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人教A版数学必修一《指数函数及其性质》基础知识讲解


指数函数及其性质 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域; 2.掌握指数函数图象: (1)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识 指数函数的性质; (2)掌握底数对指数函数图象的影响; (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别. 3.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的类型; 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体 会数形结合的思想方法; 5.通过对指数函数的研究,要认识到数学的应用价值,更善于从现实生活中发现问题, 解决问题. 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念: x 函数 y=a (a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 为常数,函数定义域为 R. 要点诠释: (1)形式上的严格性:只有形如 y=a (a>0 且 a≠1)的函数才是指数函数.像 y ? 2 ? 3x , x y ? 2 x , y ? 3x ? 1 等函数都不是指数函数. (2)为什么规定底数 a 大于零且不等于 1: ①如果 a ? 0 ,则 ? x ? ? x ? 0时,a 恒等于0, x ? ? x ? 0时,a 无意义. 1 ②如果 a ? 0 ,则对于一些函数,比如 y ? (?4) x ,当 x ? 内函数值不存在. 1 1 , x ? , ??? 时,在实数范围 2 4 x ③如果 a ? 1 ,则 y ? 1 ? 1 是个常量,就没研究的必要了. 要点二、指数函数的图象及性质: y=a 0<a<1 时图象 x a>1 时图象 图象 ①定义域 R,值域 (0,+∞) ②a =1, 即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点 性质 ③a =a,即 x=1 时,y 等于底数 a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 x 0 ⑤x<0 时,a >1 x x>0 时,0<a <1 ⑥ 既不是奇函数,也不是偶函数 x ⑤x<0 时,0<a <1 x x>0 时,a >1 x 要点诠释: (1)当底数大小不定时,必须分“ a ? 1 ”和“ 0 ? a ? 1 ”两种情形讨论。 (2)当 0 ? a ? 1 时, x ? ??, y ? 0 ;当 a ? 1 时 x ? ??, y ? 0 。 当 a ? 1 时, a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快。 当 0 ? a ? 1 时, a 的值越小,图象越靠近 y 轴,递减的速度越快。 ?1? (3)指数函数 y ? a 与 y ? ? ? 的图象关于 y 轴对称。 ?a? x x 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 (1) ① y ? ax ② y ? bx ③ y ? c x ④ y ? d x 则:0<b<a<1<d<c 又即:x∈(0,+∞)时, b x ? a x ? d x ? c x (底大幂大) x∈(-∞,0)时, b x ? a x ? d x ? c x (2)特殊函数 y ? 2x , y ? 3x , 1 y ? ( )x , 2 1 y ? ( ) x 的图像: 3 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: ①若 A ? B ? 0 ? A ? B ; A ? B ? 0 ? A ? B ; A ? B ?


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