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第四章 圆与方程 章末检测(人教A版必修2)


第四章 圆与方程 章末检测
一、选择题 1.方程 x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0 表示的图形是 A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b) 答案 D 解析 由题意配方得(x+a)2+(y+b)2=0,所以方程表示点(-a,-b). 2.点 P(m,3)与圆(x-2)2+(y-1)2=2 的位置关系为 A

.点在圆外 C.点在圆上 答案 A 解析 圆心坐标 O(2,1), |OP|= ?m-2?2+?3-1?2= ?m-2?2+4≥ 4 = 2.圆的半径为 B.点在圆内 D.与 m 的值有关 ( ) ( )

2,由于|OP|> 2,所以点 P 在圆外. 3.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)和 B(x,-1,6)的距离为 86,则 x 的值为 A.2 C.2 或-8 答案 C 解析 由距离公式得(x+3)2+(-5)2+62=86,解得 x=2 或-8. 4.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞,-3] C.[-3,1] 答案 C 解析 利用直线和圆的位置关系求解. 由题意知,圆心为(a,0),半径 r= 2. 若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离小于或等于半径, |a-0+1| 即 ≤ 2,∴|a+1|≤2.∴-3≤a≤1,故选 C. 2 5.设 A、B 是直线 3x+4y+2=0 与圆 x2+y2+4y=0 的两个交点,则线段 AB 的垂直平分线 的方程是 A.4x-3y-2=0 B.4x-3y-6=0 ( ) B.[1,+∞) D.(-∞,-3]∪[1,+∞) ( ) B.-8 D.8 或-2 ( )

C.3x+4y+6=0 答案 B

D.3x+4y+8=0

解析 此题实际上是求过圆心(0,-2)且与直线 3x+4y+2=0 垂直的直线方程,即 y+2 4 = x, 3 整理,得 4x-3y-6=0. 6.圆 x2+y2-4x=0 过点 P(1, 3)的切线方程为 A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 答案 D 解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为 则过(1, 3)的切线方程为 x- 3y+2=0. 7.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是 A.相离 C.相交但直线不过圆心 答案 C 解析 利用圆心到直线的距离与半径的大小比较求解. ∵x2+y2=2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离 |0-0+1| 1 d= ≤1, 2 = 1+k 1+k2 又∵r= 2,∴0<d<r. ∴直线与圆相交但直线不过圆心. 8.已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积为 A.5 答案 D 解析 因为点 A(1,2)在圆 x2+y2=5 上,故过点 A 的圆的切线方程为 x+2y=5,令 x=0 5 得 y= . 2 1 5 25 令 y=0 得 x=5,故 S△= × ×5= . 2 2 4 B.10 25 C. 2 25 D. 4 ( ) B.相切 D.相交且直线过圆心 ( ) 3 , 3 ( )

9.将直线 2x-y+λ=0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切, 则实数 λ 的值为 A.-3 或 7 C.0 或 10 答案 A 解析 由题意知:直线 2x-y+λ=0 平移后方程为 2(x+1)-y+λ=0.直线与圆相切,则 |2×?-1+1?-2+λ| 圆心到直线的距离等于圆的半径,因而有 = 5,得 λ=-3 或 7. 5 10.已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则 A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离 答案 A 解析 将点 P 的坐标代入圆的方程,判断确定. 将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程,得 32+02-4×3=9-12=-3<0, ∴点 P(3,0)在圆内. ∴过点 P 的直线 l 定与圆 C 相交. 11.若直线 mx+2ny-4=0(m、n∈R,n≠m)始终平分圆 x2+y2-4x-2y-4=0 的周长,则 mn 的取值范围是 A.(0,1) C.(-∞,1) 答案 C 解析 圆 x2+y2-4x-2y-4=0 可化为(x-2)2+(y-1)2=9, 直线 mx+2ny-4=0 始终平 分圆周,即直线过圆心(2,1),所以 2m+2n-4=0,即 m+n=2,mn=m(2-m)=-m2 +2m=-(m-1)2+1≤1,当 m=1 时等号成立,此时 n=1,与“m≠n”矛盾,所以 mn <1. 12.过点 P(-2,4)作圆 O:(x-2)2+(y-1)2=25 的切线 l,直线 m:ax-3y=0 与直线 l 平行, 则直线 l 与 m 的距离为 A.4 答案 A 解析 ∵点 P 在圆上,∴切线 l 的斜率 k=- 4 ∴直线 l 的方程为 y-4= (x+2), 3 即 4x-3y+20=0.又直线 m 与 l 平行, 1 4 = . kOP 3 B.2 8 C. 5 12 D. 5 ( ) B.(0,-1) D.(-∞,-1) ( ) B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能 ( ) B.-2 或 8 D.1 或 11 ( )

∴直线 m 的方程为 4x-3y=0. 故两平行直线的距离为 d= 二、填空题 13.与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程为________. 答案 2x+3y+8=0 解析 ∵所求直线平行于直线 2x+3y-6=0,∴设所求直线方程为 2x+3y+c=0, |2-3+c| |2-3-6| 由 2 = ,∴c=8,或 c=-6(舍去), 2 +32 22+32 ∴所求直线方程为 2x+3y+8=0. 14.过点 P(-2,0)作直线 l 交圆 x2+y2=1 于 A、B 两点,则|PA|· |PB|=________. 答案 3 解析 过 P 作圆的切线 PC,切点为 C,在 Rt△POC 中,易求|PC|2=3,由切割线定理, |PA|· |PB|=|PC|2=3. 15.若垂直于直线 2x+y=0,且与圆 x2+y2=5 相切的切线方程为 ax+2y+c=0,则 ac 的 值为________. 答案 ± 5 =4. 42+?-3?2 |0-20|

a 解析 已知直线斜率 k1=-2,直线 ax+2y+c=0 的斜率为- . 2 a |c| ∵两直线垂直,∴(-2)· (- )=-1,得 a=-1.圆心到切线的距离为 5,即 = 5,∴c 2 5 =± 5,故 ac=± 5. 16.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少 存在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点, 则 k 的最大值是________. 答案 4 3

解析 可转化为圆 C 的圆心到直线 y=kx-2 的距离不大于 2. 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2, 即 |4k-2|
2

4 ≤2.整理,得 3k2-4k≤0.解得 0≤k≤ . 3 k +1

4 故 k 的最大值是 . 3

三、解答题 17.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 x2+ y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程. 解

如图所示,已知圆 C:x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆为 C1:(x-2)2+(y+2)2 =1,其圆心 C1 的坐标为(2,-2),半径为 1,由光的反射定律知,入射光线所在直线 方程与圆 C1 相切.设 l 的方程为 y-3=k(x+3), 即 kx-y+3+3k=0. 则 |5k+5| 1+k
2=1,即

12k2+25k+12=0.

4 3 ∴k1=- ,k2=- . 3 4 则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. 18.已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q 两点,O 为原点,若 OP⊥OQ,求实数 m 的值. 解 设 P,Q 两点坐标为(x1,y1)和(x2,y2),由 OP⊥OQ 可得 x1x2+y1y2=0,
?x2+y2+x-6y+m=0, ? 由? ? ?x+2y-3=0,

可得 5y2-20y+12+m=0.① 12+m 所以 y1y2= ,y1+y2=4. 5 又 x1x2=(3-2y1)(3-2y2) =9-6(y1+y2)+4y1y2 4 =9-24+ (12+m), 5 12+m 4 所以 x1x2+y1y2=9-24+ (12+m)+ =0, 5 5 解得 m=3. 将 m=3 代入方程①,可得 Δ=202-4×5×15=100>0, 可知 m=3 满足题意, 即 3 为所求 m 的值.

19.已知圆 x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(m∈R). (1)求证:不论 m 为何值,圆心在同一直线 l 上; (2)与 l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离; (3)求证:任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. (1)证明 配方得:(x-3m)2+(y-m+1)2=25, 设圆心为(x,y),
? ?x=3m 则? ,消去 m 得 ? ?y=m-1

x-3y-3=0, 则圆心恒在直线 l:x-3y-3=0 上. (2)解 设与 l 平行的直线是 l1:x-3y+b=0,

则圆心到直线 l1 的距离为 |3m-3?m-1?+b| |3+b| d= = . 10 10 ∵圆的半径为 r=5, ∴当 d<r,即-5 10-3<b<5 10-3 时,直线与圆相交; 当 d=r,即 b=± 5 10-3 时,直线与圆相切; 当 d>r,即 b<-5 10-3 或 b>5 10-3 时,直线与圆相离. (3)证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1:x-3y+b=0, |3+b| 由于圆心到直线 l1 的距离 d= , 10 弦长=2 r2-d2且 r 和 d 均为常量. ∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

20.如图,已知圆 O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P(a,b)向圆 O 引切线 PQ, 切点为 Q, 且有|PQ|=|PA|. (1)求 a、b 间关系; (2)求|PQ|的最小值; (3)以 P 为圆心作圆,使它与圆 O 有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.

解 (1)连接 OQ、OP,则△OQP 为直角三角形,

又|PQ|=|PA|, 所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|PA|2, 所以 a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,故 2a+b-3=0. (2)方法一 由(1)知,P 在直线 l:2x+y-3=0 上, 所以|PQ|min=|PA|min,|PA|min 为 A 到直线 l 的距离, 所以|PQ|min= 方法二 |2×2+1-3| 2 5 = . 5 22+12

由 |PQ|2 = |OP|2 - 1 = a2 + b2 - 1 = a2 + 9 - 12a + 4a2 - 1 = 5a2 - 12a + 8 = 5(a - 2 5 . 5

1.2)2+0.8,得|PQ|min=

(3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点,半径最小时为与圆 O 相切的情形,而这些半径的 最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径,圆心 P 为过原点且与 l 垂直的直线 l′ 与 l 的交点 P0,所以 r= 3 3 5 2-1= 5 -1, 2 +1
2

6 3 又 l′:x-2y=0,联立 l:2x+y-3=0 得 P0( , ). 5 5 6 3 3 5 所以所求圆的方程为(x- )2+(y- )2=( -1)2. 5 5 5


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