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函数的性质单调性


函数的性质----单调性
知能要点:
1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

1 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ 2、从上面的观察分析,能得出什么结论? 不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图 象的这种变化规律就是函数的单调性。 3、增减函数的概念 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数;同理减 函数相反,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)。
*注意:① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;

②必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2). 4、函数的单调性 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 5、判断函数单调性 (1)根据图像判断函数的单调性(增或减函数) : e.g:如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以 及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

(2)利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性:
① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;

1

② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 6、复合函数的单调性:复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 具有单调性的规律见下表:

y ? f (u )

增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘

减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗

u ? g ( x)
y ? f ( g ( x))

以上规律还可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增异减” 。

知能训练
1. 下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. ) D.

y? x

B.

y ? 3? x

C. )

y?

1 x

y ? ?x 2 ? 4

2.函数 y ? ?

1 的单调区间是( x

A. (- ? ,+ ? ) C.(- ? ,1) 、 (1, ? )

B.(- ? ,0) (1, ? , ) D. (- ? ,1) (1, ? ) )

3. 下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(

A. y ? ?3x ? 2

B. y ?

3 x

C. y ? x ? 4x ? 5
2

D. y ? 3x ? 8x ?10
2

4.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的增区间是( )。

A.[-3,-1]

B.[-1,1]

C. ?1 ? a ? ?

1 (??, ?3) 3

D. (?1, ?)

5.判断一次函数 y ? kx ? b, 反比例函数 y ?

k 2 ,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的单调性. x

2

6.证明函数 f ( x) ? x ?

2 在 ( 2 ,??) 上是增函数. x
设元 求差

解析: 证明:任取 x1 , x2 ? ( 2,??),且x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

2 2 ) ? ( x2 ? ) x1 x2 2 2 ? ) x1 x2

? ( x1 ? x2 ) ? (

变形

? ( x1 ? x2 ) ?

2( x2 ? x1 ) x1 x2
2 ) x1 x2

? ( x1 ? x2 )(1 ?

? ( x1 ? x2 )

x1 x2 ? 2 , x1 x2
断号

? 2 ? x1 ? x2 ,
∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2, ∴函数 f ( x) ? x ?

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 定论

2 在 ( 2 ,??) 上是增函数. x

7.函数 f(x)对任意的实数 m、n 有 f(m+n)=f(m)+f(n),且当 x>0 时有 f(x)>0,证明 f(x)在 (-∞,+∞)上为增函数。

8.已知函数 f ( x ) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) ,证明 f ( x) 在 (?1,??) 上是增函数。 x ?1

3


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