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幂函数习题精选精讲含答案


习题精选精讲 幂函数 函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学学习的始终,而幂函数是其中的一部分内容,这部分内容虽然少而简单,却包含了一 些重要的数学思想.下面剖析几例,以拓展同学们的思维. 一、分类讨论的思想 例1 已知函数 y ? x
n2 ? 2 n ? 3

(n ?Z) 的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于 y 轴对称,求 n 的值,

并画出函数的图象.
2 2 2

解: 因为图象与 y 轴无公共点, n ? 2n ? 3 ≤ 0 , 故 又图象关于 y 轴对称, n ? 2n ? 3 为偶数, n ? 2n ? 3 ≤ 0 , ?1≤ n ≤ 3 , 则 由 得 又因为 n ? Z ,所以 n ? 0, 1 2,. ? ,3 当 n ? 0 时, n ? 2n ? 3 ? ?3 不是偶数;
2

当 n ? 1 时, n ? 2n ? 3 ? ?4 为偶数;
2

当 n ? ?1 时, n ? 2n ? 3 ? 0 为偶数;
2

当 n ? 2 时, n ? 2n ? 3 ? ?3 不是偶数;
2

当 n ? 3 时, n ? 2n ? 3 ? 0 为偶数;
2

所以 n 为 ?1 ,1 或 3. 此时,幂函数的解析为 y ? x ( x ? 0) 或 y ? x
0 ?4

,其图象如图1所示.

二、数形结合的思想

1? ? 4? ? 问当 x 为何值时有: (1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ; (3) f ( x) ? g ( x) . 分析:由幂函数的定义,先求出 f ( x ) 与 g ( x ) 的解析式,再利用图象判断即可.
例2 解:设 f ( x) ? x ,则由题意,得 2 ? ( 2) ,
m
m

2) 已知点 ( 2, 在幂函数 f ( x ) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x ) 的图象上.

∴ m ? 2 ,即 f ( x) ? x .再令 g ( x) ? x ,则由题意,得
2 n

1 ? (?2)n , 4

∴ n ? ?2 ,即 g ( x) ? x ( x ? 0) .在同一坐标系中作出

?2

f ( x) 与 g ( x ) 的图象,如图 2 所示.由图象可知: (1)当 x ? 1 或 x ? ?1 时, f ( x) ? g ( x) ; (2)当 x ? ?1 时, f ( x) ? g ( x) ; (3)当 ?1 ? x ? 1且 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) .
小结:数形结合在讨论不等式时有着重要的应用,注意本题中 g ( x ) 的隐含条件 x ? 0 . 三、转化的数学思想 例3 函数 y ? (mx ? 4 x ? m ? 2)
2 ? 1 4

? (m 2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,则实数 m 的取值范围是(

) .

, A. ( 5 ? 1 2) , B. ( 5 ? 1 ? ∞)

习题精选精讲 C. (?2, 2) D. (?1 ? 5 ? 1 ? 5) , 解析:要使函数 y ? (mx ? 4 x ? m ? 2)
2 ? 1 4

? (m 2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,可转化为 mx2 ? 4x ? m ? 2 ? 0 对一切实数都成立,

即 m ? 0 且 ? ? 4 ? 4m(m ? 2) ? 0 .
2

解得 m ? 5 ? 1 . 幂函数中的三类讨论题

故选(B)

所谓分类讨论,实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略. 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做 到确定对象的全体,明确分类的标准,不重、不漏的分类讨论.在幂函数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,可根据幂函数的图象和 性质,依据幂函数的单调性分类讨论,使得结果得以实现. 类型一:求参数的取值范围 例1 已知函数 f ( x) ? x
?2 m2 ? m ? 3

(m ? Z) 为偶函数,且 f (3) ? f (5) ,求 m 的值,并确定 f ( x) 的解析式.

分析:函数 f ( x) ? x

?2 m2 ? m ? 3

(m ? Z) 为偶函数,已限定了 ?2m2 ? m ? 3 必为偶数,且 m?Z , f (3) ? f (5) ,只要根据条件分类讨

论便可求得 m 的值,从而确定 f ( x ) 的解析式. 解:∵ f ( x ) 是偶函数,∴ ?2m ? m ? 3 应为偶数.
2

又∵ f (3) ? f (5) ,即 3

?2 m2 ? m ? 3

?5

?2 m2 ? m ? 3

?3? ,整理,得 ? ? ?5?

?2 m2 ? m ? 3

? 1 ,∴ ?2m2 ? m ? 3 ? 0 ,∴ ?1 ? m ?

3 . 2

又∵ m?Z ,∴ m ? 0 或 1. 当 m=0 时, ?2m ? m ? 3 ? 3 为奇数(舍去) ;当 m ? 1 时, ?2m ? m ? 3 ? 2 为偶数.
2 2

故 m 的值为 1, f ( x) ? x .
2

评注:利用分类讨论思想解题时,要充分挖掘已知条件中的每一个信息,做到不重不漏,才可为正确解题奠定坚实的基础. 类型二:求解存在性问题 例2

? 已知函数 f ( x) ? x , 设函数 g ( x) ? ?qf [ f ( x)] ? (2q ? 1) f ( x) ? 1 , 问是否存在实数 q(q ? 0) , 使得 g ( x ) 在区间 ? ?∞, 4? 是
2

减函数,且在区间 (?4, 上是增函数?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 0) 分析:判断函数的单调性时,可以利用定义,也可结合函数的图象与性质进行判断,但要注意问题中符号的确定,要依赖于自变量的 取值区间. 解:∵ f ( x) ? x ,则 g ( x) ? ?qx ? (2q ? 1) x ? 1 .
2 4 2

假设存在实数 q(q ? 0) ,使得 g ( x ) 满足题设条件, 设 x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?qx1 ? (2q ? 1) x1 ? qx2 ? (2q ? 1) x2
4 2 4
2 ? ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 )[q( x12 ? x2 ) ? (2q ? 1)] .

2

? ? 若 x1,x2 ? ? ?∞, 4? ,易知 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 ,要使 g ( x ) 在 ? ?∞, 4? 上是减函数,则应有 q( x1 ? x2 ) ? (2q ? 1) ? 0 恒成
2 2

立. ∵ x1 ? ?4 , x2 ≤ ?4 ,∴ x1 ? x2 ? 32 .而 q ? 0 ,
2 2

习题精选精讲 ∴ q( x1 ? x2 ) ? 32q ..
2 2

从而要使 q( x1 ? x2 ) ? 2q ? 1 恒成立,则有 2q ? 1≥ 32q ,即 q ≤ ?
2 2

1 . 30
2 2

若 x1,x2 ? (?4, ,易知 ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ? 0 ,要使 f ( x ) 在 (?4, 上是增函数,则应有 q( x1 ? x2 ) ? (2q ? 1) ? 0 恒成立. 0) 0) ∵ ?4 ? x1 ? 0 , ?4 ? x2 ? 0 , ∴ x1 ? x2 ? 32 ,而 q ? 0 ,∴ q( x1 ? x2 ) ? 32q .
2 2 2 2

要使 q( x1 ? x2 ) ? 2q ? 1 恒成立,则必有 2q ? 1≤ 32q ,即 q ≥ ?
2 2

1 . 30

综上可知,存在实数 q ? ?

1 ,使得 g ( x ) 在 ? ?∞, 4? 上是减函数,且在 (?4, 上是增函数. ? 0) 30

评注:本题是一道综合性较强的题目,是幂函数性质的综合应用.判断函数的单调性时,可从定义入手,也可根据函数图象和性质进 行判断,但对分析问题和解决问题的能力要求较高,这在平时要注意有针对性的训练. 类型三:类比幂函数性质,讨论函数值的变化情况 例3 讨论函数 y ? (k ? k ) x
2 k 2 ? 2 k ?1

在 x ? 0 时随着 x 的增大其函数值的变化情况.

分析:首先应判定函数是否为常数函数,再看幂指数,并参照幂函数的性质讨论. 解: (1)当 k ? k ? 0 ,即 k ? 0 或 k ? ?1 时, y ? 0 为常函数;
2

(2)当 k ? 2k ? 1 ? 0 时, k ? 1 ? 2 或 k ? 1 ?
2

2 ,此时函数为常函数;

(3) ?

?k 2 ? k ? 0, ? 即 0 ? k ? 1 ? 2 时,函数为减函数,函数值随 x 的增大而减小; 2 ?k ? 2k ? 1 ? 0, ?
?k 2 ? k ? 0, ? 即 k ? ?1 或 k ? 1 ? 2 时,函数为增函数,函数值随 x 的增大而增大; 2 ?k ? 2k ? 1 ? 0, ? ?k 2 ? k ? 0, ? 即 1 ? 2 ? k ? 0 时,函数为增函数,函数值随 x 的增大而增大; 2 ?k ? 2k ? 1 ? 0, ? ?k 2 ? k ? 0, ? ,即 ?1 ? k ? 1 ? 2 时,函数为减函数,函数值随 x 的增大而减小. 2 ?k ? 2k ? 1 ? 0, ?

(4)当 ?

(5)当 ?

(6)当 ?

评注:含参数系数问题,可以说是解题中的一个致命杀手,是导致错误的一个重要因素.这应引起我们的高度警觉. 幂函数习题 例1 若 (m ? 1)
?1

? (3 ? 2m)?1 ,试求实数 m 的取值范围.

剖析:函数 y ? x ( x ? 0) 虽然在区间 (?∞, 和 (0, ∞) 上分别具有单调性,但在区间 (?∞, ? (0, ∞) 上不具有单调性,因而运 0) ? 0) ? 用单调性解答是错误的. 正解(分类讨论) :

?1

? m ? 1 ? 0, 2 3 ? (1) ?3 ? 2m ? 0, 解得 ? dm ? ; 2 ? m ? 1 ? 3 ? 2m, 3 ?

习题精选精讲

? m ? 1 ? 0, ?m ? 1 ? 0, ? (2) ?3 ? 2m ? 0, 此时无解; (3) ? , 解得 m ? ?1 . ?3 ? 2m ? 0, ? m ? 1 ? 3 ? 2m, ?
综上可得 m ? (?∞, 1) ? ? , ? . ? 例2 若 (m ? 1) ? (3 ? 2m) ,试求实数 m 的取值范围.
3 3

?2 3? ?3 2?

剖析:很明显,此解法机械地模仿例1的正确解法,而忽视了函数间定义域的不同. 正解 (利用单调性)由于函数 y ? x 在 (?∞, ∞) 上单调递增, : 所以 m ? 1 ? 3 ? 2m , 解得 m ? ?
3

2 . 3

例 3 若 ( m ? 1) 2 ? (3 ? 2 m) 2 ,

1

1

试求实数 m 的取值范围.

?m ? 10, ? 解:由图 3, ?3 ? 2m ? 0, ,解得 ?3 ? 2m ? m ? 1 , ?
例4
4 4

?1≤ m ?

2 . 3

若 (m ? 1) ? (3 ? 2m) ,试求实数 m 的取值范围.
4

解析:作出幂函数 y ? x 的图象如图 4.由图象知此函数在 (?∞, ? (0, ∞) 上不具有单调性,若分类讨论步骤较繁,把问题转化到 0) ? 一个单调区间上是关键.考虑 ? ? 4 时, x ? x .于是有 (m ? 1) ? (3 ? 2m) ,即 m ? 1 ? 3 ? 2m .
4 4

4

4

4

4

又∵幂函数 y ? x 在 (0, ∞) 上单调递增, ?
4

∴ m ? 1 ? 3 ? 2m , 解得 m ?
?

2 ,或 m>4. 3

上述解法意识到幂函数 y ? x (? ? 0) 在第一象限的递增性,于是巧妙运用转化思想解题,从而避免了分类讨论,使同学们的思维又一 次得到深化与发展. (1)当 ? ? ?1 ? , , ,解法同例 1 , ? ? (2)当 ? ? 1 3 5,, ,解法同例 2 , ,, ?

1 3

1 5

1 3

1 5

1 1 1 2 4 6 (4)当 ? ? ?2 ? 4 ? 6 ? ,解法同例 4. , , ,

(3)当 ? ? ? , , , , ? ? ? ,解法同例 3


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