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高中数学经典例题


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典型例题一
例 1 下列图形中,满足唯一性的是( ) . A.过直线外一点作与该直线垂直的直线 B.过直线外一点与该直线平行的平面 C.过平

面外一点与平面平行的直线 D.过一点作已知平面的垂线 分析:本题考查的是空间线线关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要 注意空间垂直并非一定相关. 解:A.过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线 可以作无数条.事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面. B.过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和 该直线平行. C.过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与 平面平行的直线应有无数条. D.过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设空间点 A 、平面 ? ,过点 A 有两条 直线 AB 、 AC 都垂直于 ? ,由于 AB 、 AC 为相交直线,不妨设 AB 、 AC 所确定的平面为

? , ? 与 ? 的交线为 l ,则必有 AB ? l , AC ? l ,又由于 AB 、 AC 、 l 都在平面 ? 内,
这样在 ? 内经过 A 点就有两条直线和直线 l 垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线 与已知直线垂直相矛盾. 故选 D. 说明:有关“唯一性”结论的问题,常用反证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命 题来证明.在本书中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作已知直线的 垂面也是有且仅有一个.它们都是“唯一性”命题,在空间作图题中常常用到.

典型例题二
例 2 已知下列命题: (1) 若一直线垂直于一个平面的一条斜线, 则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影; (2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行; (3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直; (4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则 这两条直线在这个平面上的射影互相垂直. 上述命题正确的是( ) . A. (1)(2) 、 B. 、 (2)(3) C. 、 (3)(4) D. 、 (2)(4) 分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平 面内”这一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形. 解: (1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系;

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(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它 们之间也平行; (3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线 垂直; (4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性. 故选 D. 说明: 中若一直线与另一直线的射影垂直, (3) 则有另一直线必与这一直线的射影垂直. 如 在正方体 ABCD? A1 B1C1D1 中, E、F 分别为棱 AA1 和 BB1 上的点, G 为棱 BC 上的点,且

EF ? BB1 , FC1 ? EG ,求 ?D1 FG .

典型例题三
例 3 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,O 是底面正方形 ABCD 的 中心,求证: OE ? 平面 ACD1 . 分析:本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法,要证明 OE ? 平面

ACD1 ,只要在平面 ACD1 内找两条相交直线与 OE 垂直.
证明:连结 B1 D 、 A1 D 、 BD ,在△ B1 BD 中, ∵ E、O 分别是 B1B 和 DB 的中点, ∴ EO // B1D . ∵ B1 A1 ? 面 AA1 D1 D , ∴ DA1 为 DB1 在面 AA1 D1 D 内的射影. 又∵ AD1 ? A1 D , ∴ AD1 ? DB1 . 同理可证, B1 D ? D1C . 又∵ AD1 ? CD1 ? D1 , AD1 、 D1C ? 面 ACD1 , ∴ B1 D ? 平面 ACD1 . ∵ B1D // EO ,
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∴ EO ? 平面 ACD1 . 另证:连结 AE、CE , D1O ,设正方体 DB1 的棱长为 a ,易证 AE ? CE . 又∵ AO ? OC , ∴ OE ? AC . 在正方体 DB1 中易求出:

? 2 ? 6 ? D1O ? DD ? DO ? a ? ? ? 2 a? ? 2 a , ? ?
2 1 2 2 2 3 ?a? ? 2 ? ? OE ? BE ? OB ? ? ? ? ? ? 2 a? ? 2 a , ? 2? ? ? 2 2 2

2

D1 E ? D1 B12 ? B1 E 2 ?
∵ D1O ? OE ? D1 E ,
2 2 2

? 2a ? ? ? a ? ? ? 2
2

2

? ?

?

3 a. 2

∴ D1O ? OE . ∵ D1O ? AC ? O , D1O 、 AC ? 平面 ACD1 , ∴ OE ? 平面 ACD1 . 说明:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在 证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找 垂直,即勾股定理或余弦定理的应用.

典型例题四
例 4 如图,在△ ABC 中, ?B ? 90 , SA ? 平面 ABC ,点 A 在 SB 和 SC 上的射影分
?

别为 M、N ,求证: MN ? SC . 分析: 本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理, 以及线线垂直和线面垂直相互转化思 想. 欲证 SC ? MN , 可证 SC ? 面 AMN , 为此须证 SC ? AN , 进而可转化为证明 AN ? 平 面 SBC ,而已知 AN ? SB ,所以只要证 AN ? BC 即可.由于图中线线垂直、线面垂直关 系较多, 所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂 直. 证明:∵ SA ? 面 ABC , BC ? 平面 ABC ,

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∴ SA ? BC . ∵ ?B ? 90 ,即 AB ? BC , BA ? SA ? A ,
?

∴ BC ? 平面 SAB . ∵ AN ? 平面 SAB . ∴ BC ? AN . 又∵ AN ? SB , SB ? BC ? B , ∴ AN ? 平面 SBC . ∵ SC ? 平面 SBC , ∴ AN ? SC , 又∵ AM ? SC , AM ? AN ? A , ∴ SC ? 平面 AMN . ∵ MN ? 平面 AMN . ∴ SC ? MN . 另证:由上面可证 AN ? 平面 SBC . ∴ MN 为 AM 在平面 SBC 内的射影. ∵ AM ? SC , ∴ MN ? SC . 说明:在上面的证题过程中我们可以看出,证明线线垂直常转化为证明线面垂直,而证 明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现 的.本题若改为下题,想想如何证:已知 SA ? ⊙ O 所在平面, AB 为⊙ O 的直径,C 为⊙ O 上任意一点( C 与 A、B 不重合) .过点 A 作 SB 的垂面交 SB 、 SC 于点 M、N ,求证: AN ? SC .

典型例题五
例 5 如图, AB 为平面 ? 的斜线, B 为斜足, AH 垂直平面 ? 于 H 点, BC 为平面 ? 内 的直线, ?ABH ? ? , ?HBC ? ? , ?ABC ? ? ,求证: cos ? ? cos? ? cos? . 分析:本题考查的是线面角的定义和计算.要证明三个 角余弦值之间关系,可考虑构造直角三角形,在直角三角形 中求出三个角的余弦值,再代入验证证明,其中构造直角三 角形则需要用三垂线定理或逆定理. 证明:过 H 点作 HD 垂直 BC 于 D 点,连 AD . ∵ AH ? ? , ∴ AD 在平面 ? 内射影为 HD . ∵ BC ? HD , BC ? ? , ∴ BC ? AD . 在 Rt △ ABH 中有: cos? ?

BH BA



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BD BH BD 在 Rt △ ABD 中有: cos ? ? BA
在 Rt △ BHD 中有: cos? ? 由①、②、③可得: cos ? ? cos? ? cos? .

② ③

说明:由此题结论易知:斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的 一切角中最小的角.若平面的斜线与平面所成角为 ? ,则斜线与平面内其它直线所成角 ? 的 范围为 ??, ? .

? ?? ? 2?

典型例题六
例 6 如图,已知正方形 ABCD 边长为 4, CG ? 平面 ABCD , CG ? 2 , E、F 分别是 AB、AD 中点,求点 B 到平面 GEF 的距离. 分析:此题是 1991 年高考题,考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理 和空间想像能力.本题是求平面外一点到平面的距离,可用转移法将该点到平面的距离转化 为求另一点到该平面的距离.为此要寻找过点 B 与平面 GEF 平行的直线,因为与平面平行的 直线上所有点到平面的距离相等. 证 明 : 连 结 BD、AC , EF 和 BD 分 别 交 AC 于 H、O ,连 GH ,作 OK ? GH 于 K . ∵ ABCD 为正方形, E、F 分别为 AB、AD 的中 点, ∴ EF // BD , H 为 AO 中点. ∵ BD// EF , BD ? 平面 GFE , ∴ BD // 平面 GFE . ∴ BD 与平面 GFE 的距离就是 O 点到平面 EFG 的距离. ∵ BD ? AC ,∴ EF ? AC . ∵ GC ? 面 ABCD ,∴ GC ? EF . ∵ GC ? AC ? C , ∴ EF ? 平面 GCH . ∵ OK ? 平面 GCH , ∴ EF ? OK . 又∵ OK ? GH , GH ? EF ? H , ∴ OK ? 平面 GEF . 即 OK 长就是点 B 到平面 GEF 的距离. ∵正方形边长为 4, CG ? 2 , ∴ AC ? 4 2 , HO ?

2 , HC ? 3 2 .
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在 Rt △ HCG 中, HG ? 在 Rt △ GCH 中, OK ?

HC 2 ? CG 2 ? 22 .

HO ? GC 2 11 . ? HG 11

说明:求点到平面的距离常用三种方法:一是直接法.由该点向平面引垂线,直接计算 垂线段的长.用此法的关键在于准确找到垂足位置.如本题可用下列证法:延长 CB 交 FE 的 延长线于 M ,连结 GM ,作 BP ? ME 于 P ,作 BN // CG 交 MG 于 N ,连结 PN ,再作 BH ? PN 于 H ,可得 BH ? 平面 GFE , BH 长即为 B 点到平面 EFG 的距离.二是转移 法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的 面积.求顶点到底面的距离,可逆用体积公式.

典型例题七
例 7 如图所示,直角 ?ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC . (1)求证:点 S 与斜边 AC 中点 D 的连线 SD ? 面 ABC ; (2)若直角边 BA ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

分析:由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直,从而得到线面垂直. 证明:(1)在等腰 ?SAC 中, D 为 AC 中点,∴ SD ? AC . 取 AB 中点 E ,连 DE 、 SE . ∵ ED// BC , BC ? AB ,∴ DE ? AB . 又 SE ? AB ,∴ AB ? 面 SED ,∴ AB ? SD . ∴ SD ? 面 ABC ( AB 、 AC 是面 ABC 内两相交直线) . (2)∵ BA ? BC ,∴ BD ? AC . 又∵ SD ? 面 ABC ,∴ SD ? BD . ∵ SD ? AC ? D ,∴ BD ? 面 SAC . 说明:证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直.寻找途径可由 等腰三角形底边上的中线与底边垂直,可由勾股定理进行计算,可由线面垂直得线线垂直等.

典型例题八
例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.

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已知: a // b , a ? ? .求证: b ? ? . 分析:由线面垂直的判定定理知,只需在 ? 内找到两条相交直线与 b 垂直即可.

证明:如图所示,在平面 ? 内作两条相交直线 m 、 n . ∵ a ? ? ,∴ a ? m , a ? n . 又∵ b // a ,从而有 b ? m , b ? n . 由作图知 m 、 n 为 ? 内两条相交直线. ∴b ?? . 说明:本题的结论可以作为判定线面垂直的依据,即当要证的直线与平面的垂直关系不 明确或不易证出时,可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直.

典型例题九
例 9 如图所示,已知平面 ? ? 平面 ? = EF , A 为 ? 、 ? 外一点, AB ? ? 于 B ,

AC ? ? 于 C , CD ? ? 于 D .证明: BD ? EF .

分析:先证 A 、 B 、C 、 D 四点共面,再证明 EF ? 平面 ABCD ,从而得到 BD ? EF . 证明:∵ AB ? ? , CD ? ? ,∴ AB // CD . ∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共面. ∵ AB ? ? , AC ? ? , ? ? ? ? EF ,∴ AB ? EF , AC ? EF . 又 AB ? AC ? A ,∴ EF ? 平面 ABCD . ∴ EF ? BD . 说明:与线面平行和线线平行交替使用一样,线面垂直和线线垂直也常互为条件和结 论.即要证线面垂直,先找线线垂直;要证线线垂直,先找线面垂直.本题证明“ A 、B 、C 、 D 四点共面”非常重要,仅由 EF ? 平面 ABC ,就断定 EF ? BD ,则证明是无效的.

典型例题十
例 10 平面 ? 内有一半圆,直径 AB ,过 A 作 SA ? 平面 ? ,在半圆上任取一点 M ,连 SM 、 SB ,且 N 、 H 分别是 A 在 SM 、 SB 上的射影.

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(1)求证: NH ? SB ; (2)这个图形中有多少个线面垂直关系? (3)这个图形中有多少个直角三角形? (4)这个图形中有多少对相互垂直的直线? 分析:注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断.

(1)证明:连 AM 、 BM .如上图所示, ∵ AB 为已知圆的直径,∴ AM ? BM . ∵ SA ? 平面 ? , BM ? ? ,∴ SA ? MB . ∵ AM ? SA ? A ,∴ BM ? 平面 SAM . ∵ AN ? 平面 SAM ,∴ BM ? AN . ∵ AN ? SM 于 N , BM ? SM ? M ,∴ AN ? 平面 SMB . ∵ AH ? SB 于 H ,且 NH 是 AH 在平面 SMB 的射影,∴ NH ? SB . 解(2):由(1)知, SA ? 平面 AMB , BM ? 平面 SAM , AN ? 平面 SMB . ∵ SB ? AH 且 SB ? HN ,∴ SB ? 平面 ANH , ∴图中共有 4 个线面垂直关系. (3)∵ SA ? 平面 AMB ,∴ ?SAB 、 ?SAM 均为直角三角形. ∵ BM ? 平面 SAM ,∴ ?BAM 、 ?BMS 均为直角三角形. ∵ AN ? 平面 SMB ,∴ ?ANS 、 ?ANM 、 ?ANH 均为直角三角形. ∵ SB ? 平面 ANH ,∴ ?SHA 、 ?BHA 、 ?SHN 、 ?BHN 均为直角三角形. 综上,图中共有 11 个直角三角形. (4)由 SA ? 平面 AMB 知, SA? AM , SA ? AB , SA ? BM . 由 BM ? 平面 SAM 知, BM ? AM , BM ? SM , BM ? AN . 由 AN ? 平面 SMB 知, AN ? SM , AN ? SB , AN ? NH . 由 SB ? 平面 ANH 知, SB ? AH , SB ? HN . 综上,图中共有 11 对互相垂直的直线. 说明:为了保证(2)(3)(4)答案不出错,首先应找准(2)的答案,由“线 ? 面”可得到“线 ? 面内线” ,当“线 ? 面内线”且相交时,可得到直角三角形;当“线 ? 面内线”且不相交时, 可得到异面且垂直的一对直线.

典型例题十一
如 图 所 示 , ?BAC ? 90? . 在 平 面 ?PAB ? ?PAC ? 60? .求 PA 与平面 ? 所成的角. 例 11

? 内 , PA 是 ? 的 斜 线 ,

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分 析 : 求 PA 与 平 面 ? 所 成 角 , 关 键 是 确 定 PA 在 平 面 ? 上 射 影 AO 的 位 置 . 由 ?PAB ? ?PAC ,可考虑通过构造直角三角形,通过全等三角形来确定 AO 位置,构造直角 三角形则需用三垂线定理. 解:如图所示,过 P 作 PO ? ? 于 O .连结 AO , 则 AO 为 AP 在面 ? 上的射影, ?PAO 为 PA 与平面 ? 所成的角. 作 OM ? AC ,由三重线定理可得 PM ? AC . 作 ON ? AB ,同理可得 PN ? AB . 由 ?PAB ? ?PAC , ?PMA ? ?PNA ? 90? , PA ? PA , 可得 ?PMA≌ ?PNA ,∴ PM ? PN . ∵ OM 、 ON 分别为 PM 、 PN 在 ? 内射影,∴ OM ? ON . 所以点 O 在 ?BAC 的平分线上. 设 PA ? a ,又 ?PAM ? 60? ,∴ AM ? ∴ AO ?

1 a , ?OAM ? 45? , 2

2 AM ?

2 a. 2 AO 2 ? , PA 2

在 ?POA 中, cos ?PAO ?

∴ ?PAO ? 45? ,即 PA 与 ? 所成角为 45? . 说明: (1)本题在得出 PA 在面 ? 上的射影为 ?BAC 的平分线后, 可由公式 cos? ? cos? ? cos ? 来计算 PA 与平面 ? 所成的角,此时 ?PAC ? ? ? 60? , ?PAO ? ? , ?CAO ? ? ? 45? . (2)由 PA 与平面 ? 上射影为 ?BAC 平分线还可推出下面结论:四面体 P ? ABC 中,若 ?PAB ? ?PAC , ?PBA ? ?PBC ,则点 A 在面 ABC 上的射影为 ?ABC 的内心.

典型例题十二
例 12 如图所示, 在平面 ? 内有 ?ABC , 在平面 ? 外有点 S , 斜线 SA ? AC , ? BC , SB 且斜线 SA 、 SB 分别与平面 ? 所成的角相等,设点 S 与平面 ? 的距离为 4cm , AC ? BC , 且 AB ? 6cm .求点 S 与直线 AB 的距离.

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分析:由点 S 向平面 ? 引垂线,考查垂足 D 的位置,连 DB 、 DA ,推得 DA ? AC ,

DB ? BC ,又 ?ACB ? 90? ,故 A 、 B 、 C 、 D 为矩形的四个顶点.
解:作 SD ? 平面 ? ,垂足为 D ,连 DA 、 DB . ∵ SA ? AC , DB ? BC , ∴由三垂线定理的逆定理,有: DA ? AC , DB ? BC , 又 AC ? BC ,∴ ACBD 为矩形. 又∵ SA ? SB ,∴ DA ? DB ,∴ ACBD 为正方形, ∴ AB 、 CD 互相垂直平分. 设 O 为 AB 、 CD 的交点,连结 SO , 根据三垂线定理,有 SO ? AB ,则 SO 为 S 到 AB 的距离. 在 Rt?SOD 中, SD ? 4cm , DO ?

∴ SO ? 5cm . 因此,点 S 到 AB 的距离为 5cm . 说明:由本例可得到点到直线距离的作法: (1)若点、直线在确定平面内,可直接由点向直线引垂线,这点和垂足的距离即为所求. (2)若点在直线所在平面外,可由三垂线定理确定:由这点向平面引垂线得垂足,由垂足 引直线的垂线得斜足,则这点与斜足的距离为点到直线的距离. (3)处理距离问题的基本步骤是:作、证、算,即作出符合要求的辅助线,然后证明所作 距离符合定义,再通过解直角三角形进行计算.

1 AB ? 3cm , 2

典型例题十三
例 13 如图, 过 ABCD 是正方形, 垂直于平面 ABCD , A 且垂直于 SC 的平面交 SB 、 SA SC 、 SD 分别于点 E 、 F 、 G ,求证: AE ? SB , AG ? SD .

分析:本题考查线面垂直的判定与性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化的思 想. 由于图形的对称性, 所以两个结论只需证一个即可. 欲证 AE ? SB , 可证 AE ? 平面 SBC , 为此须证 AE ? BC 、 AE ? SC ,进而转化证明 BC ? 平面 SAB 、 SC ? 平面 AEFG .

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证明:∵ SA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , ∴ SA ? BC . 又∵ ABCD 为正方形, ∴ BC ? AB . ∴ BC ? 平面 ASB . ∵ AE ? 平面 ASB , ∴ BC ? AE . 又∵ SC ? 平面 AEFG , ∴ SC ? AE . ∴ AE ? 平面 SBC . 又∵ SB ? 平面 SBC , ∴ AE ? SB ,同理可证 AG ? SD . 说明:(1)证明线线垂直,常用的方法有:同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理, 三垂线定理与它的逆定理,以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直.(2)本题的证明过 程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系,充分体现了数学化思想的优越 性.

典型例题十四
例 14 如图,求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平 面内的射影在这个角的平分线上. 已知: ?BAC 在平面 ? 内,点 P ?? , PE ? AB , PF ? AC , PO ? ? ,垂足分别是 E 、 F 、 O , PE ? PF .求证: ?BAO ? ?CAO .

证明:∵ PO ? ? , ∴ OE 为 PE 在 ? 内的射影. ∵ AB ? PE , AB ? 平面? , ∴ AB ? OE . 同理可证: AC ? OF . 又∵ PO ? ? , PE ? PF , OE ? OF , ∴ ?BAO ? ?CAO . 说明:本题是一个较为典型的题目,与此题类似的有下面命题:从一个角的顶点引这个 角所在平面的斜射线,使斜射线和这个角两边的夹角相等,则斜射线在平面内的射影,是这 个角的平分线所在的直线.由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题:已知 ?ACB ? 90? , S 为平面 ACB 外一点, ?SCA ? ?SCB ? 60? ,求 SC 与平面 ACB 所成角.

典型例题十五
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例 15 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号. (1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行. ( ) (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直. ( ) (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. ( ) (4)过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 ? 的平面内. ( ) (5) 如果 三条 共点 直线 两两 垂直 ,那 么其 中一 条直 线垂 直于 另两 条直 线确 定的平 面. ( ) 解:(1)直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异 面,因此应打“×”号 (2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.①若为平行,则该命题应打“×” 号;若为相交,则该命题应打“√” ,正是因为这两种情况可能同时具备,因此,不说明面内 无这数条线的位置关系,则该命题应打“×”号. (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用,则该 直线必垂直于三角形的第三边,∴该命题应打“√” . (4)前面介绍了两个命题,①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,②过一点有且只 有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点 A 垂直于直线 a 的平面惟一,因此, 过点 A 且与直线 a 垂直的直线都在过点 A 且与直线 a 垂直的平面内,∴该命题应打“√”号. (5)三条共点直线两两垂直,设为 a , b , c 且 a , b , c 共点于 O , ∵ a ? b , a ? c , b ? c ? 0 ,且 b , c 确定一平面,设为 ? ,则 a ? ? , 同理可知 b 垂直于由 a , c 确定的平面, c 垂直于由了确定的平面, ∴该命题应打“√”号. 说明:本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题.解答此类问 题必须作到:概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用.

典型例题十六
例 16 如图,已知空间四边形 ABCD 的边 BC ? AC , AD ? BD ,引 BE ? CD , E 为 垂足,作 AH ? BE 于 H ,求证: AH ? 平面BCD .

分析:若证 AH ? 平面BCD ,只须利用直线和平面垂直的判定定理,证 AH 垂直平面

BCD 中两条相交直线即可.

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证明:取 AB 中点 F ,连 CF 、 DF , ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . 又∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB ,∴ AB ? 平面CDF , 又 CD ? 平面CDF ,∴ CD ? AB 又 CD ? BE ,∴ CD ? 平面ABE , CD ? AH , 又 AH ? BE ,∴ AH ? 平面BCD .

典型例题十七
例 17 如果平面 ? 与 ? 外一条直线 a 都垂直 b ,那么 a // ? . 已知:直线 a ? ? , a ? 直线b , b ? ? .求证: a // ? . 分析:若证线面平行,只须设法在平面 ? 内找到一条直线 a ,使得 a // a ,由线面平行
' '

判定定理得证. 证明:(1)如图,若 a 与 b 相交,则由 a 、 b 确定平面 ? ,设 ? ? ? ? a .
'

' ? ? a // a ∵b ? ? ? ? ? ' ' ??b ? a ? ? 又a ? ? ? ? a // ? . a' ? ? ? ? ? a, b, a ' ? ? ? a ? ? ? (2)如图,若 a 与 b 不相交,

b?a

则在 a 上任取一点 A ,过 A 作 b // b , a 、 b 确定平面 ? ,设 ? ? ? ? a .
' '
'

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' ? ? ∵ b ' // b? b ? ? ? ? ? b ' ? a ' ? a // a ' ? ? ? b ? ? ? 又a ' ? ? ? ? ? ? ' ? ? 又a ? ? ? ? a // ? . ∵ b ' // b? b ' ? a ? a ?? ? ?? ? ? ' ' b ? a ? 又b , a , a ? ? ?

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典型例题十八
例 18 如 图 , 已 知 在 ?ABC 中 , ?BAC ? 60? , 线 段 AD ? 平面ABC ,

AH ? 平面DBC , H 为垂足.
求证: H 不可能是 ?DBC 的垂心.

分析:根据本题所证结论,可采用反证法予以证明. 证明:如图所示,假设 H 是 ?DBC 的垂心,则 BH ? DC . ∵ AH ? 平面DBC ,∴ DC ? AH , ∴ DC ? 平面ABH ,∴ AB ? DC . 又∵ DA ? 平面ABC ,∴ AB ? DA , ∴ AB ? 平面DAC , ∴ AB ? AC ,这与已知 ?BAC ? 60? 矛盾, ∴假设不成立,故 H 不可能是 ?DBC 的垂心. 说明:本题只要满足 ?BAC ? 90? ,此题的结论总成立.不妨给予证明.

典型例题十九
例 19 在空间,下列哪些命题是正确的( ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 ) .

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A.仅②不正确 B.仅①、④正确 C.仅①正确 D.四个命题都正确 分析: ①该命题就是平行公理, 即课本中的公理 4, 因此该命题是正确的; ②如图, 直线 a ? 平面 ? , b ? ? , c ? ? ,且 b ? c ? A ,则 a ? b , a ? c ,即平面 ? 内两条直交直线 b , c 都垂直于同一条直线 a ,但 b , c 的位置关系并不是平行.另外, b , c 的位置关系也可以是 异面,如果把直线 b 平移到平面 ? 外,此时与 a 的位置关系仍是垂直,但此时, b , c 的位置 关系是异面.

③如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中, 易知 A1B1 // 平面ABCD ,A1D1 // 平面ABCD , 但 A1B1 ? A1D1 ? A1 ,因此该命题是错误的.

④该命题是线面垂直的性质定理,因此是正确的. 综上可知①、④正确. ∴应选 B.

典型例题二十
例 20 设 a , b 为异面直线, AB 为它们的公垂线 (1)若 a , b 都平行于平面 ? ,则 AB ? ? ; (2)若 a , b 分别垂直于平面 ? 、 ? ,且 ? ? ? ? c ,则 AB// c . 分析:依据直线和平面垂直的判定定理证明 AB ? ? ;证明线与线的平行,由于此时垂直 的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明 AB// c .

图1

图2
'

证明:(1)如图 1,在 ? 内任取一点 P ,设直线 a 与点 P 确定的平面与平面 ? 的交线为 a ,

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设直线 b 与点 P 确定的平面与平面 ? 的交线为 b ' ∵ a // ? , b // ? ,∴ a // a ' , b // b ' 又∵ AB ? a , AB ? b ,∴ AB ? a ' , AB ? b ' , ∴ AB ? ? . (2)如图 2,过 B 作 BB ' ? ? ,则 BB ' // a , 则 AB ? BB' 又∵ AB ? b ,∴ AB 垂直于由 b 和 BB' 确定的平面. ∵ b ? ? ,∴ b ? c , BB ? ? ,∴ BB ? c .
' '

∴ c 也垂直于由 BB' 和 b 确定的平面. 故 c // AB . 说明:由第(2)问的证明可以看出:利用线面垂直的性质证明线与线的平行,其关键是构 造出平面,使所证线皆与该平面垂直.如题中,通过作出辅助线 BB' ,构造出平面,即由相 交直线 b 与 BB' 确定的平面.然后借助于题目中的其他垂直关系证得.

典型例题二十一
例 21 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中, EF 为异面直线 A1 D 与 AC 的公垂线,求 证: EF // BD1 .

分析:证明 EF // BD1 ,构造与 EF 、 BD1 都垂直的平面是关键.由于 EF 是 AC 和 A1 D 的公垂线,这一条件对构造线面垂直十分有用. 证明:连结 A1C1 ,由于 AC // A1C1 , EF ? AC , ∴ EF ? A1C1 .
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又 EF ? A1 D , A1D ? A1C1 ? A1 , ∴ EF ? 平面A1C1 D . ①

∵ BB1 ? 平面A1 B1C1 D1 , A1C1 ? 平面A1B1C1D1 , ∴ BB1 ? A1C1 . ∵四边形 A1 B1C1 D1 为正方形, ∴ A1C1 ? B1 D1 , B1D1 ? BB1 ? B1 , ∴ A1C1 ? 平面BB1 D1 D , 而 BD1 ? 平面BB1 D1 D ,∴ A1C1 ? BD1 . 同理 DC1 ? BD1 , DC1 ? A1C1 ? C1 , ∴ BD1 ? 平面A1C1D . 由①、②可知: EF // BD1 . ②

典型例题二十二
例 22 如图, 已知 P 为 ?ABC 外一点,PA 、PB 、PC 两两垂直,PA ? PB ? PC ? a , 求 P 点到平面 ABC 的距离.

分析:欲求点到平面的距离,可先过点作平面的垂线,进一步求出垂线段的长. 解:过 P 作 PO ? 平面ABC 于 O 点,连 AO 、 BO 、 CO , ∴ PO ? AO , PO ? BO , PO ? CO ∵ PA ? PB ? PC ? a , ∴ ?PAO ≌ ?PBO ≌ ?PCO , ∴ OA ? OB ? OC , ∴ O 为 ?ABC 的外心. ∵ PA 、 PB 、 PC 两两垂直,

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∴ AB ? BC ? CA ? ∴ AO ?

2a , ?ABC 为正三角形,

3 6 3 a. AB ? a ,∴ PO ? PA2 ? AO 2 ? 3 3 3 3 a. 3

因此点 P 到平面 ABC 的距离

说明:(1)求点到平面距离的基本程序是:首先找到或作出要求的距离;然后使所求距离 在某一个三角形中;最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离. (2)求距离问题转化到解三角形有关问题后,在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦 定理、余弦定理及有关三角函数知识. (3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容,高考命题中出现较多,应充分注意,除了 上面提到方法之外,还有其他一些方法,比如以后学习的等积法,希望同学们在学习过程不 断总结.

典型例题二十三
例 23 如图,已知在长方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中,棱 AA1 ? 5 , AB ? 12 ,求直线 B1C1 和平面 A1 BCD1 的距离.

分析:求线面距离,其基本方法是在线上选一点,作出点面距,距离然后根据求点面距 的有关方法求解. 解:如图,∵ B1C1 // BC ,且 B1C1 ? 平面A1 BCD1 , BC ? 平面A1BCD1 , ∴ B1C1 // 平面A1BCD1 . 从而点 B1 到平面 A1 BCD1 的距离即为所求. 过点 B1 作 B1 E ? A1 B 于 E , ∵ BC ? 平面A1 ABB1 ,且 B1E ? 平面AA1B1B , ∴ BC ? B1E .

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又 BC ? A1 B ? B , ∴ B1E ? 平面A1BCD1 . 即线段 B1E 的长即为所求, 在 Rt?A1B1B 中, B1 E ?

A1 B1 ? BB1 5 ?12 60 , ? ? A1 B 52 ? 12 2 13

∴直线 B1C1 到平面 A1 BCD1 的距离为

60 . 13

说明:本题考查长方体的性质,线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学 思想,解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离,进而转化为点线距离,再通过解三角 形求解,这种转化的思想非常重要,数学解题的过程就是将复杂转化为简单,将未知转化为 已知,从而求解.

典型例题二十四
例 24 AD 、 BC 分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为 30? , AD ? 8cm , AB ? BC , DC ? BC .求线段 BC 的长. 分析:首先依据题意,画出图形,利用平移,将异面直线 AD 、 BC 所成的角、垂直关系 转化到某一个或某几个平面内,应用平面几何有关知识计算出 BC 之长.

解:如图,在平面 ? 内,过 A 作 AE // BC ,过 C 作 CE // AB ,两线交于 E . ∵ AE // BC , ∴ ?DAE 就是 AD 、 BC 所成的角, ?DAE ? 30? . ∵ AB ? BC , ∴四边形 ABCE 是矩形.连 DE , ∵ BC ? CD , BC ? CE ,且 CD ? CE ? C , ∴ BC ? 平面CDE . ∵ AE // BC ,∴ AE ? 平面CDE .∵ DE ? 平面CDE ,∴ AE ? DE . 在 Rt?AED 中,得 AE ? 4 3 ,∴ BC ? AE ? 4 3 (cm) . 说明:解决空间问题,常常将空间关系转化一个或几个平面上来,只有将空间问题归化 到平面上来,才能应用平面几何知识解题,而平移变换是转化的重要手段.

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典型例题一
例 1 解不等式: (1) 2 x ? x ? 15 x ? 0 ; (2) ( x ? 4)( x ? 5) (2 ? x) ? 0 .
3 2
2 3

分析:如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积,则一元高次不等式 f ( x) ? 0 (或 f ( x) ? 0 )可用 “穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 解: (1)原不等式可化为

x(2 x ? 5)( x ? 3) ? 0
把方程 x(2 x ? 5)( x ? 3) ? 0 的三个根 x1 ? 0, x2 ? ? , x3 ? 3 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺 次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.

5 2

∴原不等式解集为 ? x ? (2)原不等式等价于

? ?

5 ? ? x ? 0或x ? 3? 2 ?

( x ? 4)( x ? 5) 2 ( x ? 2)3 ? 0 ? x ? ?5 ?x ? 5 ? 0 ?? ?? ?( x ? 4)( x ? 2) ? 0 ? x ? ?4或x ? 2
∴原不等式解集为 x x ? ?5或 ? 5 ? x ? ?4或x ? 2

?

?

说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中 x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转 化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法” ,但注意“奇穿偶不穿” ,其法如下图.

典型例题二
例 2 解下列分式不等式: (1)

x2 ? 4x ? 1 3 2 ?1 ; (2) 2 ?1? 3x ? 7 x ? 2 x?2 x?2
f ( x) ? 0(或 ? 0) 时,要注意它的等价变形 g ( x)

分析:当分式不等式化为

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f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x)
? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) f ( x) ?0?? 或 ? 0 ? f ( x) ? 0或f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0



(1)解:原不等式等价于

3 x 3 x ? ? ? ?0 x?2 x?2 x?2 x?2 3( x ? 2) ? x( x ? 2) ? x2 ? 5x ? 6 ? ?0? ?0 ( x ? 2)( x ? 2) ( x ? 2)( x ? 2) ? ?( x ? 6)( x ? 1)( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ( x ? 6)( x ? 1) ?0?? ( x ? 2)( x ? 2) ?( x ? 2)( x ? 2) ? 0

用“穿根法” ∴原不等式解集为 (??,?2) ? ?? 1,2? ? ?6,?? ? 。

(2)解法一:原不等式等价于

2 x 2 ? 3x ? 1 ?0 3x 2 ? 7 x ? 2

? (2 x 2 ? 3x ? 1)(3x 2 ? 7 x ? 2) ? 0 ? 2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 ?2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 ? ? ?? 2 或? 2 ?3x ? 7 x ? 2 ? 0 ?3x ? 7 x ? 2 ? 0 ? ? 1 1 ? x ? 或 ? x ? 1或x ? 2 3 2 1 1 ∴原不等式解集为 (??, ) ? ( ,1) ? (2,??) 。 3 2

解法二:原不等式等价于

(2 x ? 1)( x ? 1) ?0 (3x ? 1)( x ? 2)

? (2 x ? 1)( x ? 1)(3x ? 1) ? ( x ? 2) ? 0
用“穿根法” ∴原不等式解集为 (??, ) ? ( ,1) ? (2,??)

1 3

1 2

典型例题三
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例 3 解不等式 x ? 4 ? x ? 2
2

分 析 :解此题的关键是去绝对值符号, 而去绝对值符号有两种 方法:一是根据绝对值 的意义

?a(a ? 0) a ?? ?? a(a ? 0)
二是根据绝对值的性质: x ? a ? ?a ? x ? a, x .a ? x ? a 或 x ? ?a ,因此本题有如下两种解法.

?x2 ? 4 ? 0 ?x2 ? 4 ? 0 ? ? 或? 解法一:原不等式 ? ? 2 ? x ? 4 ? x ? 2 ?4 ? x 2 ? x ? 2 ? ?
即?

? x ? 2或x ? ?2 ?? 2 ? x ? 2 或? ?? 2 ? x ? x ? x ? ?2或x ? 1

∴ 2 ? x ? 3 或1 ? x ? 2 故原不等式的解集为 x 1 ? x ? 3 . 解法二:原不等式等价于 ? ( x ? 2) ? x ? 4 ? x ? 2
2

?

?

即?

?x2 ? 4 ? x ? 2 ?? 2 ? x ? 3 ? 故1 ? x ? 3 . ∴? ? x 2 ? 4 ? ? ( x ? 2) ? x ? 1或x ? ?2 ?

典型例题四
x2 ? 6x ? 5 ? 0. 12 ? 4 x ? x 2

例 4 解不等式

分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于 x 二次式的商,由商的符号法则,它等价于下列两个 不等式组:

?x 2 ? 6x ? 5 ? 0 ?x2 ? 6x ? 5 ? 0 ? ? 或? ? 2 ?12 ? 4 x ? x ? 0 ?12 ? 4 x ? x 2 ? 0 ? ?
所以,原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解. 解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:

? x 2 ? 6 x ? 5 ? 0  ? x 2 ? 6 x ? 5 ? 0 , , ? ? 或? ? 2 ?12 ? 4 x ? x ? 0 ?12 ? 4 x ? x 2 ? 0 ? ?

?( x ? 1)( x ? 5) ? 0, ?( x ? 1)( x ? 5) ? 0, ?? 或? ?( x ? 2)( x ? 6) ? 0; ?( x ? 2)( x ? 6) ? 0;

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?1 ? x ? 5, ? x ? 1, 或x ? 5, ?? ; ? 或 ?? 2 ? x ? 6 ? x ? ?2, 或x ? 6
? 1 ? x ? 5, 或 x ? ?2 或 x ? 6 .
∴原不等式解集是 {x x ? ?2,或1 ? x ? 5,或x ? 6} .

解法二:原不等式化为

( x ? 1)( x ? 5) ? 0. ( x ? 2)( x ? 6)

画数轴,找因式根,分区间,定符号.

( x ? 1)( x ? 5) 符号 ( x ? 2)( x ? 6)

∴原不等式解集是 {x x ? ?2,或1 ? x ? 5,或x ? 6} . 说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集, 否则会产生误解. 解法二中, “定符号”是关键.当每个因式 x 的系数为正值时,最右边区间一定是正值,其他各区间正负相 间;也可以先决定含0的区间符号,其他各区间正负相间.在解题时要正确运用.

典型例题五
x 2 ? 2x ? 2 ? x. 3 ? 2x ? x 2

例 5 解不等式

分析:不等式左右两边都是含有 x 的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为 0 再解. 解:移项整理,将原不等式化为

( x ? 2)( x 2 ? x ? 1) ?0. ( x ? 3)( x ? 1)

由 x 2 ? x ? 1 ? 0 恒成立,知原不等式等价于

( x ? 2) ?0. ( x ? 3)( x ? 1)

解之,得原不等式的解集为 {x ? 1 ? x ? 2或x ? 3} . 说明:此题易出现去分母得 x 2 ? 2 x ? 2 ? x(3 ? 2 x ? x 2 ) 的错误解法.避免误解的方法是移项使一边为 0再解. 另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程 科学合理.

典型例题六
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例 6 设 m? R ,解关于 x 的不等式 m2 x 2 ? 2mx ? 3 ? 0 . 分析:进行分类讨论求解. 解:当 m ? 0 时,因 ? 3 ? 0 一定成立,故原不等式的解集为 R . 当 m ? 0 时,原不等式化为 (mx ? 3)(mx ? 1) ? 0 ;

3 1 ?x? ; m m 1 3 当 m ? 0 时,解得 ? x ? ? . m m
当 m ? 0 时,解得 ?

? 3 1? ∴当 m ? 0 时,原不等式的解集为 ? x ? ? x ? ? ; m m? ? ? 1 3? 当 m ? 0 时,原不等式的解集为 ? x ? x ? ? ?. m? ? m
说明:解不等式时,由于 m? R ,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当 m ? 0 时,原 不等式化为 ? 3 ? 0 ,此时不等式的解集为 R ,所以解题时应分 m ? 0 与 m ? 0 两种情况来讨论.

3 1 3 1 , x2 ? 后,认为 ? ? ,这也是易出现的错误之处.这 m m m m 3 1 3 1 时也应分情况来讨论:当 m ? 0 时, ? ? ;当 m ? 0 时, ? ? . m m m m
在解出 m2 x 2 ? 2mx ? 3 ? 0 的两根为 x1 ? ?

典型例题七
例 7 解关于 x 的不等式 2ax ? a 2 ? 1 ? x (a ? 0) . 分析:先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解.

?2ax ? a 2 ? 0, ?2 x ? a 2 ? 0, ? 解:原不等式 ? (1) ?1 ? x ? 0, 或 ( 2) ? ?1 ? x ? 0. ? 2 2 ?2ax ? a ? (1 ? x) ;

a ? ?x ? 2 , ? 由 a ? 0 ,得: (1) ? ? x ? 1, ? 2 2 ? x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0; ?

a ? ?x ? , (2) ? ? 2 ? x ? 1. ?

由 判 别 式 ? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 8a ? 0 , 故 不 等 式 x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 的 解 是

a ? 1 ? 2a ? x ? a ? 1 ? 2a .
当 0 ? a ? 2 时, 组(2)的解是 x ? 1 .
26

a ? a ? 1 ? 2a ? 1 , a ? 1 ? 2a ? 1 ,不等式组(1)的解是 a ? 1 ? 2a ? x ? 1 ,不等式 2

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当 a ? 2 时,不等式组(1)无解,(2)的解是 x ?

a . 2

综上可知,当 0 ? a ? 2 时,原不等式的解集是 a ? 1 ? 2a ,?? ;当 a ? 2 时,原不等式的解集是

?

?

?a ? ? 2 ,?? ? . ? ?

a a ,x ? 1 ’ (2)中 x ? , , ‘ 2 2 ”确定的.解含有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近几年高考的热点.一般地,分类讨 x ? 1’ 论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定.
说明: 本题分类讨论标准 0 ? a ? 2 ,a ? 2 ” “ 是依据 “已知 a ? 0 及(1)中 x ? ‘ 本题易误把原不等式等价于不等式 2ax ? a 2 ? (1 ? x) .纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的 解法.

典型例题八
例 8 解不等式 4 x 2 ? 10 x ? 3 ? 3 . 分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可. 解答:去掉绝对值号得 ? 3 ? 4 x 2 ? 10 x ? 3 ? 3 , ∴原不等式等价于不等式组

?? 3 ? 4 x 2 ? 10 x ? 3 ?4 x 2 ? 10 x ? 0 ? ? ?? 2 ? ? 2 ?4 x ? 10 x ? 3 ? 3 ?4 x ? 10 x ? 6 ? 0 ? ?

5 ? ? x ? 0或x ? 2 , ?2 x(2 x ? 5) ? 0 ? ?? ? ?2( x ? 3)(2 x ? 1) ? 0 ?? 1 ? x ? 3. ? 2 ?
? ? 1 5 ∴原不等式的解集为 ? x ? ? x ? 0或 ? x ? 3 ? . 2 2 ? ?
说明:解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等 式组,变成求不等式组的解.

典型例题九
例 9 解关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? 0 . 分析:不等式中含有字母 a ,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样: 求出方程 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? 0 的根,然后写出不等式的解,但由于方程的根含有字母 a ,故需比较两根 的大小,从而引出讨论.

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解:原不等式可化为 ( x ? a)( x ? a 2 ) ? 0 . (1)当 a ? a 2 (即 a ? 1 或 a ? 0 )时,不等式的解集为:

?x ?x
?x

x ? a 或 x ? a2 ;

? ?

(2)当 a ? a 2 (即 0 ? a ? 1 )时,不等式的解集为:

x ? a2 或 x ? a ;

(3)当 a ? a 2 (即 a ? 0 或 1)时,不等式的解集为:

x ? R 且 x ? a ?.

说明: 对参数进行的讨论, 是根据解题的需要而自然引出的, 并非一开始就对参数加以分类、 讨论. 比 如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根 x1 ? a , x2 ? a 2 ,因此不等式的解就是 x 小于小根或 x 大于 大根.但 a 与 a 2 两根的大小不能确定,因此需要讨论 a ? a 2 , a ? a 2 , a ? a 2 三种情况. 说明:(1)万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)结合使用韦 达定理,本题中只有 ? , ? 是已知量,故所求不等式解集也用 ? , ? 表示,不等式系数 a , b , c 的关系 也用 ? , ? 表示出来;(3)注意解法 2 中用“变换”的方法求方程的根.

典型例题十二
x?a x?b 1 的解为 (??,) ? (1, ?) ,求 a 、 b 的值. ? 2 ? 3 x ? x ?1 x ? x ?1 分析:不等式本身比较复杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于 a 、 b 式子. 1 3 解:∵ x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? 0 , 2 4 1 3 x2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? ? 0 , 2 4
例 12 若不等式
2

∴原不等式化为 (2 ? a ? b) x 2 ? (a ? b) x ? a ? b ? 0 .

? ?2 ? a ? b ? 0 5 ? ? ?a ? 2 1 ? a ?b ? ? ,? 依题意 ? . ?2 ? a ? b 3 ?b ? 3 4 ? ? a?b 2 ? ?2 ? a ? b ? 3 ?
∴ 说明:解有关一元二次方程的不等式,要注意判断二次项系数的符号,结合韦达定理来解.

典型例题十三
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例 13 不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x ? 1 ? x ? 2 ?,求 a 与 b 的值. 分析:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为 ? x ? 1 ? x ? 2 ?,不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 需满 足条件 a ? 0 , ? ? 0 , ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? ?1 , x2 ? 2 . 解法一:设 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,由韦达定理得:

b ? ? x1 ? x 2 ? ? a ? ? ?x ? x ? ? 2 ? 1 2 a ?

? b ?? a ? ?1 ? 2 ? 由题意: ? ?? 2 ? ?1 ? 2 ? a ?

∴ a ? 1 , b ? ?1 ,此时满足 a ? 0 , ? ? b 2 ? 4a ? (?2) ? 0 . 解法二:构造解集为 ? x ? 1 ? x ? 2 ?的一元二次不等式:

( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,即 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,此不等式与原不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 应为同解不等式,故需满足:

a b ?2 ∴ a ? 1 , b ? ?1 . ? ? 1 ?1 ? 2 说明:本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还考查逆向思维的能力.对有关字 母抽象问题,同学往往掌握得不好.

典型例题四
例 4 设 x ? R ,比较

1 与 1 ? x 的大小. 1? x

解:作差

1 x2 ? (1 ? x) ? , 1? x 1? x

x2 1 ? 0 ,∴ 1)当 x ? 0 时,即 ? 1? x ; 1? x 1? x

2)当 1 ? x ? 0 ,即 x ? ?1 时,

x2 1 ? 0 ,∴ ? 1? x ; 1? x 1? x

3)当 1 ? x ? 0 但 x ? 0 ,即 ?1 ? x ? 0 或 x ? 0 时,

x2 ? 0, 1? x

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1 ? 1? x . 1? x

说明:如本题作差,变形,变形到最简形式时,由于式中含有字母,不能定号,必须对字母根据式子 具体特点分类讨论才能定号.此时要注意分类合理恰当.

典型例题五 典型例题七 典型例题十一
例 11 若 a ? b, c ? d ,则下面不等式中成立的一个是( (A) a ? d ? b ? c (C) (B) ac ? bd (D) d ? a ? c ? b )

a b ? c d

解:由不等式的性质知: (A)(B)(C)成立的条件都不充分,所以选(D) 、 、 ,其实(D) 正是异向 不等式相减的结果.

a ? b ? ?a ? ?b? ? ? d ? a ? c ? b. c?d ?d ?c ?
说明: 本的解法都是不等式性质的基本应用, 对于不等式的基本性质要逐条掌握准确, 以便灵活应用. 例 13 若 a ? b ? c ,则一定成立的不等式是( A. a c ? b c 分析:A 错,当 a ? b, 以也不对. 故选 C,因为不等式两边同时加上一个任意数(此题是 ? c ) ,原不等式成立. 说明:这类题可以采用特例法:令 c ? 0 即得 C 成立. B. ab ? ac ) D.

C. a ? c ? b ? c

1 1 1 ? ? a b c

c ? 0 时有 a c ? b c ;同样 B 错;D 没有考虑各数取零和正负号的关系,所

典型例题十六
例 16 设 a 和 b 都是非零实数,求不等式 a ? b 和

1 1 ? 同时成立的充要条件. a b

分析:本题是求两个不等式同时成立的充要条件,因此,这两个不等式不能分开来讨论.如果分开讨 论,则 a ? b 成立的条件就是 a ? b 本身;而

1 1 ? 成立的条件则是 a 与 b 同号,且 a ? b ,但这个条件只 a b

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1 1 ? 的一个充分条件,并且与第一个不等式 a ? b 是矛盾的.所以必须研究这两个不等式同时成立的 a b
解:先求 a ? b ,

条件.显然,应该从求它们同时成立的必要条件入手.

1 1 1 1 ? 同时成立的必要条件,即当 a ? b , ? 同时成立时, a 与 b 应具备什么条 a b a b

件.

? a ? b, ?a ? b ? 0, ? ? 由 ? 1 1 ,得 ? b ? a ?a ? b ? ab ? 0. ? ?
由 a ? b ? 0 可知 b ? a ? 0 , 再由 与

b?a ? 0 知 ab ? 0 ,即 a 与 b 异号,因此 a ? 0 ? b 是不等式 a ? b ab

1 1 ? 同时成立的必要条件. a b 1 1 再求 a ? b , ? 同时成立的充分条件. a b
事实上,当 a ? 0 ? b 时,必有 a ? b ,且

1 1 1 1 ? 0, ? 0 ,因而 ? 成立.从而 a ? 0 ? b 是不等式 a b a b

1 1 ? 同时成立的充分条件. a b 1 1 因此,两个不等式 a ? b , ? 同时成立的充要条件是 a ? 0 ? b . a b 1 1 1 1 说明:本题结果表明, a ? b 与 ? 同时成立,其充要条件是 a 为正数, b 为负数.这与 ? 成 a b a b 1 1 立的条件 ab ? 0 , b ? a 不要混淆.解本题是从必要条件入手的,即若 a ? b , ? 同时成立,则要研 a b 1 1 究从不等式 ? 和 a ? b 看 a 与 b 的大小有什么关系,从中得出结论( a ? 0 ? b ) ,再把这个结论作为 a b 1 1 一个充分条件去验证 a ? b 及 ? 能否同时成立.从而解决了本题. a b

a ?b,

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