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《二次函数--配方法第六课时


——配方法及其应用
红庙初中数学组

1 说出二次函数 y ? ?4( x ? 2) ? 1 图象的 开口方向,对称轴,顶点坐标,增减 性 2 它是由y=-4x2怎样平移得到的
2

1 的开口方向,对称轴,顶点坐标,增减性 2 不画图象,直接说出 y ? ?2x 2 ? 4x ?1

1 2 不

画图象,直接说出 y ? 2 x ? 2 x ? 3

的开口方向,对称轴,顶点坐标,增减性

函数y=ax?+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax?+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.

y ? ax2 ? bx ? c ? 2 b ? ? a? x ? x ? ? c a ? ?
2

? 2 b ? b ?2 ? ? b ?2 ? a? x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? a ? c ? a ? 2 a ? ? ? 2a ? ? ?

b ? 4ac ? b2 ? ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

例题讲解
例题1 用配方法把下列函数解析式化为 y ? a( x ? m) 2 ? k 的形式.

?1? 解:1? ?

y ? 2x 2 ? 4x ? 5 y ? 2x2 ? 4x ? 5

二次函数一般式的配方法: (1)“提”:提出二次项系数;

? 2 ? x ? 2x? ? 5
2 2

? 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 1? ? 5 ? 2[( x ? 1) ? 1] ? 5
2

(2)“配”:括号内配成完全平方; (3)“化”:化成顶点式。

? 2( x ? 1) 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? x ? 1? ? 3.
2

例题讲解
例题1 用配方法把下列函数解析式化为 y ? a( x ? m) 2 ? k 的形式. 1 2 ?2? y ? ? x ? 2 x ? 5 二次函数一般式的配方法: 3
(1)“提”:提出二次项系数;

?2?

(2)“配”:括号内配成完全平方; (3)“化”:化成顶点式。

1 2 y ? ? x ? 2x ? 5 3 1 2 ? ? ?x ? 6 x ? ? 5 3 1 2 ? ? ?x ? 6 x ? 9 ? 9? ? 5 3 1 2 ? ? ? x ? 3? ? 8. 3

例题讲解
例题2 指出下列函数的开口方向、对称轴 和顶点坐标:

?1?

y? x ? x
2

(2) y ? ? x ? 2 x
2

?3?

1 2 5 y ? x ? 3x ? 2 2

1 2 (4) y ? x ? 4x ? 3 2

?5?

y ? 1 ? 3x ? 3x

2

(6) y ? 3x ? 4 x ?1
2

例题讲解
y ? x 2 ? 4x ? 3 例题3 指出二次函数

的开口方向、对称轴和顶点坐标, 并画出这个函数的图像.
y ? x ? 4 x ? 3 ? ? x ? 2? ? 1
2 2

开口向上, 顶点?2, 1? ? 对称轴:直线 ? 2, x

描点法

例:指出抛物线: y ? ? x ? 5 x ? 4 的开口方向,求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
2

总结:1、“五点”: ①顶点坐标 ②与y轴的交点坐标

b ③与y轴的交点坐标关于对称轴的对称点 (? , c) a

④与x轴的交点坐标(有交点时),

这样就可以画出它的大致图象。

课堂小结
y ? ax 2 ? bx ?的图像画法, c 二次函数 一般分为三步: 1、利用配方法把二次函 y ? ax 2 ? bx ? c 数
2

“化”

改写成 y ? a ? x ? m ? ? k形式 ; “定” 2、确定抛物线的对称轴、顶点坐标及开口方向 ; 3、利用对称性描点画图 . “画”
(3

总结:1、“五点”:①顶点坐标 ②与y轴的交点坐标 ③与y轴的交点坐标关于对称轴的对称点 ④与x轴的交点坐标(有交点时), 这样就可以画出它的大致图象。

新知探索
根据右边已画好的函数图象回答问题: (1)抛物线 量X增大时,函数值y将怎样变化? 先减小,后增大. 当x ≤-2 时,y随着x的增大而减小 (2)抛物线
1 y ? ? x 2 ? x ? 2 ,当自变 4
1 y ? x2 ? 2x ?1 2
Y
5 4

,当自变

y?

3
2 1

1 2 x ? 2x ?1 2

直线x=2
1 2 3 4 5 X

-5 -4 -3 -2 -1 O -1

当x ≥-2 时,y随着x的增大而增大.
量X增大时,函数值y将怎样变化? 先增大,后减小. 当x ≤2 时,y随着x的增大而增大 当x ≥2 时,y随着x的增大而减小.

直线x=-2 -2
-3 -4 -5

1 y ? ? x2 ? x ? 2 4

思考:二次函数的增
减性由什么确定的?

新知探索
根据右边已画好的函数图象填空: (1)抛物线 顶点是图象的最 低 点。 该函数有没有最大值和最小值?
1 y ? x2 ? 2x ?1 2
Y
5 4 3 2 1



y?

1 2 x ? 2x ?1 2

-1 当x=____时,y有最___值=______ -2 小
(2)抛物线
1 y ? ? x2 ? x ? 2 4

-5 -4 -3 -2 -1 O -1
-2

1

2

3

4

5 X

的 点。

-3 -4 -5

顶点是图象的最 高

1 y ? ? x2 ? x ? 2 4

该函数有没有最大值和最小值?
-1 当x=____时,y有最___值=______ 2 大

思考:函数最大值或
最小值由什么确定的?

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

直线 x ? ?

b 2a

直线 x ? ?

b 2a

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

小试牛刀
1.指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:

?1?

1 2 y ? x ? 2x 2

?2?
?4?

y ? ?2 x 2 ? x ? 1
y ? 3? x ? 1?? x ? 2?

?3?

y ? ?1 ? x ?? x ? 2?

2. 抛物线 y ? ? 2 ? x ? 1?? x ? 5? 的对称轴是________, 与x轴的交点坐标是____________________, 顶点坐标为______________.

1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、 增减性和最值:

y ? 3 x ? 4 x ? 1 y ? ?2 x ? x ? 3
2
2

2. 物线y = 2x + bx + c的顶点坐标 抛 为(- 1,2),则b = ______,c= ______.

2

典例分析, 考点1,抛物线的顶点与对称轴的考察。 例:已知抛物线y=-x2+2x-2 (1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐 标 。 (2)选取适当的数据填入下表,并在图的直角坐标系内描 点画出该抛物线的图像; (3)若该抛物线上两点A(X1,y1),B(X2,y2)的横坐标满 足X1>x2>1,是比较Y1与y2的大小。

1

求下列抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴, 增减性,最值 2 2 (1) y ? x ? 2x ? 2 (2) y ? 2 x ? 8x (3) y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 8
抛物线如何 y ? ?2 x ? 4 x ? 5 平移得到
2

2

y ? ?2x

2

练习1、

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 -1 对称轴x=_____ y
(-1,-2) 顶点坐标:______ -1 -2 小 当x=_____时,y有最_____值是____

函数值y<0时,对应x的取值范围是 -3<x<1 _______ 函数值y>0时,对应x的取值范围是 x<-3或x>1 _______ 函数值y=0时,对应x的取值范围是 -3或1 _______
≥-1 当x_______时,y随x的增大而增大.

-3

o -2

1

x


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