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3.2.1二倍角公式


3.2.1二倍角公式
第一课时

一、二倍角公式推导 ?? sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?, , ? ? R?
当? ? ?时

?? cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?, , ? ? R?
当? ? ?时 cos 2?

? cos
tan? ? tan? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ?
2

sin 2? ? 2 sin ? cos ?,? ? R
2

? ? sin ?,? ? R

当? ? ?时

? ? ? , ?? , ? , ? ? ? ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

2 tan ? k? ? ? tan 2? ? ,? ? ? , 且? ? k? ? 2 1 ? tan ? 2 4 2

二倍角的正切公式还可 以如何推导?
sin 2? tan 2? ? cos 2? 2 sin ? cos ? ? 2 2 cos ? ? sin ? 2 tan ? ? 2 1 ? tan ?
分子分母同除以 2 ? cos

公式变形
1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )
cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos 2? ? 2 si n ? ?
1 ? cos 2? ? 2 cos2 ?
2

2

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 由平方关系sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

升幂降角

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2
2

?

降幂扩角

二、二倍角公式

公式变形

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2 2

1 - cos 2? ? 2 sin ?
2 2

cos 2? ? cos ? ? sin ? 1 ? cos 2? ? 2 cos ? 2 cos 2? ? 1 - 2 sin ? 1 ? cos 2? 2 2 cos 2? ? 2cos ? - 1 sin ? ?
2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?
2 1 ? cos 2? 2 cos ? ? 2

注意:
①二倍角公式是用单角的三角函数来表达二倍角的 三角函数,是二倍角与单角的三角函数之间的互化。

②要理解“二倍角”的含义。二倍角是相对的,如
2α是α的二倍,4α是2α的两倍,α/2是α/4的两倍,即当 α=2β时,α就是β的二倍角。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角 相等时推导出来的,记忆时可联想相应公式。

公式识记

口答下列各式的值:
0 0 2

? 2 ? (1)sin 22.5 cos 22.5 ; (2) cos ? sin ; 8 8
2 tan150 (3) ; 2 0 1 ? tan 15 (4)1 ? 2sin 2 750.

三、典型例题
例1 5 ?? ? 1、已知 sin ? ? ,? ? ? , ? ?,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? . 13 ?2 ? 5 ?? ? 解: sin ? ? ,? ? ? , ? ? ? 13 ?2 ? 12 ? cos ? ? ? 13 120 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 169
119 cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 169
2

sin 2? 120 tan 2? ? ?? . cos 2? 119

2、化简: (1)sin 50? (1 ? 3 tan10? )

切化弦

cos10? ? 3 sin10? ? sin 50? ? cos10? 2sin 40? ? sin 50? ? cos10? 2sin 40? ? cos 40? ? cos10? sin 80? ?1 ? ? cos10

(2)(sin ? ? cos ? )2

例2

? ? ? ? (1) (5)8sin cos cos cos 48 48 24 12

? 5? (5)、 (2)cos cos 12 12

3 3 2 3 1 ? tan ? ? ? ? 1 ? tan? ? 1 ? tan ? ? 4 2 2sin( ? ? ? ))sin(? ? ? )) 2 cos 4 ? (3)(2)sin (3) (4) ?(4)cos( ? ? ? cos ? cos( ? (2) (3) (1) (4) sin( 3 3 2 2 3 4 4 4 4 4 tan ? tan ? tan ? 2 2 2 23 1 ? tan ? ? ? 2 ? ? (3) (4) (4) cos36 ? ? ) (6)、sin( 4cos 72cos(? ? 4 ) 3 tan ?
22

练习

2

例3

化简

(1) 1 ? sin 40? ; (2) 1 ? sin 40? ; (3) 1 ? cos 20? ; (4) 1 ? cos 20?

例4

sin 2? ? sin ? ? tan ? 证明恒等式: 2 2cos 2? ? 2sin ? ? cos?

2sin ? cos? ? sin ? 证明:左边= 2(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 2sin 2 ? ? cos?

sin ? (2cos? ? 1) ? cos? (2cos ? ? 1)

化倍角为单角

? tan ? =右边
? 原式成立 .

1 ? sin 2? ? cos 2? 求证: ? tan? 1 ? sin 2? ? cos 2? 1 - cos 2? ? sin 2? 证明:左边 ? 1 ? cos 2? ? sin 2?

练习

2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 2 cos2 ? ? 2 sin ? cos?
2 si n? (cos? ? si n? ) ? 2 cos? (cos? ? si n? )

sin? ? ? tan? ? 右边 cos? ? 原式成立 .

四、小结
1、二倍角正弦、余弦、正切公式 sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ? R cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? R 2 tan? k? ? ,且 ? k? ? ? ?,? Z ? tan 2? ? k ? ?? ? 2 1 ? tan ? 2 2 4 2、注意正用 、逆用、变形

cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos 2? cos ? ? 2
2

1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

五、恒等变换的重要应用
例1.求函数 y ? sin x ? 2 sinx cos x ? 3 cos x 的周期,最大值和最小值.
2 2

分析:解析式化简到怎 样的形式可解决问题?

y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin x cos x
2 2

? 1 ? 2 cos x ? 2 sin x cos x ? 1 ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x
2

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 4? ?

巩固练习
1.设函数y ? a sin x ? b?a, b为常数?的最大值为, 1 最小值为- 7,则a cos x ? b sin x的最小值为
2.函数f ?x? ? 3sin x cos x ? 4 cos2 x的最大值为
? ? ?? 3.函数f ?x ? ? cos x ? sin x, x ? ? ? , ?的最小值为 ? 4 4?
2

1 2 3 1 4.已知函数y ? sin x ? sin x cos x ? , 求它的 2 2 4 单调增区间。

? 例2. 已知OPQ是半径为1,圆心角为 3 的扇

形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接 矩形.记∠COP= ? ,求当角 ? 取何值时,矩形 ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.
Q D C

?
O A

B P

巩固练习 1.已知函数 y ? 2 sin 2 x,求它的周期及最小值.
2

2.求函数 y ? 3 cos2 x ? 2 sinx cos x 的单调递减区间. 3.已知: a ? (2 sin x, cos x) b ? ( 定义函数 f (x) ? a ? b ?1
3 cos x,2 sin x)



求:(1)函数 f (x) 的最小正周期 , (2)函数 f (x) 取得最大值时所有 x 值的集合
? ?? x ? ?0, ? (3)若 ? 2 ?

,求函数 f (x) 的值域。


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