基本初等函数讲义(全)


一、一次函数
一次 函数
k ,b

k ? kx ? b ? k ? 0 ?
k ?0
b?0 b?0 b?0 b?0

k ?0
b?0 b?0

符号

y

y
O O

y
O

/>
y
O

y
O

y

图象

O

x

x

x

x

x

x

性质

y 随 x 的增大而增大

y 随 x 的增大而减小

二、二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) 2 ? k (a ? 0) ③两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点 式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点, 且横线坐标已知时, 选用两根式求 f ( x) 更方 便. (3)二次函数图象的性质

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ?

a?0

a?0

图像

x??
定义域 对称轴 顶点坐标

b 2a
? ?? , ? ? ?
x?? b 2a

x??

b 2a

? b 4ac ? b 2 ? , ?? ? 2 a 4a ? ?

值域

? 4ac ? b 2 ? , ? ?? ? ? 4a ?
b ? ? ? ?? , ? ? 递减 2a ? ?

? 4ac ? b 2 ? ?? , ? ? 4a ? ?
b ? ? ? ?? , ? ? 递增 2a ? ?

单调区间
? b ? , ? ? ? 递增 ?? ? 2a ? ? b ? , ? ? ? 递减 ?? ? 2a ?

①.二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为
x??

b 4ac ? b2 b ) , 顶点坐标是 (? , 2a 4a 2a
b b 在 [? , ??) 上递增, ] 上递减, 2a 2a

②当 a ? 0 时, 抛物线开口向上, 函数在 (??, ? 当x??

4ac ? b 2 b b 时,f min ( x) ? ; 当 a ? 0 时, 抛物线开口向下, 函数在 (??, ? ] 4a 2a 2a

4ac ? b 2 b b 上递增,在 [? , ??) 上递减,当 x ? ? 时, f max ( x) ? . 4a 2a 2a

三、幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的图象

过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) .

四、指数函数
(1)根式的概念 如果 x n ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a ? n am ( a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a
n ? 1) .0 的负分数指数幂没有意义.
? m n

m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( ) m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 a a

(3)运算性质 ① a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? R) ③ (ab)r ? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? R) (4)指数函数 函数名称 指数函数 ② (a r )s ? a rs (a ? 0, r , s ? R)

定义

函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y
图象

y

y ?1
(0,1)

y ?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况

1

x 0
R
(0, ??)

O

1
x 0

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数
a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

在 R 上是减函数
a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对图象的影 在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低. 响 五、对数函数 (1)对数的定义
①若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其 中 a 叫做 底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? log a N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式
log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a a b ? b .

(3)常用对数与自然对数
g l ln N , 常用对数: 即 log10 N ; 自然对数: 即o lg N ,
e

N(其中 e ? 2.71828 …) .

(4)对数的运算性质

如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么

① 加 法 : log a M ? log a N ? log a ( MN )
log a M ? log a N ? log a M N

② 减 法 :

③数乘: n log a M ? log a M n (n ? R) ⑤
log a N ?

④ a loga N ? N ⑥ 换 底 公 式 :

log ab M n ?

n log a M (b ? 0, n ? R) b

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

(5)对数函数 函数 名称 定义

对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? log a x

y
图象

x ?1

y

x ?1

y ? log a x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数
log a x ? 0 ( x ? 1)

R

图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数
log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图 象 的 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越 影响 靠高. (6)反函数的概念
设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式

子 x ? ? ( y) .如果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x ? ? ( y) , x 在 A 中都 有唯一确定的值和它对应,那么式子 x ? ? ( y) 表示 x 是 y 的函数,函数 x ? ? ( y) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y ) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) . (7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出
x ? f ?1 ( y ) ;

③将 x ? f ?1 ( y ) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. ②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. ③若 P(a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P ' (b, a ) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象 上. ④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.

例题
一、求二次函数的解析式 例 1.抛物线 y ? x2 ? 4 x ? 4 的顶点坐标是() A. (2,0) B. (2,-2) C. (2,-8) D. (-2,-8)

例 2.已知抛物线的顶点为( ? 1, ? 2) ,且通过(1,10) ,则这条抛物线的表达 式为() A. y ? 3 ? x ? 1?2 ? 2 C. y ? 3 ? x ? 1?2 ? 2 B. y ? 3 ? x ? 1?2 ? 2 D. y ? ?3 ? x ? 1?2 ? 2

2 例 3.抛物线 y= x ? 2mx ? m ? 2 的顶点在第三象限,试确定 m 的取值范围是()

A.m<-1 或 m>2

B.m<0 或 m>-1

C.-1<m<0

D.m<-1

例 4.已知二次函数 f ? x ? 同时满足条件: (1) f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ; (2) f ? x ? 的最大值为 15; (3) f ? x ? ? 0 的两根立方和等于 17 求 f ? x ? 的解析式

二、二次函数在特定区间上的最值问题 例 5. 当 ?2 ? x ? 2 时,求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的最大值和最小值.

例 6.当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围.

例 7.当 t ? x ? t ? 1 时,求函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

三、幂函数 例 8.下列函数在 ? ??, 0 ? 上为减函数的是() A. y ? x 3
1

B. y ? x 2

C. y ? x3

D. y ? x ?2

例 9.下列幂函数中定义域为 ? x x ? 0? 的是() A. y ? x
2 3

B. y ? x
2 5

3 2

C. y ? x

?

2 3

D. y ? x

?

3 2

例 10.讨论函数 y= x 的定义域、 值域、 奇偶性、 单调性, 并画出图象的示意图.

2 4 例 10.已知函数 y= 15-2 x-x .

(1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间.

四、指数函数的运算
?2 2 例 11.计算 ? ?(?2) ? ? 的结果是() 1

A、 2 B、 C、— 2
4 4

1 2

D、—

1 2

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? ? ? ? ? ? ? ? 等于() 例 12. ?
A、 a
16

B、 a C、 a

8

4

D、 a
a ? 2b

2

例 13.若 3a ? 8,3b ? 5 ,则 3 3 五、指数函数的性质

=___________

x 例 14. M ? { y | y ? 2 }, P ? { y | y ? x ? 1} ,则 M∩P()

A. { y | y ? 1}

B. { y | y ? 1}

C. { y | y ? 0} D. { y | y ? 0}

例 15.求下列函数的定义域与值域:

(1) y ? 2 x ?4 (2) y ? ( )| x|

4

2 3

例 16.函数 y ? a x ?2 ? 3 A.(0,1)

? a ? 0且a ? 1? 的图像必经过点
C.(2,3) D.(2,4)

()

B.(1,1)

例 17 求函数 y=

2x ? 1 的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性. 2x ? 1

五、对数函数的运算
a 例 18.已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是()

A、 a ? 2

B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)

2

D、 3a ? a

2

例 19. 2log a ( M ? 2 N ) ? log a M ? log a N ,则
1 A、 B、4 C、1 D、4 或 1 4

M 的值为() N

例 20.已知 log 7 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x 2 等于()
1 1 1 1 A、 B、 C、 D、 3 2 3 2 2 3 3

?

1

例 21. log a 2 ? 1 ,则 a 的取值范围是() 3
? 2? ?2 ? ?2 ? A、 ? 0, ? ? ?1, ?? ? B、 ? , ?? ? C、 ? ,1? ? 3? ?3 ? ?3 ? ? 2? ?2 ? D、 ? 0, ? ? ? , ?? ? ? 3? ?3 ?

五、对数函数的性质

例 22.下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是() A、 y ? log 1 ( x ? 1) B、 y ? log 2 x 2 ? 1
2

C、 y ? log 2 1 D、 y ? log 1 ( x 2 ? 4 x ? 5) x 2
? 2 ? 例 23.函数 y ? lg ? ? 1? 的图像关于() ? 1? x ?

A、 x 轴对称 B、 y 轴对称 C、原点对称 D、直线 y ? x 对称 例 23.函数 f ( x) ? lg

?

x 2 ? 1 ? x 是(奇、偶)函数。

?

课下作业
1.已知二次函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的 ( )
y O A
2

y
1

y
1

y
1

x

O B

x

O C
2

x

O D

1

x

2.对抛物线 y= 2( x ? 2) -3 与 y=- 2( x ? 2) +4 的说法不正确的是() A.抛物线的形状相同 C.抛物线对称轴相同 B.抛物线的顶点相同 D.抛物线的开口方向相反

2 3. 二次函数 y= ? x ? 2 x ? 1图像的顶点在()

A.第一象限 四象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第

2 4. 如图所示,满足 a>0,b<0 的函数 y= ax ? bx 的图像是()

2 5.如果抛物线 y= x ? 6 x ? c 的顶点在 x 轴上,那么 c 的值为()

A.0

B.6

C.3

D .9

6.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是 ( )

b 7.在下列图象中,二次函数 y=ax2+bx+c 与函数 y=( a )x 的图象可能是 ()

8. 若函数 f(x)=(a-1)x2+(a2-1)x+1 是偶函数, 则在区间[0, +∞)上 f(x)是( A.减函数 B.增函数 C.常函数 D.可能是减函数,也可能是常函数

)

9.已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取 值范围是( ) A.[1,+∞) B.[0,2]C.[1,2] D.(-∞,2] 10、使 x2>x3 成立的 x 的取值范围是( ) A、x<1 且 x≠0 B、0<x<1

D、x<1 d 11、 若四个幂函数 y= x , y= x , y= x , y= x 在同一坐标系中的图象如右图, 则 a、 b、 c、 d 的大小关系是 ( ) A、d>c>b>a B、a>b>c>d C、d>c>a>b D、a>b>d>c
a b c

C、x>1

12.若幂函数

f ? x ? ? x m ?1

在(0,+∞)上是减函数,则 C. m =l
y ? xn ? n ? Q ?

(

) D.不能确定

A. m >1 13.若点 是
?a ? 0 ? ?b ? 0
2

B. m <1

A ? a, b ?

在幂函数

的图象上,那么下列结论中不能成立的
?a ? 0 ? ?b ? 0

A.

B.

?a ? 0 ? ?b ? 0

C.

?a ? 0 ? ?b ? 0

D.

14.若函数 f(x)=log 1 (x2-6x+5)在(a,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1] B.(3,+∞) C.(-∞,3) D.[5,+∞)

x 2 15、设集合 S ? { y | y ? 3 , x ? R}, T ? { y | y ? x ? 1, x ? R} ,则 S ? T 是()

A、 ? 16、函数 A、

B、 T
y ? 2 ? log 2 x( x ≥ 1)

C、 S 的值域为() C、
?1.5

D、有限集

? 2, ?? ?
y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9

B、
0.48

? ??, 2 ?

? 2, ?? ?

D、

?3, ?? ?

17、设 A、

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

,则() C、
y1 ? y3 ? y2

y3 ? y1 ? y2

B、

y2 ? y1 ? y3

D、

y1 ? y2 ? y3

18、在

b ? log ( a ?2) (5 ? a)

中,实数 a 的取值范围是()

a ? 5或a ? 2 A、

2 ? a ? 3或3 ? a ? 5 B、

2?a?5 C、

3? a ? 4 D、

2 2 19、计算 (lg2) ? (lg5) ? 2lg2 ? lg5 等于()

A、0

B、1
log3 8 ? 2log3 6

C、2 用 a 表示是()
3a ? (1 ? a) 2 C、
2 2

D、3

20、已知 a ? log3 2 ,那么

5a ? 2 A、

B、a ? 2

3a ? a2 ?1 D、

21、已知幂函数 f(x)过点(2, A、
1 2

) ,则 f(4)的值为() C、2 D 、8

B、 1

二、填空题 1.抛物线 y=8x2-(m-1)x+m-7 的顶点在 x 轴上,则 m=________. 2.函数 y ? x
? 3 2

的定义域为___________.

f x ? m ? 2 ? x m ?1 3.设 ? ? ? , 如果 f ? x ? 是正比例函数, 则 m=____ ,如果 f ? x ? 是反比例

函数,则 m=______,如果 f(x)是幂函数,则 m=____. 4.若 ( x ? 1) 有意义,则 x ?___________. 5.当 3x ? 5 y 时, 25 y 2 ? 30 xy ? 9 x 2 ? ___________.
x x y 6.若 5 ? 5 ? 25 ,则 y 的最小值为___________.
2

?

1 4

7、若 log a 2 ? m, log a 3 ? n, a 2 m? n ? 。 8、函数 y ? log ( x-1) (3- x) 的定义域是。
lg 50 ? (lg 2)2 ? 。 9、 lg 25 ? lg 2?

10.不等式 6

x 2 ? x ?2

? 1 的解集是__________________________.
? 3?2 x 的解集是__________________________.

1? 11.不等式 ? ? ? ?3?

x2 ?8

x y x? y 12.若 10 ? 3,10 ? 4 ,则 10 ? __________________________.
3 , 则f [f ( )] 的值为 13、已知函数 f (x) ? ? 2x, (x ? 0) 9 ?

(x ? 0) ?log x,

1

14、函数 f ( x ) ? lg (3x ? 2) ? 2 恒过定点 三、简答题

1.求下列各式中的 x 的值
?1? (1)ln ( x ? 1) ? 1 ( 2)? ? ? 3?
1? x

?2?0

2、已知幂函数 f(x)= x (p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定 义域内是偶函数,求 p 的值,并写出相应的函数 f(x) 、

1 3 ? p2 ? p? 2 2

3.已知函数 f ( x 2 ? 3) ? lg (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性。

x2 , x2 ? 6

4.设 a ? R , f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R) ,试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。 x 2 ?1

5. 已知函数 f (x) ? log 1 [( ) x ? 1] ,
2

1 2

(1)求 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的增减性。


相关文章:
基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(全)_数学_高中教育_教育专区。一、一次函数一次 函数 k ,b k ? kx ? b ? k ? 0 ? k ?0 b?0 b?0 b?0 b?0 k ?0 b?0 b...
基本初等函数讲义
基本初等函数讲义_数学_高中教育_教育专区。长安教育中心教研室主编 长安教育中心基本初等函数复习 一、基础复习: 1、a 的次方根: 根式的性质: (1) (n a ) ...
高一数学基本初等函数学习讲义
高一数学基本初等函数学习讲义_数学_高中教育_教育专区。高一数学基本初等函数学习讲义题型一:判断两函数是否为同一个函数 [例 1] 试判断以下各组函数是否表示同一...
基本初等函数讲义
11我的讲义 基本初等函... 6页 1下载券 基本初等函数讲义(全) 暂无评价 17...基本初等函数讲义(一) (已启用)一、指数与对数的运算 要点精讲: 1、整数指数...
基本初等函数讲义
(四)对数函数的性质 图 a >1 0 < a <1 象 x = 1 y = loga x x ...11我的讲义 基本初等函... 6页 1下载券 基本初等函数讲义(全) 暂无评价 17...
基本初等函数(Ⅰ)讲义
基本初等函数(Ⅰ)讲义_数学_高中教育_教育专区。第二章 基本初等函数(Ⅰ) 必修 1 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算...
基本初等函数资料大全(超全)
= a 二、初等函数 二、初等函数⑴、基本初等函数:我们最常用的有五种基本初等函数,分别是:指数函数、对数函数、幂函数、 基本初等函数: 三角函数及反三角函数。...
函数讲义3-基本初等函数(2)
函数讲义3-基本初等函数(2)_数学_高中教育_教育专区。层层飞跃,挑战巅峰 指数与对数专讲指数函数函数名称 定义 x 指数函数 函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1...
4基本初等函数 讲义
41页 免费 基本初等函数(整理) 9页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
讲义一《集合逻辑和基本初等函数一》
则 (数 q 形结合) 三、基本初等函数(一) 1、函数的定义域 (1)若 f ( x ) 是整式,则定义域为全体实数; (2)若 f ( x ) 是分式,则定义域为使分母...
更多相关标签:
基本初等函数讲义 | 基本初等函数 | 基本初等函数测试题 | 6类基本初等函数 | 基本初等函数总结表格 | 基本初等函数图像 | 基本初等函数总结 | 基本初等函数知识点 |