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2016届《创新设计》数学一轮(文科)北师大版配套作业 2-1 函数及其表示


第1讲

函数及其表示

基础巩固题组 (建议用时:30 分钟)
一、选择题 1 . (2014· 广州调研 ) 若函数 y = f(x) 的定义域为 M = {x|- 2≤x≤2} ,值域为 N = {y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图像可能是 ( )

解析 答案

可以根据函数

的概念进行排除,使用筛选法得到答案. B ( )

3x2 2.(2014· 郑州模拟)函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 1-x ? 1 ? A.?-3,1? ? ? ? 1 1? C.?-3,3? ? ? ? 1 ? B.?-3,+∞? ? ? 1? ? D.?-∞,-3? ? ?

-1-

解析 答案

x<1, ? ? ?1-x>0, ? 1 ? - ,1?. 由? 得? 1 所以定义域为? ? 3 ? ?3x+1>0, ?x>-3, ? A ( )

3.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是 A.2x+1 解析 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7

∵g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1,

∴g(x)=2x-1. 答案 B )

x ?2 ,x<0, 4.(2015· 合肥检测)已知函数 f(x)=? 则 f(2 014)=( ?f(x-1)+1,x≥0,

A.2 014 解析 4 031 2 . 答案 D

4 029 B. 2

C.2 015

4 031 D. 2

f(2 014)=f(2 013)+1=…=f(0)+2 014=f(-1)+2 015=2-1+2 015=

5.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除 以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班 人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表 示为 ?x? A.y=?10? ? ? ?x+4? ? C.y=? ? 10 ? 解析 法一 若 x=57,则 y=6,排除 A,选 B. α+3? ?x+3? ? ?=?m+ ? 设 x=10m+α(0≤α≤9,m,α∈N),当 0≤α≤6 时,? 10 ? ? 10 ? ? ?x? =m=?10?, ? ? α+3? ?x+3? ? ?x? ?=?m+ ?=m+1=?10?+1,所以选 B. 当 6<α≤9 时,? 10 10 ? ? ? ? ? ? 法二 答案 B ?x+3? ? B.y=? ? 10 ? ?x+5? ? D.y=? ? 10 ? 取特殊值法,若 x=56,则 y=5,排除 C,D; ( )

-2-

二、填空题 6.下列集合 A 到集合 B 的对应 f 中: ①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数平方; ②A={0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数开方; ③A=Z,B=Q,f:A 中的数取倒数; ④A=R,B={正实数},f:A 中的数取绝对值, 是从集合 A 到集合 B 的函数的为________. 解析 其中②,由于 1 的开方数不唯一,因此 f 不是 A 到 B 的函数;其中③,A

中的元素 0 在 B 中没有对应元素; 其中④, A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素. 答案 ①

?1-x? 1-x2 ?= 7.已知 f ? 2,则 f(x)的解析式为________. ?1+x? 1+x 解析 令 t= 1-x 1-t ,由此得 x= (t≠-1), 1+x 1+t

?1-t?2 ? 1-? 2t ?1+t? 所以 f(t)= = 2, ?1-t?2 1+t ? 1+? ?1+t? 从而 f(x)的解析式为 f(x)= 答案 f(x)= 2x (x≠-1). 1+x2

2x (x≠-1) 1+x2
2+2ax-a

8.(2015· 武汉一模)若函数 f(x)= 2x ________. 解析 由题意知 2x
2+2ax-a

-1的定义域为 R,则 a 的取值范围是

-1≥0 恒成立.

∴x2+2ax-a≥0 恒成立, ∴Δ=4a2+4a≤0,∴-1≤a≤0. 答案 [-1,0]

-3-

三、解答题 9.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1.求函数 f(x)的解析式. 解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又 f(0)=0,

∴c=0,即 f(x)=ax2+bx.又 f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+(b+1)x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1, 1 a = ? ? 2, ?2a+b=b+1, 1 1 ∴? 解得? ∴f(x)=2x2+2x. 1 ?a+b=1, ? ?b=2. 10.根据如图所示的函数 y=f(x)的图像, 写出函数的解析式. 解 当-3≤x<-1 时,函数 y=f(x)的图像是一条线段

(右端点除外),设 f(x)=ax+b(a≠0),将点(-3,1),(- 3 7 1,-2)代入,可得 f(x)=-2x-2; 当-1≤x<1 时,同理可设 f(x)=cx+d(c≠0), 3 1 将点(-1,-2),(1,1)代入,可得 f(x)=2x-2; 当 1≤x<2 时,

f(x)=1. - x- ,-3≤x<-1, ? ?3 2 1 2 所以 f(x)=? 2x-2,-1≤x<1, ? ?1,1≤x<2. 3 7

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.设 f(x)=lg 2+x ? x? ?2? ,则 f ?2?+f ? x?的定义域为 ? ? ? ? 2-x B.(-4,-1)∪(1,4) ( )

A.(-4,0)∪(0,4)

-4-

C.(-2,-1)∪(1,2) 解析 2+x ∵ >0,∴-2<x<2, 2-x

D.(-4,-2)∪(2,4)

x 2 ∴-2<2<2 且-2<x <2, 2 取 x=1,则 x=2 不合题意(舍去), 故排除 A,取 x=2,满足题意,排除 C,D,故选 B. 答案 B


1 x ?3 ,x≤1, 12.(2014· 九江测试与评估)设函数 f(x)=? 则 ?1-log3x,x>1,

满足 f(x)≤3 的 x 的取值范围是 A.[0,+∞) C.[0,3] 解析 B.[-1,3] D.[1,+∞)

(

)

?x≤1, 依题意,不等式 f(x)≤3 等价于①? 1-x 或 ?3 ≤3

?x>1, ②? 解①得 0≤x≤1,解②得 x>1.因此,满足 f(x)≤3 的 x 的取值范 ?1-log3x≤3. 围是[0,1]∪(1,+∞)=[0,+∞). 答案 A 1 的值域是________. |x|+1 1 依题意,因为 |x|+1≥1,则 0< ≤1, |x|+1

13.(2015· 杭州质检)函数 f(x)=ln 解析 ln

1 ≤ln 1=0,即函数的值域是(-∞,0]. |x|+1 (-∞,0]

答案

14.某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地.在 B 地停留 1 h 后, 再以 50 km/h 的速度返回 A 地, 把汽车与 A 地的距离 x(km)表示 为时间 t(h)(从 A 地出发开始)的函数,并画出函数的图像.

-5-



? ? 5 7 x=?150,2<t≤2, 7 13 ? ?150-50???t-2???,7 2<t≤ 2 .

5 60t,0≤t≤2,

其图像如图所示.

-6-


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