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人教B版1.1.2余弦定理


余弦定理 西丰县第二高级中学 陈曦

复习回顾 1.正弦定理
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

2.正弦定理的作用
(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和 另一角; (2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另 一边的对角(从而进一步求出其它的边和角). 第二种情况若知道的是大边的对角,只有 唯一的一组解;若给出的是小边的对角, 则结果可能是两解或一解、或无 解.

问题探究: 在?ABC中,已知a ? 5,b ? 4,

C ? 120?,求c边。
问题:能否使用正弦定理解决问题?

探究:已知两边与夹角,怎么解第 三边?
? 一般情况:已知三角形ABC中,a,b以及 ∠c ? 当∠c=90° ? 当∠c≠90°如何构造直角三角形解第三边

余弦定理:三角形任何一边的平方等于 其它两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。

a =b +c-2bccosA b =c +a-2accosB
2 2 2 2 2 2

2

2

2

c =a +b-2abcosC

延伸变形:

b ?c ?a cos A ? , 2bc
2 2 2

c ? a ?b cos B ? , 2ca
2 2 2

a ?b ?c cosC ? 。 2ab
2 2 2

注意:余弦定理适用任何三角形.

a ?b ?c cosC ? 。 2ab
2 2 2

推论:
2

在?ABC中,
2 2

若a ? b ? c ,则C为直角;

若a ? b ? c ,则C为锐角;
2 2 2

若a ? b ? c ,则C为钝角;
2 2 2

余弦定理的作用:
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求 第三边和其它两角;

(3)判断三角形的形状。

例 1:在?ABC中,已知a=5,b=4,
C=120°,求c

应用举例:
例 2:在?ABC中,已知a=3,b=2,
c= 19 ,求A、B和C.与三角形面 积。

动手实践:

在?ABC中, 1.已知a ? 10,b ? 5,C ? 60?, 求c; 2.已知a ? 6, b ? 4, c ? 6, 求B; 3.已知a ? 3 6 , c ? 6, B ? 45?, 求b.
练习题答案:

小结:
1.余弦定理 a =b +c-2bccosA b =c +a-2accosB c =a +b-2abcosC 2.余弦定理的作用
(1)已知三边,求三个角;
2 2 2 2 2 2 2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , 2bc c2 ? a2 ? b2 cos B ? , 2ca a 2 ? b2 ? c2 cosC ? 。 2ab

3.推论:

在?ABC中,

若a 2 ? b2 ? c 2,则C为直角;

(2)已知两边和它们的夹角,求 第三边和其它两角;
(3)判断三角形的形状。

若a 2 ? b2 ? c 2,则C为锐角;

若a 2 ? b2 ? c 2,则C为钝角;

作业
? P9 1-1a ? 1(4) ? 2(3)

加深提高:

1.在?ABC中,已知a ? 7,b ? 10 , c ? 6,试判断?ABC的形状. 2.在?ABC中,已知a:b:c ? 3: 5: 7, 求这个三角形的最大角.


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