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机械能守恒定律典型例题剖析


机械能守恒定律典型例题剖析
例 1、如图示,长为 l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为 m 的小球,为使轻质硬棒能绕转轴 O 转 到最高点,则底端小球在如图示位置应具有的最小速度 v= 。 解:系统的机械能守恒,Δ EP +Δ EK=0

1 1 ?v? m v2 ? m? ? ? m g ? l ? m g ? 2l 2 2 ? 2?

/>因为小球转到最高点的最小速度可以为 0 ,所以,

2

?

v?

24 gl ? 5

4.8 gl

例 2. 如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角θ =30°,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮。一柔 软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块 A 和 B 连结,A 的质量为 4m,B 的质量为 m,开始时将 B 按在地面上 不动,然后放开手,让 A 沿斜面下滑而 B 上升。物块 A 与斜面间无摩擦。设当 A 沿斜面下滑 S 距离后,细 线突然断了。求物块 B 上升离地的最大高度 H. 解:对系统由机械能守恒定律 4mgSsinθ – mgS = 1/2× 5 mv2∴ v2=2gS/5 细线断后,B 做竖直上抛运动,由机械能守恒定律 mgH= mgS+1/2× mv2 ∴ H = 1.2 S 例 3. 如图所示,半径为 R、圆心为 O 的大圆环固定在竖直平面内,两个轻质小圆环套在

大圆环上.一根轻质长绳穿过两个小圆环,它的两端都系上质量为 m 的重物,忽略小圆环的大小。 (1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ =30°的位置上(如图).在两个小圆环间绳子的中点 C 处,挂上一个质量 M= 2 m 的重物,使两个小圆环间的绳子水平,然后无初速释放重物 M.设绳子 与大、小圆环间的摩擦均可忽略,求重物 M 下降的最大距离. (2)若不挂重物 M.小圆环可以在大圆环上自由移动,且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均 可以忽略,问两个小圆环分别在哪些位置时,系统可处于平衡状态? 解:(1)重物向下先做加速运动,后做减速运动,当重物速度 为零时,下降的距离最大.设下降的最大距离为 h , 由机 得 (另解
2 Mgh ? 2mg ? h 2 ? ?Rsin θ ? ? Rsin θ ? ? ? ? h ? 2R ?

械能守恒定律得解

h=0 舍去) (2)系统处于平衡状态时,两小环的可

能位置为两小环同时位于大圆环的底端.

1

b.两小环同时位于大圆环的顶端.c.两小环一个位于大圆环的顶端,另一个位于大圆环的底端.d.除上 述三种情况外,根据对称性可知,系统如能平衡,则两小圆环的位置一定关于 大圆环竖直对称轴对称.设平衡时,两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α 角的 位置上(如图所示).对于重物,受绳子拉力与重力作用, 有 T=mg 对于小圆环,受到三个力的作用,水平绳的拉力 T、 竖直绳子的拉力 T、大圆

环的支持力 N.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等,方向相反 得α =α ′, 而α +α ′=90°,所以α =45 ° 例 4. 如图质量为 m1 的物体 A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2 的物体 B 相连,弹簧的劲度系数为 k, A、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体 A,另一端连一轻挂钩。开始时各段 绳都牌伸直状态,A 上方的一段沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为 m3 的物体 C 时 B 恰好不上升。若将 C 换成另一个质量为(m1+m3)物体 D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次 B 刚离地时 D 的速度的大小是 多少?已知重力加速度为 g。 解:开始时,B 静止平衡,设弹簧的压缩量为 x1,

kx1 ? m1 g
挂 C 后,当 B 刚要离地时,设弹簧伸长量为 x2,有

kx2 ? m2 g
此时,A 和 C 速度均为零。从挂 C 到此时,根据机械能守恒定律弹簧弹性 势能的改变量为

A m1
k

?E ? m3 g ( x1 ? x2 ) ? m1 g ( x1 ? x2 )
将 C 换成 D 后,有

?E ?

1 (m1 ? m3 ? m1 ) v 2 ? (m1 ? m3 ) g ( x1 ? x 2 ) ? m1 g ( x1 ? x 2 ) 2

B m2

联立以上各式可以解得

v?

2m1 (m1 ? m2 ) g 2 k (2m1 ? m3 )

2


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