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江西省赣州三中2010年高一数学竞赛摸底考试


江西省赣州三中 2010 年高一数学竞赛摸底考试
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 2 1.已知集合 A ? {( x, y) y ? 3 ? a ? 1} , B ? {( x, y ) (a ? 1) x ? (a ? 1) y ? 15} ,若 A ? B ? ?, x?2 则 a 的取值是( )

A. ? 1,1


B. ? 1,

5 2

C . ? 1,

5 2

D. ? 1,?4,

5 2

x 2.设函数 f ( x) ? ?( 2 ) , x ? 4 ?

? 1

,则 f (2 ? log2 3) 的值为( )

? f ( x ? 1), x ? 4 ?

A.

1 3

B.

1 6
x? 1 3

C.

1 12

D.

1 24

3.函数 f ( x) ?
A. 3 (3 ? 6 3)

1 ?x? 2

的最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b 的值是( )
3 (3 ? 6 3 (2 ? 6

B.

3 (2 ? 6

2)

C.

2)

D.

3)

4.函数 y ? cos3 x ? sin 2 x ? cos x 的最大值等于( )
A. 32 27 B. 16 27 C. 8 27 D. 4 27 2 ?0 cos B ? sin B

5.在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 所对边的边长,若 cos A ? sin A ?



a?b 的值是( c
B. 2



A.1

C. 3

D.2

6.已知 ?ABC 的三边长 BC ? a, AC ? b, AB ? c, O 为 ?ABC 所在平面内一点,若

aOA ? bOB ? cOC ? 0 ,则点 O 是 ?ABC 的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
2 2 7.若函数 f ( x) ? log a ( x ? bx ? 2a )( a ? 0且a ? 1) 是奇函数,则实数对 (a, b) ? _______

8.已知 ? 为锐角,且 cos 3? ? 1 ,则 sin 3? ?
cos ? 3 sin ?

9.在等式 1 ? 4 ? 9 ? 1 的分母上的三个括号中各填入一个正整数,使得该等式成

? ?

? ?

? ?

立,则所填三个正整数的和的最小值是_________ 10.已知两个向量 e1 ,e2 满足 e1 ? 2, e2 ? 1 且 e1 与 e2 的夹角为 60 ,若向量 2t e1 ? 7e2 与向量
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?

e1 ? t e2 的夹角为钝角,则实数 t 的取值范围是_______________________
11. sec 50 ? tan10 的值是____________
? ?

12.若 x ? (??,?1] ,不等式 (m ? m2 )4 x ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是_______ 三、解答题(本小题满分 60 分,每小题 20 分)

p 1 1 ? 1? ? ??? 13 设 p 与 q 为正整数,满足: q 2 3
求证: p 可被 1979 整除

1 1 ? 1318 1319

14.设 a, b, c ? R ? , 求

a b 9c ? ? 的最小值 b ? 3c 8c ? 4a 3a ? 2b

15.证明: (1)若 x>0,y>0,则

x2 3x ? y ; ? x? y 4
+

x3 y3 z3 xy ? yz ? zx (2) 若 x,y,z∈R ,则 。 ? ? ? x? y y?z z?x 2

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一.选择题: 1.解:当 a ? 1 时, B ? ? ,满足条件 A ? B ? ? 当 a ? 1 时, B ? {( x, y) y ?

15 ? (a ? 1) x} ,欲使 A ? B ? ? ,则只需满足以下两种情形中的 a ?1

一种即可:(1).斜率相等,即 ? (a ? 1) ? a ? 1 ? a ? ?1 (2).交点为 (2,3) ,则 2(a 2 ? 1) ? 3(a ? 1) ? 15 ,解得 a ? 2. 解:? 2 ? log2 3 ? 2 ? log2 4 ? 4 又? 3 ? log2 3 ? 3 ? log2 2 ? 4 所以答案选 D 3.解法一:令 u ?

5 或 a ? ?4 ,综上选(D) 2

∴ f (2 ? log2 3) ? f (2 ? log2 3 ? 1) ? f (3 ? log2 3)
1

1 1 1 log1 24 1 ∴ f (3 ? log2 3) ? ( )3?log2 3 ? ( )log2 24 ? ( ) 2 ? 2 2 2 24

1 1 1 ? x , v ? x ? ,则 u 2 ? v 2 ? ,而 u 2 ? v 2 ? (u ? v)2 ? 2(u 2 ? v2 ) 6 2 3

所以 a ?

1 1 3 ,b ? ,a ?b ? (2 ? 2 ) ,故答案选 D. 3 6 6 1 1 ? x , x ? ) ? ( s, t ) , 2 3

解法二:设 c ? (1,1), d ? (

则c ?

2, d ?

6 2 2 1 ,s ?t ? , 6 6

f ( x) ? c ? d ? c ? d ? cos ? c, d ? ? 2? 6 3 ? cos ? c, d ?? cos ? c, d ? 6 3

又图可知: 0 ?? c, d ??

?
4

,∴

2 3 6 ? cos ? c, d ?? 1 ,∴ a ? ,b ? 2 3 6

∴a?b ?

3 6 3 ? ? (2 ? 2 ) ,故选 D. 3 6 6
3 2 3 2

4.解法一: y ? cos x ? sin x ? cos x ? cos x ? 1 ? cos x ? cos x

? cos2 x(cosx ? 1) ? (1 ? cos x) ? (1 ? cos x)(1 ? cos2 x) ? (1 ? cos2 x)(1 ? cos x)
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1 ? cos x 1 ? cos x ? ? (1 ? cos x) 2 2 1 ? cos x 1 ? cos x ? ? 1 ? cos x 32 32 2 2 ,∴ ymax ? ,故选 A ? 4?( )3 ? 27 3 27 ? 4?
解法二: y ? cos3 x ? sin 2 x ? cos x ? cos3 x ? 1 ? cos2 x ? cos x

? cos3 x ? cos2 x ? cos x ? 1,令 t ? cos x ,则 y ? t 3 ? t 2 ? t ? 1,?1 ? t ? 1
令 y ' ? 3t 2 ? 2t ? 1 ? 0, 得 t ? 1或t ? ? 当 t ? 1 时, y ? 0 ;当 t ? ?

1 3

1 32 32 时, y ? ,∴ ymax ? ,故选 A 3 27 27 2 ? 2 ,∴ (cos A ? sin A)(cosB ? sin B) ? 2 5.解:? cos A ? sin A ? cos B ? sin B
∴ cos A cos B ? cos A sin B ? sin A cos B ? sin A sin B ? 2 即 cos(A ? B) ? sin( A ? B) ? 2 ∴ cos(A ? B) ? 1, sin( A ? B) ? 1 ∴ A ? B, A ? B ? 90? ,∴ a ? b ,

a?b ? 2 ,故选 B c

6.解:? aOA ? bOB ? cOC ? 0 ∴ aOA ? b(OA ? AB) ? c(OA ? AC) ? 0 ∴ (a ? b ? c)OA ? b AB ? c AC ? 0 ∴ AO ?

b c AB ? AC a?b?c a?b?c

?

bc AB AC ( ? ) a ? b ? c AB AC

?

AB AC AB AC 分 别 是 AB 和 AC 方 向 上 的 单 位 向 量 , 设 AP ? , 则 AP 平 分 , ? AB AC AB AC

?BAC , AO, AP 共线, AO 平分 ?BAC , BO CO 又 知 同理可证: 平分 ?ABC , 平分 ?ACB ,
从而 O 是 ?ABC 的内心 二.填空题 7.解:由奇函数的性质,知 f (0) ? log a 于是 f ( x) ? log

2a 2 ? 0 即 2a 2 ? 1,解得 a ?

2 (舍去负值) 2

2 2

( x ? bx2 ? 1) ,又

0 ? f (? x) ? f ( x) ? (log 2 (? x ? bx2 ? 1) ? log 2 ( x ? bx2 ? 1) ? log
2 2

2 2

[( b ? 1) x 2 ? 1]

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于是 (b ? 1) x 2 ? 0 恒成立,故 b ? 1 ,所以答案填____ ( 8.解:

2 ,1) ______ 2

9.解:设依次填入的三个数分别为 x, y, z ,则 x ? y ? z ? ( x ? y ? z )( ?

1 x

1 1 ? ) y z

? 1? 4 ? 9 ?

y 4x 9x z 4z 9 y y 4x 9x z 4z 9 y ? ? ? ? ? ? 14 ? 2 ? ? 2? ? ?2 ? ? 36 x y z x y z x y z x y z

当 x ? 6, y ? 12, z ? 18 时,所求最小值为 36 10.解:由两向量的夹角为钝角知 ( 2t e1
2 2

? 7e2 ) ? (e1 ? t e2 ) ? 0 ,则

2t e1 ? (7 ? 2t 2 )e1 ? e2 ? 7t e2 ? 0 即 8t ? 7t ? (7 ? 2t 2 ) ? 2 ?1? cos60? ? 0
即 2t ? 15t ? 7 ? 0 ? ?7 ? t ? ?
2

1 14 又当 t ? ? 时, 2t e1 ? 7e2 和 e1 ? t e2 方向相反,故 2 2

t??

14 14 14 1 ,所以 t 的取值范围是 (?7,? ) ? (? ,? ) 2 2 2 2
? ?

1 sin 10? 1 cos80? sec 50 ? tan10 ? ? ? ? cos50? cos10? sin 40? sin 80? sin 80? ? sin 40? cos80? 2 cos 40? ? cos80? 3 cos10? ? sin 10? ? sin 10? 11.解: ? ? ? sin 40? sin 80? sin 80? sin 80? 3 cos10? ? ? 3 sin 80?
12.解:? (m ? m2 )4 x ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立

1 x 2x ? 1 ∴m?m ? ? 设t ? ( ) x 2 4
2

? x ? (??,?1]
∴ m ? m ? ?6
2

∴t ? 2

∴ m ? m ? ?t ? t ? ?(t ? ) ?
2 2 2

1 2

1 ? ?6 4

∴?2? m ?3 13 解:

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p 1 1 1 1 ? 1? ? ?? ? ? b 2 ? 4ac q 2 3 1318 1319 1 1 ? ?1 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?? ? ? 1318 1319 ? ? 2 4 1318 ? ? 2 3 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1318 1319 ? ? 2 3 659 ? ? 2 3 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 660 661 1318 1319 660 ? 1319 661 ? 1318 989 ? 990 ? ? ?? ? 660 ?1319 661?1318 989 ? 990
M 660 ? 661? ? ?1319 659! M ? 1979 ? 1319! ? 1979 ?
有 1979 整除 得 p 可被 1979 整除

p 1319! ,从而 1979 整除 p1319! ,但 1979 为素数,?1979,1319!? ? 1 , q

?b ? 3c ? x ? 14.解:设 ?8c ? 4 a ? y 解之得 ?3a ? 2b ? z ?
1 1 1 1 3 1 1 1 1 a ? ? x ? y ? z, b ? x ? y ? z, c ? x ? y ? z 3 8 6 2 16 4 6 16 12

1 1 1 1 3 1 3 9 3 ? x? y? z x? y? z x? y? z 8 6 ?2 16 4 ?2 16 4 ? 3 x y z y x z 3x z 9y 1 3 3 于是所求式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 x 2 y 6 x 2 z 4 y 16z 3 16 4 1 1 3 1 3 3 47 ? 2? ? 2? ? 2? ? ? ? ? 4 2 8 3 16 4 48
15.证: (1)

x2 3x ? y ? x? y 4

? 4x2 ? ( x ? y)(3x ? y) ? x2 ? 2xy ? y 2 ? 0

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(2)

x3 y3 z3 xy ? yz ? zx ? ? ? x? y y?z z?x 2 x2 y2 z2 xy ? yz ? zx ?x? ?y? ?z ? x? y y?z z?x 2
3x ? y 3y ? z 3z ? x xy ? yz ? zx ?x? ?y? ?z ? 4 4 4 2

?
?

?

x2 ? y2 y2 ? z 2 z 2 ? x2 ? ? ? xy ? yz ? zx 2 2 2

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