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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学9-2


基础巩固强化 一、选择题 1.(文)(2013· 湖南)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积 为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2的矩形,则该正方体的正视 图的面积等于( 3 A. 2 C. 2+1 2 ) B.1 D. 2

[答案] D [解析] 由棱长为 1 的正方体的俯视图及侧视图的面积可知正方 体的一条侧棱正对正前方,其三视图如下:

/>
故正视图是长为 2,宽为 1 的矩形,其面积为 2,选 D. (理)(2012· 北京朝阳二模)有一个棱长为 1 的正方体,按任意方向 正投影,其投影面积的最大值是( A.1 C. 2 ) 3 2 B. 2 D. 3

[答案] D [解析] 如图 1 所示是棱长为 1 的正方体.

当投影线与平面 A1BC1 垂直时, 平面 ACD1∥平面 A1BC1, ∴此时正方体的正投影为一个正六边形,如图 2,设其边长为 a, 则在△ABC 中,AB=BC=a,∠ABC=120° , 6 ∴ 3a= 2,∴a= 3 , 3 6 ∴投影面的面积为 6× 4 ×( 3 )2= 3, 此时投影面积最大,故选 D. 2.(文)

(2013· 云南玉溪一中月考)已知某几何体的俯视图是如图所示的 边长为 2 的正方形,正视图与侧视图是边长为 2 的正三角形,则其表 面积是( )

A.8 C.4(1+ 3) [答案] B

B.12 D.4 3

[解析] 由题意知,该几何体为正四棱锥,底面边长为 2,侧面 1 斜高为 2,所以底面面积为 2×2=4,侧面积为 4×(2×2×2)=8,所 以表面积为 4+8=12. (理)(2013· 石嘴山市调研)一个几何体的三视图如图所示,则这个 几何体的体积是( )

A.4 C.8 [答案] A

B.6 D.12

[解析] 由三视图可知,此几何体为高是 2,底面为直角梯形的 四棱锥,且直角梯形上、下底的长分别为 2、4,高为 2,故这个几何 1 1 体的体积为 V=3×[2×(2+4)×2]×2=4,故选 A. π π 3.若圆锥轴截面的顶角 θ 满足3<θ<2,则其侧面展开图中心角 α 满足( ) π π B.3<α<2

π π A.4<α<3

π C.2<α<π [答案] D
?π π? [解析] ∵θ∈?3,2? ? ?

D.π<α< 2π

θ ?π π? ∴2∈?6,4?, ? ?

θ ?1 r θ ?1 2? 2? ∴sin2∈? , ?,又 l =sin2∈? , ?, 2? 2? ?2 ?2 r ∴其侧面展开图中心角 α= l ·2π∈(π, 2π). 4.如图是某几何体的三视图,其中正(主)视图是斜边长为 2a 的 直角三角形,侧(左)视图是半径为 a 的半圆,则该几何体的体积是 ( )

3 A. 6 πa3 3 C. 4 πa3 [答案] A

B. 3πa3 D.2 3πa3

[解析]

由侧(左)视图半圆可知,该几何体与圆柱、圆锥、球有

关,结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开 的半个圆锥将剖面放置在桌面上如图, 由条件知,圆锥的母线长为 2a,底面半径为 a, 故高 h= ?2a?2-a2= 3a,
? 1 ?1 3 体积 V=2×?3×πa2× 3a?= 6 πa3. ? ?

5. (文)侧棱长为 4, 底面边长为 3的正三棱柱的各顶点均在同一 个球面上,则该球的表面积为( A.76π C.20π [答案] C [解析] 设球心为 O′,如图,球半径 R= OO′2+OC2 = 4+1= 5, ) B.68π D.9π

∴S 球=4π·R2=20π. (理)(2013· 安徽六校教研会联考)四棱锥 P-ABCD 的五个顶点都 在一个球面上,该四棱锥的三视图如图所示,E,F 分别是棱 AB,CD 的中点,直线 EF 被球面截得的线段长为 2 2,则该球的表面积为 ( )

A.9π C.2 2π [答案] D

B.3π D.12π

[解析] 该几何体的直观图如图所示,

该几何体可看作由正方体截得的,则正方体外接球的直径即为 PC.由直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2,可知正方形 ABCD 的 对角线 AC 的长为 2 2, 可得 a=2, 在△PAC 中, PC= 22+?2 2?2= 2 3, ∴球的半径 R= 3,∴S 表=4πR2=4π×( 3)2=12π.

6.(文)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切, 32π 已知这个球的体积为 3 ,那么这个三棱柱的体积是( A.96 3 C.24 3 [答案] B [解析] 已知正三棱柱的高为球的直径,底面正三角形的内切圆 等于球的大圆.设底面正三角形的边长为 a,球的半径为 R,则 a= 4 32π 3 2 3R,又3πR3= 3 ,∴R=2,a=4 3,于是 V= 4 a2· 2R=48 3. (理)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60° , E 为 AB 的中点, 将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、 EC 向上折起, 使 A、 B 重合于点 P,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为( ) B.48 3 D.16 3 )

4 3π A. 27 6π C. 8 [答案] C

6π B. 2 6π D. 24

[解析] 根据题意折叠后的三棱锥 P-DCE 为正四面体,且棱长 2 为 1,以此正四面体来构造正方体,则此正方体的棱长为 2 ,故正方 6 体的体对角线的长为 2 ,且正方体的外接球也为此正四面体的外接

6 球,∴外接球的半径为 4 , 4 4 ? 6? 6π ∴V 球=3πr3=3π? ?3= 8 ,选 C. ?4 ? 二、填空题 7.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表 面积是________cm3.

[答案] 112+24 13 [解析] 由三视图知,该几何体是一个正四棱台和一个正四棱柱 的组合体,四棱台下底面边长为 8,上底面边长为 4,高为 3,故棱 台的斜高 h′= 32+?4-2?2= 13.上面正四棱柱底面边长为 4, 高为 2,则表面积为 1 S = 4×4 + 4×(4×2) + 8×8 + 4×[ 2 ×(4 + 8)× 13 ] = 112 + 24 13(cm3). 8.

如图所示,在△ABC 中,∠C=90° ,∠A=30° ,BC=1.在三角 形内挖去半圆(圆心 O 在边 AC 上,半圆分别与 BC、AB 相切于点 C、 M,与 AC 交于点 N),则图中阴影部分绕直线 AC 旋转一周所得旋转 体的体积为______. [答案] 5 3π 27

[解析] 阴影部分绕 AC 旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个 1 3 4π ? 3? 4 3π 球, 圆锥的体积 V=3π×12× 3= 3 π, 球体积 V1= 3 ×? ?3= 27 , ? 3? 3π 4 3π 5 3π 故所求体积为 3 - 27 = 27 . 9.侧棱长为 2 3的正三棱锥 V-ABC 中,∠AVB=∠BVC=∠ CVA = 40° ,过点 A 作截面 AEF ,则截面△ AEF 周长的最小值为 ________. [答案] 6 [解析] 沿侧棱 VA 剪开,侧面展开如图,线段 AA1 的长为所求 △AEF 周长的最小值,取 AA1 中点 D,则 VD⊥AA1,∠AVD=60° , ∴AA1=2AD=6.

三、解答题 10.(文)(2012· 新课标全国文,19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 1 中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90° ,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的 中点.

(1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

[分析] (1)证两个平面垂直,可转化为在其中一个平面内找到一 条直线与另一个平面垂直; (2)平面 BDC1 分棱柱成两部分,下面部分 B-ADC1C 为四棱锥,

可直接求体积,上面部分可用间接法求得体积,从而确定两部分体积 之比. [解析] (1)证明:由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1?平面 ACC1A1,所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45° , 所以∠CDC1=90° ,即 DC1⊥DC. 又 DC∩BC=C,所以 DC1⊥平面 BDC. 又 DC1?平面 BDC1,故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1,AC=1. 1 1+2 1 由题意得,V1=3× 2 ×1×1=2. 又三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=1,所以(V-V1 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 [点评] 本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法.求解几 何体的体积时,若遇不规则的几何体时,经常采用割补法和间接法求 其体积. (理)如图,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB∥DC,∠ABC=45° ,DC=1,AB=2,PA⊥平面 ABCD,PA=1. V1=

(1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M-ACD 的体积. [证明] (1)由已知底面 ABCD 是直角梯形,AB∥DC, 又 AB?平面 PCD,CD?平面 PCD, ∴AB∥平面 PCD. (2)在直角梯形 ABCD 中, 过 C 作 CE⊥AB 于点 E, 则四边形 ADCE 为矩形, ∴AE=DC=1 又 AB=2,∴BE=1, 在 Rt△BEC 中,∠ABC=45° , ∴CE=BE=1,CB= 2,∴AD=CE=1, 则 AC= AD2+CD2= 2,AC2+BC2=AB2, ∴BC⊥AC. 又 PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC, 又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. (3)∵M 是 PC 中点, ∴M 到平面 ADC 的距离是 P 到平面 ADC 距离的一半.

1 1 1 1 1 1 ∴VM-ACD=3S△ACD· (2PA)=3×(2×1×1)×2=12. 能力拓展提升 一、选择题 11.(2013· 河北教学质量监测)已知正六棱柱的 12 个顶点都在一 个半径为 3 的球面上,当正六棱柱的底面边长为 6时,其高的值为 ( ) A.3 3 C.2 6 [答案] D [解析] 2 3. 12.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2.动点 E、F 在棱 A1B1 上,点 Q 是棱 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上.若 EF=1,DP =x,A1E=y(x,y 大于零),则三棱锥 P-EFQ 的体积( ) h2 设正六棱柱的高为 h,则可得( 6) + 4 =32,解得 h=
2

B. 3 D.2 3

A.与 x、y 都有关 B.与 x、y 都无关 C.与 x 有关,与 y 无关 D.与 y 有关,与 x 无关 [答案] C

1 [解析] 设 P 到平面 EFQ 的距离为 h,则 VP-EFQ=3×S△EFQ· h, 由于 Q 为 CD 的中点,∴点 Q 到直线 EF 的距离为定值 2,又 EF= 1, ∴S△EFQ 为定值, 而 P 点到平面 EFQ 的距离, 即 P 点到平面 A1B1CD 的距离,显然与 x 有关与 y 无关,故选 C. 13.(2013· 天津新华中学月考)如图是一个几何体的正视图、侧视 图、俯视图,则该几何体的体积是( )

A.24 C.8 [答案] B

B.12 D.4

[解析] 由三视图可知,该几何体由两个相同的直三棱柱构成, 3 三棱柱的高为 4, 三棱柱的底面为直角三角形, 两直角边分别为 2, 2, 1 3 3 3 所以三棱柱的底面积为2×2×2=2,所以三棱柱的体积为2×4=6.即 该几何体的体积为 2×6=12.故选 B. 二、填空题 14. (2013· 山西诊断)已知三棱锥 P-ABC 的各顶点均在一个半径 AC 为 R 的球面上,球心 O 在 AB 上,PO⊥平面 ABC,BC= 3,则三棱

锥与球的体积之比为________. [答案] [解析] 3 8π

AC 如图, 依题意, AB=2R, 又BC= 3, ∠ACB=90° , 因此 AC= 3 1 1 1 3 R,BC=R,VP-ABC=3PO· S△ABC=3×R×(2× 3R×R)= 6 R3.而 V 4π 3 4π = 3 R3,因此 VP-ABC V 球= 6 R3 3 R3= 3 15.(文)(2013· 杭州二模)已知正三棱柱 ABC-A′B′C′的正视 图和侧视图如图所示. 设△ABC, △A′B′C′的中心分别是 O, O′, 现将此三棱柱绕直线 OO′旋转,在旋转过程中对应的俯视图的面积 为 S,则 S 的最大值为________.


[答案] 8 [解析] 据正视图与侧视图知,该三棱柱的初始状态是水平放置 的,直观图如图所示.

据所给的数据知,底面正三角形的高是 3,∴底面边长是 2.将 三棱柱绕 OO′旋转时,俯视图是矩形,该矩形的一组对边的长度保 持不变(长度为 4),另一组对边长度不断变化,在底投影面上的投影 的长度的最大值为 2,∴S 的最大值为 4×2=8. (理)已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面为直角三角形, ∠ACB =90° ,AC=6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点,如图所示,则 CP+PA1 的最小值为________.

[答案] 5 2 [解析] PA1 在平面 A1BC1 内,PC 在平面 BCC1 内,将其铺平后 转化为平面上的问题解决.计算 A1B=AB1= 40,BC1=2,又 A1C1 =6,故△A1BC1 是∠A1C1B=90° 的直角三角形.铺平平面 A1BC1、平 面 BCC1,如图所示.

CP+PA1≥A1C.在△AC1C 中,由余弦定理得,

A1C= 62+? 2?2-2· 6· 2· cos135° =5 2,故(CP+PA1)min=5 2. [点评] 多面体或旋转体表面上两点的最短距离问题,一般选择 恰当的棱或母线剪开展平,转化为平面上两点间线段最短问题解决. 三、解答题 16.(文)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB, AB=4, AD=CD=2, 将△ADC 沿 AC 折起, 使平面 ADC⊥平面 ABC, 得到几何体 D-ABC,如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积. [解析] (1)证明:由条件可得 AC=BC=2 2, 从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC. 又平面 ADC⊥平面 ABC, 平面 ADC∩平面 ABC=AC, BC?平面 ABC,∴BC⊥平面 ACD. (2)由(1)可知 BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2, 1 1 4 2 ∴VB-ACD=3S△ACD· BC=3×2×2 2= 3 , 4 2 ∴几何体 D-ABC 的体积为 3 . (理)(2013· 新课标Ⅱ)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分

别是 AB,BB1 的中点.

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C-A1DE 的体积. [解析] (1)证明:如图,连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点,又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF,

因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD.由已知 AC=

CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB.又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平 面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得, ∠ACB=90° ,CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3, 故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D 1 1 所以 VC-A1DE=3×(2× 6× 3)× 2=1.

考纲要求 了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式. 补充说明 1.棱锥的平行于底面的截面性质:棱锥被平行于底面的平面所 截,截面与底面相似,相似比等于截得小棱锥与原棱锥的对应边(侧 棱、高)的比.面积比等于相似比的平方,若棱锥为正棱锥,则两底 面对应半径的比、对应边的比、对应边心距的比、斜高的比都等于相 似比. 2.空间几何体的表面积、侧面积计算一般都可以转化为平面图 形的面积计算;将圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转 化为平面几何问题处理的重要手段之一;关于球的问题中的计算,常 选取球的一个大圆,化“球”为“圆”,应用平面几何的有关知识解 决. 3.根据几何体的结构特征判断几何体的类型,首先应熟练掌握 各类几何体的概念和性质,其次要有一定的空间想象能力. 4.转化思想

立体几何处理问题的一个基本思想就是转化, 包括复杂向简单转 化,高维向低维降维转化等等,割补法、等积变换、卷、折、展都是 转化思想在处理立体几何问题中的体现. (1)割补法 割补法是割法与补法的总称.补法是把不熟悉的(或复杂的)几何 体延伸或补成熟悉的(或简单的)几何体,把不完整的图形补成完整的 图形.割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体. (2)等积变换 在求几何体的体积、高(点到面的距离)等问题时,常常要通过等 积变换来处理,等积变换的主要依据有: ①平行线间距离处处相等. ②平行平面间的距离处处相等. ③若 l∥α,则 l 上任一点到平面 α 的距离都相等. ④等底面积等高的柱(锥)体的体积相等,锥体的体积是等底面积 1 等高的柱体体积的3. ⑤三棱锥 A-BCD 中,有 VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC. (3)卷起、展开与折叠 ①将平面图形卷成旋转体(或将旋转体侧面展开)、将平面图形折 成多面体,要注意折(卷、展)前后几何量的对应关系和位置关系,弄 清哪些量发生了什么变化,哪些量没有变化,特别注意其中的平行、 垂直位置关系. ②多面体或旋转体的表面距离最值问题,常通过展开图来解决. (4)对于某些简单几何体的组合体问题,常常通过作出截面,使 构成组合体的各简单几何体的元素,相对地集中在一个平面图形中, 以达到空间问题向平面问题的转化.

备选习题 1.已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB ⊥BC,SA=AB=1,BC= 2,则球 O 的表面积等于( A.4π C.2π [答案] A [解析] B.3π D.π )

∵AB⊥BC,∴AC 为截面圆的直径, ∴AC 中点为截面圆的圆心. 设 D 为 AC 中点,连 OD,则 OD⊥平面 ABC, ∵SA⊥平面 ABC, ∴SA∥OD. 连 SC,则 SC= SA2+AC2= 12+? 3?2=2. 又 SB= 2,BC= 2,∵SC2=SB2+BC2, ∴∠SBC=90° ,∵∠SAC=90° ,∴SC 为球 O 的直径, ∵2R=2,故 R=1,∴S 球=4πR2=4π,选 A. 2.

(2013· 东北三省四市诊断)如图所示是一个几何体的三视图, 其侧 视图是一个边长为 a 的等边三角形, 俯视图是两个正三角形拼成的菱 形,则该几何体的体积为( A.a a3 C. 3 [答案] D [解析] 该几何体由两个全等的三棱锥组合而成的,三棱锥的底 面是边长为 a 的等边三角形,一条侧棱与底面垂直,且这条与底面垂 3 1 3 3 直的侧棱长为 2 a,所以该几何体的体积为 V=2×(3× 4 a2× 2 a) a3 =4. 3.(2013· 辽宁五校联考)已知三边长分别为 3、4、5 的△ABC 的 外接圆恰好是球 O 的一个大圆,P 为球面上一点,若点 P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥 P-ABC 的体积为( A.5 C.20 [答案] A [解析] 由题意得三角形 ABC 为直角三角形,其外接圆的直径 2R=5, 设 P 在平面 ABC 上的射影为 G, ∵P 到三个顶点的距离相等, ∴GA=GB=GC,∴G 为△ABC 的外心,∴G 与球心 O(即 AB 的中 1 1 1 点 )重合,∴ OP⊥平面 ABC,故所求的体积 V=3S △ ABC×R=3 ×( 2 5 ×3×4)×2=5. 4.侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.已知直三棱柱 ABC - B.10 D.30 )
3

) a3 B. 2 a3 D. 4

A1B1C1 的各顶点都在球 O 的球面上,且 AB=AC=1,BC= 3,若球 20 5 O 的体积为 3 π,则这个直三棱柱的体积等于( A.1 C.2 [答案] D 4πR3 20 5π [解析] 设球 O 的半径为 R,则 3 = 3 ,∴R= 5,设△ ABC 外接圆半径为 r,BC 边上的高为 h,则 h= 3 -r)2+( 2 )2=r2, H ∴r=1;设棱柱的高为 H,则 R2=r2+( 2 )2, 1 1 ∴H=4,∴V 棱柱=2× 3×2×4= 3. 3 1 12-? 2 ?2=2,(h B. 2 D. 3 )


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