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2015年高考数学(理)试题分类汇编:专题07 不等式


1.【2015 高考四川,理 9】如果函数 f ? x ? ? 调递减,则 mn 的最大值为( (A)16 【答案】B 【解析】 (B)18 ) (C)25

1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 上单 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ? ?
81 2

(D)<

br />
m ? 2 时,抛物线的对称轴为 x ? ? 2m ? n ? 12 .?
2m ? n ?

n ?8 n ?8 .据题意 ,当 m ? 2 时, ? ?2即 m?2 m?2

2m ? n ? 6,? mn ? 18 .由 2m ? n 且 2m ? n ? 12 得 m ? 3, n ? 6 .当 m ? 2 时,抛 2
n ?8 1 ? 即 m ? 2n ? 18 .? m?2 2 2n ? m ? 2n ? m 81 ? 9,? mn ? .由 2n ? m 且 2 2

物线开口向下,据题意得, ?

m ? 2n ? 18 得 m ? 9 ? 2 ,故应舍去.要使得 mn 取得最大值,应有 m ? 2n ? 18 (m ? 2, n ? 8) .所以
mn ? (18 ? 2n)n ? (18 ? 2 ? 8) ? 8 ? 16 ,所以最大值为 18.选 B..
【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师指点】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到 m、n 满足的条件,然后利用基 本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的 交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现.
?x ? y ≤ 0 , ? 2.【2015 高考北京,理 2】若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ≥ 0 , ?



A.0 【答案】D

B.1

C.

3 2

D.2

【解析】如图,先画出可行域,由于 z ? x ? 2y ,则 y ? ?

1 1 x ? z ,令 Z ? 0 ,作直线 2 2

y ? ?

1 x ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大, Z 取得最小值 2. 2

考点定位:本题考点为线性规划的基本方法 【名师指点】本题考查线性规划解题的基本方法,本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可 行域,利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义,令 z ? 0 ,画出直线 y ? ?

1 x ,在可行域内平移 2

该直线,确定何时 z 取得最大值,找出此时相应的最优解,依据线性目标函数求出最值,这是最基础的线 性规划问题.

?4 x ? 5 y ? 8 ? 3. 【2015 高考广东,理 6】若变量 x , y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为( ?0 ? y ? 2 ?
A.



31 5

B. 6

C.

23 5

D. 4

【答案】 C .

【考点定位】二元一次不等式的线性规划. 【名师指点】本题主要考查学生利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应用,数形结合 思想的应用和运算求解能力,本题关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的可行域和准确判断目标函

数直线出取得最小值的可行解,属于容易题. 4. 【2015 高考陕西, 理 9】 设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b , 若 p ? f ( ab ) ,q ? f ( 则下列关系式中正确的是( A. q ? r ? p 【答案】C ) B. q ? r ? p C. p ? r ? q D. p ? r ? q

a?b 1 ) ,r ? ( f (a ) ? f (b)) , 2 2

a?b a?b 1 1 ) ? ln , r ? ( f (a ) ? f (b)) ? ln ab ? ln ab ,函 2 2 2 2 a?b a?b ? ab ,所以 f ( ) ? f ( ab ) ,所以 q ? p ? r ,故 数 f ( x) ? ln x 在 ? 0, ??? 上单调递增,因为 2 2
【解析】 p ? f ( ab ) ? ln ab , q ? f ( 选 C. 【考点定位】1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性. 【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性,属于容易题.解题时一定要注意检 验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号,否则很容易出现错误.本题先判断 关系,再利用基本初等函数的单调性即可比较大小.
[t 2 ] ? 2 , 5. 【2015 高考湖北, 理 10】 设 x ?R , 使得 [t ] ? 1 , …, [ x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t ,

a?b 和 ab 的大小 2

[t n ] ? n 同时成立 ,则正整数 n 的最大值是( ....

) D.6

A.3 【答案 】B

B.4

C.5

2 2 4 【解析】因为 [ x] 表示不超过 x 的最大整数.由 [t ] ? 1 得 1 ? t ? 2 ,由 [t ] ? 2 得 2 ? t ? 3 ,由 [t ] ? 3 得

5 4 ? t 4 ? 5 ,所以 2 ? t 2 ? 5 ,所以 2 ? t 2 ? 5 ,由 [t 3 ] ? 3 得 3 ? t 3 ? 4 ,所以 6 ? t ? 4 5 ,由 [t 5 ] ? 5
5 得 5 ? t ? 6 ,与 6 ? t ? 4 5 矛盾,故正整数 n 的最大值是 4.

5

【考点定位】函数的值域,不等式的性质. 【名师指点】这类问题一般有两种:[ x] 表示不超过 x 的最大整数;{x} 表示不小于 x 的最大整数. 应注意区 别.

?x ? 2 ? 0 ? 6.【2015 高考天津,理 2】设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
( ) (B)4 (C)18 (D)40

(A)3

【答案】C

【考点定位】线性规划. 【名师指点】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义,将二元一次不等式(组)的几何意义 与求线性目标函数的最值问题结合在一起,考查线性相关问题和数形结合的数学思想,同时考查学生的作 图能力与运算能力.本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域,与平时教学中的练习题有出入,是易错 问题. 7.【2015 高考陕西,理 10】某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品需 原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业 每天可获得最大利润为( A.12 万元 乙 甲
科网] [来源:学

) B.16 万元 原料限额 C.17 万元 D.18 万元

? (吨)

3
1

2 2

12

? (吨)
【答案】D

8

【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x 、 y 吨,则利润 z ? 3x ? 4 y

?3 x ? 2 y ? 12 ?x ? 2 y ? 8 ? 由题意可列 ? ,其表示如图阴影部分区域: ?x ? 0 ? ?y ? 0

当直线 3x ? 4 y ? z ? 0 过点 A(2,3) 时, z 取得最大值,所以 zmax ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 ,故选 D. 【考点定位】线性规划. 【名师点晴】本题主要考查的是线性规划,属于容易题.线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式 组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义,通过数形结合确定目标函数何时取得最值.解题时 要看清楚是求“最大值”还是求“最小值” ,否则很容易出现错误;画不等式组所表示的平面区域时要通过 特殊点验证,防止出现错误. 8.【2015 高考山东,理 5】不等式 x ?1 ? x ? 5 ? 2 的解集是( (A) (- ,4) 【答案】A 【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集; (B) (- ,1) ) (D) (1,5)

(C) (1,4)

?x ? 1 ?1 ? x ? 5 ?x ? 5 (I ) ? ( II ) ? ( III ) ? ?1 ? x ? x ? 5 ? 2 ? x ?1 ? x ? 5 ? 2 ? x ?1 ? x ? 5 ? 2
解(I)得: x ? 1 ,解(II)得: 1 ? x ? 4 ,解(III)得: x ? ? , 所以,原不等式的解集为 x x ? 4

?

?

.故选 A.

【考点定位】含绝对值的不等式的解法. 【名师指点】本题考查了含绝对值的不等 式的解法,重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的 不等式

转化为不含绝对值的不等式(组)从而求解的能力,本题属中档题.

? x ? 2 y ? 0, ? 9. 【2015 高考福建, 理 5】 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值等于 ( ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
A. ?

)

5 2

B. ? 2

C. ?

3 2

D.2

值,解该类题目时候,往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较,否则很容易出错,属于基础 题.

?x ? y ? 0 ? y 的最大值为 4,则 a ? ( 10.【2015 高考山东, 理 6】 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 z ? ax ? ?y ? 0 ?
(A)3 【答案】B (B)2 (C)-2 (D)-3



?x ? y ? 0 ? 【解析】不等式组 ? x ? y ? 2 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示, ?y ? 0 ?

若 z ? ax ? y 的最大值为 4,则最优解可能为 x ? 1, y ? 1 或 x ? 2, y ? 0 ,经检验,x ? 2, y ? 0 是最优解, 此时 a ? 2 ; x ? 1, y ? 1 不是最优解.故选 B 【考点定位】简单的线性规划问题. 【名师指点】本题考查了简单的线性规划问题,通过确定参数 a 的值,考查学生对线性规划的方法理解的 深度以及应用的灵活性,意在考查学 生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.

?x ?1 ? 0 y ? 11.【2015 高考新课标 1,理 15】若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
【答 案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,

.

y 是可行域内一点与原点连线的斜率,由图 x

可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故

y 的最大值为 3. x

【考点定位】线性规划解法 【名师指点】对线性规划问题,先作出可行域,在作出目标函数,利用 z 的几何意义,结合可行域即可找 出取最值的点,通 过解方程组即可求出做最优解,代入目标函数,求出最值,要熟悉相关公式,确定目标 函数的意义是解决最优化问题的关键,目标函数常有距离型、直线型和斜率型.

12.【2015 高考浙江,理 14】若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 2x ? y ? 2 ? 6? x? 3 y 的最小值是 【答案】 3 .



【考点定位】1.线性规划的运用;2.分类讨论的数学思想;3.直线与圆的位置关系 【名师指点】本题主要考查了以线性规划为背景的运用,属于中档题根据可行域是圆及其内部的特点,结 合直线与圆的位置关系的判定,首先可以将目标函数的两个绝对值号中去掉一个,再利用分类讨论的数学 思想去掉其中一个绝对值号,利用线性规划知识求解,理科试卷的线性规划问题基本考查含参的线性规划 问题或者是利用线性规划的知识解决一些非线性的目标函数或可行域的问题,常需考查目标函数或可行域 的几何意义求解,在复习时应予以关注.

? x ? y ? 1 ? 0, ? ? 的最大值为____________. 13. 【2015 高考新课标 2, 理 14】 若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, , 则 z ?x y ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
【答案】

3 2

【解析】画出可行域,如图所示,将目标函数变形为 y ? ? x ? z ,当 z 取到最大时,直线 y ? ? x ? z 的纵截

距最大,故将直线尽可能地向上平移到 D (1, ) ,则 z ? x ? y 的最大值为 【考点定位】线性规划.
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

1 2

3 .学科网 2

[来源:学科网 ZXXK]

y

B D
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

C

【名师指点】本题考查线性规划,要正确作图,首先要对目标函数进行分析,什么时 候目标函数取到最大 值,解该类题目时 候,往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较,否则很容易出错,属于基 础题. 14.【2015 高考江苏,7】不等式 2 【答案】 (?1, 2). 【解析】由题意得: x 2 ? x ? 2 ? ?1 ? x ? 2 ,解集为 (?1, 2). 【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式 【名师点晴】指数不等式 按指数与 1 的大小判断其单调性,决定其不等号是否变号;对于一元二次方程
x2 ? x

? 4 的解集为________.

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集,先研究 ? ? b 2 ? 4ac ,按照 ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 三种情况分别处理,
具体可结合二次函数图像直观写出解集.

? x ? y ? ?1 ? 15.【2015 高考湖南,理 4】若变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为( ? y ?1 ?
A.-7 【答案】A. B.-1 C.1 D.2
[来源:Zxxk.Com]



【解析】如下图所示,画出线性约束条件所表示的区域,即可行域,作直线 l : 3x ? y ? 0 ,平移 l ,从 而可知当 x ? ?2 , y ? 1 时, zmin ? 3? (?2) ?1 ? ?7 的最小值是 ? 7 ,故选 A.

【考点定位】线性规划. 【名师指点】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值,属于容易题,在画可行域时,首先必 须找准可行域的范围,其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小,从而确定目标函数取到最优解时所经 过的点,切忌随手一画导致错解. 【2015 高考上海, 理 17】 记方程①:x2 ? a1x ? 1 ? 0 , 方程②:x2 ? a2 x ? 2 ? 0 , 方程③:x2 ? a3 x ? 4 ? 0 , 其中 a1 , a2 , a3 是正实数.当 a1 , a2 , a3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( A.方程①有实根,且②有实根 C.方程①无实根,且②有实根 【答案】B B.方程①有实根,且②无实根 D.方程①无实根,且②无实根 )

【考点定位】不等式性质 【名师指点】不等式的基本性质:同向同正可乘性 ?

?a ? b ? 0 ?a ? b ? 0 a b ? ac ? bd ,可推: ? ? ? 一元 ?c ? d ? 0 ?c ? d ? 0 d c

二次方程有解的充要性: ? ? 0 ;一元二次方程无解的充要性: ? ? 0 ;利用不等式性质可以求某些代数式 的取值 范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩 大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次 性”不等关系的运算求解范围.


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