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弹性模量及刚度关系


1、弹性模量: (1)定义
弹性模量:材料在弹性变形阶段内,正应力和对应的正应变的比 值。 材料在弹性变形阶段,其应力和应变成正比例关系(即符合胡克 定律) ,其比例系数称为弹性模量。 “弹性模量”是描述物质弹性的一个物理量,是一个总称,包括 “杨氏模量”“剪切模量”“体积模量”等。所以, 、 、 “弹性模量”和 “体积模量”是包含关系。 一般地讲,对弹性体施加一个外界

作用(称为“应力” )后,弹 性体会发生形状的改变(称为“应变”, )“弹性模量”的一般定义是: 应力除以应变。例如: 线应变——对一根细杆施加一个拉力 F,这个拉力除以杆的截面 积 S,称为“线应力” ,杆的伸长量 dL 除以原长 L,称为“线应变” 。 线应力除以线应变就等于杨氏模量 E=( F/S)/(dL/L) 剪切应变——对一块弹性体施加一个侧向的力 f(通常是摩擦 力) 弹性体会由方形变成菱形, , 这个形变的角度 a 称为 “剪切应变” , 相应的力 f 除以受力面积 S 称为“剪切应力” 。剪切应力除以剪切应 变就等于剪切模量 G=( f/S)/a 体积应变——对弹性体施加一个整体的压强 p, 这个压强称为 “体 积应力” ,弹性体的体积减少量(-dV)除以原来的体积 V 称为“体积应

变” ,体积应力除以体积应变就等于体积模量: K=P/(-dV/V) 在不易引起混淆时,一般金属材料的弹性模量就是指杨氏模量, 即正弹性模量。 单位:E(弹性模量)吉帕(GPa)

(2)影响因素
弹性模量是工程材料重要的性能参数,从宏观角度来说,弹性模 量是衡量物体抵抗弹性变形能力大小的尺度,从微观角度来说,则是 原子、离子或分子之间键合强度的反映。 凡影响键合强度的因素均能影响材料的弹性模量,如键合方式、 晶体结构、化学成分、微观组织、温度等。因合金成分不同、热处理 状态不同、冷塑性变形不同等,金属材料的杨氏模量值会有 5%或者 更大的波动。 但是总体来说, 金属材料的弹性模量是一个对组织不敏感的力学 性能指标,合金化、热处理(纤维组织) 、冷塑性变形等对弹性模量 的影响较小,温度、加载速率等外在因素对其影响也不大,所以一般 工程应用中都把弹性模量作为常数。

(3)意义
弹性模量可视为衡量材料产生弹性变形难易程度的指标, 其值越 大,使材料发生一定弹性变形的应力也越大,即材料刚度越大,亦即 在一定应力作用下,发生弹性变形越小。 弹性模量 E 是指材料在外力作用下产生单位弹性变形所需要的

应力。它是反映材料抵抗弹性变形能力的指标,相当于普通弹簧中的 刚度。

2、刚度 (1)定义
刚度:结构或构件抵抗弹性变形的能力,用产生单位应变所需的 力或力矩来量度。. 转动刚度(k) :——k=M/θ 其中,M 为施加的力矩,θ 为旋转角度。 其他的刚度包括:拉压刚度(Tension and compressionstiffness) 、 轴力比轴向线应变(EA)、剪切刚度(shear stiffness) 、剪切力比剪切 应变(GA)、扭转刚度(torsional stiffness)、扭矩比扭应变(GI)、弯曲 刚度(bending stiffness) 、弯矩比曲率(EI)

(2)计算方法
计算刚度的理论分为小位移理论和大位移理论。 大位移理论根据结构受力后的变形位置建立平衡方程, 得到的结 果精确,但计算比较复杂。小位移理论在建立平衡方程时暂时先假定 结构是不变形的,由此从外载荷求得结构内力以后,再考虑变形计算 问题。 大部分机械设计都采用小位移理论。例如,在梁的弯曲变形计算 中,因为实际变形很小,一般忽略曲率式中的挠度的一阶导数,而用

挠度的二阶导数近似表达梁轴线的曲率。 这样做的目的是将微分方程 线性化,以大大简化求解过程;而当有几个载荷同时作用时,可分别 计算每个载荷引起的弯曲变形后再叠加。

(3)分类及意义
静载荷下抵抗变形的能力称为静刚度。 动载荷下抵抗变形的能力 称为动刚度, 即引起单位振幅所需的动态力。 如果干扰力变化很慢 (即 干扰力的频率远小于结构的固有频率) ,动刚度与静刚度基本相同。 干扰力变化极快(即干扰力的频率远大于结构的固有频率时) ,结构 变形比较小,即动刚度比较大。当干扰力的频率与结构的固有频率相 近时,有共振现象,此时动刚度最小,即最易变形,其动变形可达静载 变形的几倍乃至十几倍。 构件变形常影响构件的工作, 例如齿轮轴的过度变形会影响齿轮 啮合状况,机床变形过大会降低加工精度等。影响刚度的因素是材料 的弹性模量和结构形式,改变结构形式对刚度有显著影响。 刚度计算是振动理论和结构稳定性分析的基础。 在质量不变的情 况下,刚度大则固有频率高。静不定结构的应力分布与各部分的刚度 比例有关。在断裂力学分析中,含裂纹构件的应力强度因子可根据柔 度求得。

3、弹性模量与刚度关系
一般来说,刚度和弹性模量是不一样的。弹性模量是物质组分的

性质; 而刚度是固体的性质。 也就是说, 弹性模量是物质微观的性质, 而刚度是物质宏观的性质。 材料力学中, 弹性模量与横梁截面转动惯量的乘积表示为各类刚 度,如 GI 为抗扭刚度,EI 为抗弯刚度

刚度 受外力作用的材料、构件或结构抵抗变形的能力。材料的刚度由 使其产生单位变形所需的外力值来量度。 各向同性材料的刚度取决于 它的弹性模量 E 和剪切模量 G(见胡克定律)。结构的刚度除取决于组 成材料的弹性模量外,还同其几何形状 、边界条件等因素以及外力 的作用形式有关。 分析材料和结构的刚度是工程设计中的一项重要工作。 对于一些 须严格限制变形的结构(如机翼、高精度的装配件等) ,须通过刚度 分析来控制变形。许多结构(如建筑物、机械等)也要通过控制刚度 以防止发生振动、颤振或失稳。另外,如弹簧秤、环式测力计等,须 通过控制其刚度为某一合理值以确保其特定功能。 在结构力学的位移 法分析中, 为确定结构的变形和应力, 通常也要分析其各部分的刚度。 刚度是指零件在载荷作用下抵抗弹性变形的能力。零件的刚度 (或称刚性)常用单位变形所需的力或力矩来表示,刚度的大小取决

于零件的几何形状和材料种类(即材料的弹性模量) 。刚度要求对于 某些弹性变形量超过一定数值后, 会影响机器工作质量的零件尤为重 要,如机床的主轴、导轨、丝杠等。

强度 金属材料在外力作用下抵抗永久变形和断裂的能力称为强度。 按 外力作用的性质不同,主要有屈服强度、抗拉强度、抗压强度、抗弯 强度等,工程常用的是屈服强度和抗拉强度,这两个强度指标可通过 拉伸试验测出 强度是指零件承受载荷后抵抗发生断裂或超过容许限度的残余 变形的能力。也就是说,强度是衡量零件本身承载能力(即抵抗失效 能力)的重要指标。强度是机械零部件首先应满足的基本要求。机械 零件的强度一般可以分为静强度、疲劳强度(弯曲疲劳和接触疲劳 等) 、断裂强度、冲击强度、高温和低温强度、在腐蚀条件下的强度 和蠕变、胶合强度等项目。强度的试验研究是综合性的研究,主要是 通过其应力状态来研究零部件的受力状况以及预测破坏失效的条件 和时机。 强度是指材料承受外力而不被破坏(不可恢复的变形也属被破坏) 的能力.根据受力种类的不同分为以下几种: (1)抗压强度--材料承受压力的能力. (2)抗拉强度--材料承受拉力的能力. (3)抗弯强度--材料对致弯外力的承受能力.

(4)抗剪强度--材料承受剪切力的能力.


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