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四川省成都七中2014届高三数学“一诊”模拟考试试题 理 新人教A版


成都七中高 2014 届一诊模拟数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟总分:150 分 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. ) 1.已知集合 A ? ??1,0, a? , B ? ?x | 0 ? x ? 1? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是() A ?1? 2.复数 i ? ( A -2 3.定义行列式运算:
a1 a3

B ( ??, 0)

C (1, ??) ) C 0
? a1a4 ? a2 a3 , 将函数 f ( x) ?

D (0,1)

1? i ) 的虚部为( 1? i
B -1 a2
a4

D 1

3 1

cos x sinx

的图象向左平移 m

个单位 (m ? 0) ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是() 2? ? ? 5 A B C D ? 3 3 8 6 4.阅读下边的程序框图,若输出 S 的值为-14,则判断框内可填写( A.i<6 ? B.i<8 ? C.i<5 ? D.i<7 ?
n 5.二项式 ( ? x x ) 展开式中含有 x 2 项,则 n 可能的取值是()



1 x

A 5

B 6

C 7

D 8

6.已知命题 p : ?x ? (??,0), 3 x ? 4 x ; 命题 q : ?x ? (0, A p?q

?
2

), tan x ? x 则下列命题中真命题是( )
C

B p ? ( ?q )

p ? ( ?q )

D ( ?p ) ? q

7.已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2 a5 。若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 9 ? 的最小值为( m n
A

)

8 3

B

11 4

C

14 5

D

17 6

8.平面四边形 ABCD 中,AD=AB= 2 ,CD=CB= 5 ,且 AD ? AB ,现将 ? ABD 沿着对角线 BD
/ 翻折成 ?A BD , 则在 ?A BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中, 直线 A C 与平面 BCD 所

/

/

成的最大角的正切值为(

)

1

A 1

B

1 2

C

3 3

D

3

9. 已 知 f (x) 、 g (x) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , g ( x ) ? 0, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,

f ( x) ? a x g ( x) ,

5 f (1) f (?1) 5 ? ? ,则关于 x 的方程 abx 2 ? 2 x ? ? 0(b ? (0,1)) 有 2 g (1) g (?1) 2
2 5
3 5

两个不同实根的概率为() A

1 5

B

C

D

4 5

10.已知 f ( x ) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。当 x ? [0,1] 时 ,

2f

x ? ( 5

f

) f ( x?

( x)

?

) 1

f, ,?

(则 x

1

f (?

150 151 170 171 ) ? f (? ) ? ? ? f (? ) + f (? )?( 2014 2014 2014 2014

)

A?

11 27 B ?5 C ?6 D ? 5 2
3

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 ) 11. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________ cm 12.若 sin(

? 1 2? ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) ? ___________ 6 3 3

13.已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,M 为 AC 的中点, P 在线段 DM 上,则 ( AP ? BP) 的最小值为_____________;
2

14.已知偶函数 f ( x ) 满足对任意 x ? R ,

? m (1 ? x 2 ), x ? [0,1] 均有 f (1 ? x ) ? f (3 ? x ) 且 f ( x ) ? ? ,若 ? x ? 1, x ? (1, 2]
方程 3 f ( x ) ? x 恰有 5 个实数解,则实数 m 的取值范围是_______; 15.已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AC1 与 平面 A1 BD , CB1 D1 交于 E , F 两点。给出以下命题, 其中真命题有________(写出所有正确命题的序号)

D1 A1 F D A E C B B1

C1

2

①点 E , F 为线段 AC1 的两个三等分点; ② ED1 ? ?

???? ?

? 2 ???? 1 ???? 1 ???? DC ? AD ? AA1 ; 3 3 3

③设 A1 D1 中点为 M , CD 的中点为 N ,则直线

MN 与面 A1 DB 有一个交点;
④ E 为 ?A1 BD 的内心; ⑤设 K 为 ?B1CD1 的外心,则

VK ? BED 为定值. VA1 ? BFD

三.解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 16.已知 O 为坐标原点, OA ? (2sin2 x ,1),OB ? (1,? 2 3 sinx cosx ? 1) f ( x) ? OA ? OB ? m . , (Ⅰ)若 f (x) 的定义域为 [?

?
2

, ? ] ,求 y ? f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f (x) 的定义域为 [ , ? ] ,值域为 [2,5] ,求 m 的值. 2

?

17.成都七中为绿化环境, 移栽了银杏树 2 棵, 梧桐树 3 棵。 它们移栽后的成活率分别为

2 1 , 3 2

3

且每棵树是否存活互不影响,求移栽的 5 棵树中: (1)银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵的概率; (2)成活的棵树 ? 的分布列与期望.

18.如图四棱锥 P? ABCD中,底面 ABCD是平行四边形, PG ? 平面 ABCD,垂足为 G , 1 G 在 AD 上且 AG ? GD , BG? GC ,GB ?GC ? 2 , E 是 BC 的中点,四面体 P? BCG 3 的体积为 . (1)求二面角 P ? BC ? D 的正切值; (2)求直线 DP 到平面 PBG所成角的正弦值; (3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使异面直线 DF 与 GC 所成的角为 60 0 ,若存在,确定 点 F 的位置,若不存在,说明理由.
P

8 3

A

G

D

B

E

C

19.已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? x 2 ? ax . 3

(1)若 f ( x ) 在区间 [1, ?? ) 单调递增,求 a 的最小值; (2)若 g ( x ) ?

x 1 1 ,对 ?x1 ? [ , 2], ?x2 ? [ , 2] ,使 f ?( x1 ) ? g( x2 ) 成立,求 a 的范围. x e 2 2

20.已知数列 {an },(n ? N ) 满足 a1 ? 1 ,且对任意非负整数 m , n( m ? n) 均有:

4

am ? n ? am ? n ? m ? n ? 1 ?
(1)求 a0 , a2 ;

1 (a ? a2 n ) . 2 2m

(2)求证:数列 {am?1 ? am }(m ? N ) 是等差数列,并求 an (n ? N ) 的通项;
* *

(3)令 cn ? an ? 3n ? 1( n ? N ) ,求证:
*

?c
k ?1

n

1
k

?

3 4

21. 定义函数 f k ( x ) ?

a ln x 为 f ( x ) 的 k 阶函数. xk

(1)求一阶函数 f1 ( x ) 的单调区间; (2)讨论方程 f 2 ( x ) ? 1 的解的个数; (3)求证: 3ln n! ? 1 ? 2 e ? 3 e ? ?? n e
3 3 2 3 n?1

(n ? N * ) .

5

成都七中高 2014 届一诊模拟 数学试卷(理科) (参考答案) 1-10:DCABD 11. DBCBA

8 4 4 8 7 7 6 ? 12. ? 13. 1 ? 14. ( ? , ? ) ? ( , ) 15.①⑤ 3 3 3 3 3 9 3

16.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? m = 1 ? cos2x ? 3 sin x ? 1 ? m = ? 2 sin( 2 x ? 由

?
6

) ? 2 ? m ??????3 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2k? (k ? Z ) 2

得 y ? f (x) 在 R 上的单调递增区间为 [k? ? 又 f (x) 的定义域为 [?

?
6

, k? ?

2? ] (k ? Z ) 3

?
2

,? ] ,

∴ y ? f (x) 的增区间为: [ ?

?

? ? 2? , ? ],[ , ] (中间若用“ ? ”扣 2 分)?????7 分 2 3 6 3

(Ⅱ)当

?
2

? x ? ? 时,

7? ? 13? ? 1 ? 2x ? ? ∴ ? 1 ? sin( 2 x ? ) ? 6 6 6 6 2

∴ 1 ? m ? f ( x) ? 4 ? m ,∴ ?

?1 ? m ? 2 ? m ? 1????????????12 分 ?4 ? m ? 5

17.解: (1)设 A 表示“银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵” 设 Ai (i ? 0,1, 2) 表示“银杏树成活 i 棵” P ( A0 ) ? ;

1 4 4 ; P ( A1 ) ? ; P ( A2 ) ? 9 9 9

6

; Bk (k ? 0,1, 2, 3) 表 示 “ 梧 桐 树 成 活 k 棵 ” P ( B0 ) ?

1 3 3 ; P ( B1 ) ? ; P ( B2 ) ? ; 8 8 8

P ( B3 ) ?

1 ????????????????????????3 分 8 3 1 = ?????????????????5 分 18 6 1 72

P ( A) ? P ( A2 ) ? P ( B2 ) ?

(2) ? 可能的取值: 0,1, 2, 3, 4, 5 P (? ? 0) ? P ( A0 ) P ( B0 ) ?

同理: P (? ? 1) ?

7 19 25 ; P (? ? 2) ? ; P (? ? 3) ? ; 72 72 72

P (? ? 4) ?

2 1 ?????????????7 分 P (? ? 5) ? 9 18

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

5

1 72

7 72

19 72

25 72

2 9

1 18

????????????????10 分 ∴ E? ?

17 ????????????????????????????12 分 6

8 3 设二面角 P ? BC ? D 的大小为 ? ? GB ? GC ? 2 E 为中点,
18.解: (1)由四面体 P? BCG 的体积为 .∴ PG ? 4 ∴ GE ? BC 同理 PE ? BC ∴ ?PEG ? ?

∴ tan ? ? 2 2 ????????????????????3 分 (2)由 GB ?GC ? 2 ∴ ? BGC 为等腰三角形,GE 为 ?BGC 的角平分线,作 DK ? BG 交 BG 的延长线于 K, ∴ DK ? 面BPG

由平面几何知识可知: DK ? GK ?

3 PD ? 2

41 2

设直线 DP 与平面 PBG所成角为 ?

7

∴ sin ? ?

DK 3 82 ??????????????????????8 分 ? DP 82

(法二:建系) (3)? GB, GC , GP 两两垂直,分别以 GB, GC , GP 为 x , y , z 轴建立坐标系 假设 F 存在且设 F (0, y,4 ? 2 y )(0 ? y ? 2) ? D( ?

3 3 , , 0), G (0, 0, 0), C (0, 2, 0) 2 2

∴ DF ? ( , y ?

????

3 2

??? ? 3 , 4 ? 2 y ), GC ? (0, 2, 0), 又直线 DF 与 GC 所成的角为 60 0 2

???? ??? ? 23 | DF ? GC | | 2y ? 3| 1 2 ?0 ∴ cos 600 ? ???? ??? ? ???? ??? ? 化简得: y ? 7 y ? ? ? 2 | DF || GC | | DF || GC | 2
y? 7? 3 不满足 0 ? y ? 2 2

∴这样的点不存在????????????????????????12 分 19.解: (1)由 f ?( x ) ? x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 [1, ?? ) 恒成立 得: a ? ?( x ? 1) ? 1
2

而 y ? ?( x ? 1) ? 1 在 [1, ?? ) 单调递减,从而 ymax ? ?3 ,
2

∴ a ? ?3 ∴ amin ? ?3 ??????????????????6 分

(2)对 ?x1 ? [ , 2], ?x2 ? [ , 2] ,使 f ?( x1 ) ? g( x2 ) ∴ [ f ?( x)]max ? [ g( x)]max

1 2

1 2

1 f ?( x ) ? ( x ? 1)2 ? a ? 1 在 [ , 2] 单调递增 2
∴ f ?( x)max ? f / (2) ? 8 ? a ??????????8 分 又 g?( x ) ?

e x ? xe x 1 ? x ? x ∴ g ( x ) 在 ( ?? ,1) 单调递增,在 (1, ?? ) 单调递减 e2 x e

∴在 [ , 2] 上, g ( x )max ? g (1) ?

1 2

1 1 ∴8? a ? e e

则a ?

1 ? 8 ??????????????????????12 分 e

20.解: (1)令 m ? n 得 a0 ? 1 ,??????????1 分
8

令 n ? 0 ,得 a2m ? 4am ? 2m ? 3 ,∴ a2 ? 3 ????????3 分 (2)令 n ? 1 ,得: am ?1 ? am ?1 ? m ? 2 ?

1 (a ? a2 ) ? 2am ? m 2 2m

∴ am?1 ? am ? am ? am?1 ? 2 ,又 a2 ? a1 ? 2 , ∴数列 {am?1 ? am } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. ∴ am?1 ? am ? 2m(m ? N )
*

∴ am ? a1 ?

m ?1 k ?1

? (a

k ?1

? ak ) ? m(m ? 1) ? 1(m ? N * )
*

∴ an ? n(n ? 1) ? 1(n ? N ) ????????????9 分 (3)? cn ? an ? 3n ? 1 ? n2 ? 2n(n ? N * ) ∴
n

1 1 ? cn n( n ? 2)



?c
k ?1

1
k

?

1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ? ? ? ????13 分 2 3 2 4 n n? 2 4 2 n ? 1 2( n ? 2) 4 ( )
a ln x a ? a ln x a(1 ? ln x) ( x ? 0) , f1?( x) ? ? ( x ? 0) x x2 x2

21.解:(1) f1 ( x) ?

令 f1?( x) ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? e.

?当 a ? 0 时, f1 ( x) 无单调区间;
当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (0, e), 单减区间为 (e, ??) . 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (e, ??) ,单减区间为 (0, e) . ??????4 分.

a ln x ln x 1 ? 1, 当 a ? 0 时,方程无解.当 a ? 0 时, 2 ? . 2 x x a ln x x ? 2x ln x 1 ? 2ln x 令 g ( x) ? 2 ( x ? 0). 则 g ?( x) ? ? . 由 g ?( x) ? 0 得 x ? e , x x4 x3 1 从而 g ( x) 在 (0, e ) 单调递增,在 ( e , ??) 单调递减. g ( x)max ? g ( e ) ? . 2e 当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? ,当 x ??? g ( x) ? 0.
(2)由

?当 0 ?

1 1 ? ,即 a ? 2e 时,方程有两个不同解. a 2e 1 1 当 ? ,即 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解 a 2e

9



1 1 1 ? , ? 0 或即 a ? 2e 或 a ? 0 时,方程有唯一解. a 2e a

综上,当 a ? 2e 时,方程有两个不同解.当 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解.当 a ? 2e 或 a ? 0 时, 方程有唯一解. ??? 9 分. (3)特别地:当 a ? 1 时由 f3 ( x) ? 由 f3?( x) ? 0 得 x ? e 3 , 则 f 3 ( x) 在 (0, e 3 ) 单调递增,在 (e 3 , ??) 单调递减. f 3 ( x) max ? f 3 (e 3 ) ?
1 1
1

x 2 ? 3x 2 ln x 1 ? 3ln x ln x ? . ( x ? 0) 得 f 3?( x) ? x6 x4 x3

1

1 . 3e

x3 ln x 1 ? , 即 3ln x ? .又 x ? 0 时, e x ? 1. ? 3ln x ? x3e x ?1 ??????12 分. e x3 3e 令 x ? 1, 2,3,?, n ,

? f3 ( x) ?

则 3ln n! ? 3ln1 ? 3ln 2 ? 3ln 3 ? ? ? 3ln n ? 1 ? 23 e ? 32 e2 ? ? ? n3en ?1 ??????14 分.

10


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