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2015年上海高考二模数学闸北区(文)


17 闸北文

2015 年闸北区第二学期高三数学(文科)期中练习卷
考生注意:1 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效 2 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规定区域 内贴上条形码 3 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、填空题(60 分)

本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 6 分,否则一律得零分 1.设幂函数 f ( x) 的图像经过点 ?8, 4 ? ,则函数 f ( x) 的奇偶性为 .

? y ?1 ? 2.已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1 ,如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 ,则实数 m 等于 ?x ? y ? m ?

.

3.直线 y ? 1 与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个交点,则实数 a 的取值范围是

.

4. 已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 的图像关于点 ? ?1,0? 对称, y ? g ? x ? 是 y ? f ( x) 的反函数,若

x1 ? x2 ? 0 ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ?

.

? 2n ?1 ,1 ? n ? 2, n ? N ? 5.设 an ? ? 1 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 lim Sn ? n ?? ? n , n ? 3, n ? N ? 3

.

6.设复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 2i ,在复平面的对应的向量分别为 OA, OB ,则向量 AB 对应的复数所对应 的点的坐标为
n

.

1 ? ? 7.若二项式 ? x ? ? 展开式中只有第四项的系数最大,则这个展开式中任取一项为有理项的概率 x? ?

是 . 8.观察下表:
1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10

设第 n 行的各数之和为 Sn ,则 lim
n??

Sn ? n2

.

9.从双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 T ,延长 FT 交双曲 2 a b
.

线右支于点 P ,若 M 是线段 FP 的中点, O 为原点,则 MO ? MT 的值是 10.已知集合 U ? ?? x, y ? x ? R, y ? R? , M ?

?? x, y ? x ? y ? a? , P ? ?? x, y ? y ? f (x)? ,现给出下列函
2015 年闸北二模文- 1 -

17 闸北文 数:① y ? a x ;② y ? loga x ;③ y ? sin ? x ? a ? ;④ y ? cos ax ,若 0 ? a ? 1 时,恒有 P 则所有满足条件的函数 f ( x) 的编号是 .

? UM ? P ,

二、选择题(15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必 须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律零分 11.下列命题中,正确的个数是 (1)直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线和这个平面平行; (2) a , b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个; (3)直四棱柱是直平行六面体 (4)两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥 A、0 B 、1 C、2

D 、3

12.已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? c ,若 f (0) ? 0, f ( p) ? 0 ,则必有 A、 f ( p ? 1) ? 0 B、 f ( p ? 1) ? 0 C、 f ( p ? 1) ? 0 D、 f ( p ? 1) 的符号不能确定

13.如图,下列四个几何题中,他们的三视图(主视图,俯视图,侧视图)有且仅有两个相同,而另 一个不同的两个几何体是 A 、( 1 ), (2) B、 (1), (3) C、 (2), ( 3 ) D、(1),(4)

?1? 棱长为2的正方体

? 2? 底面直径和高都为2的圆柱

?3? 底面直径和高均为2的圆锥

? 4? 底面边长为2高为2的直平行六面体

2015 年闸北二模文- 2 -

17 闸北文 三、解答题(本题满分 75 分)本题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号) 内写出必要步骤 14.(本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分) 如图 AB 是圆柱体 OO1 的一条母线, 已知 BC 过底面圆的圆心 O ,D 是圆 O 上不与 B, C 重合的任意一 点, AB ? 5, BC ? 5, CD ? 3 (1)求直线 AC 与直线 BD 所成角的大小; (2)将四面体 ABCD 绕母线 AB 旋转一周,求 ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积

A

O1

B D

O

C

15.(本题满分 14 分,第(1)(2)小题各 3 分,第(3)(4)小题各 4 分) 请你指出函数 y ? f ( x) ?
x ? x ? R ? 的基本性质(不必证明,并判断以下四个命题的正确性,必要 1? x

时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明) (1)当 x ? R 时,等式 f ( x) ? f (? x) ? 0 恒成立; (2)若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则一定有 x1 ? x2 ;

y

S

(3)若 m ? 0 ,方程 f ( x) ? m 有两个不相等的实数解; (4)函数 g ? x ? ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点

M

N

P

o

4

8

x

2015 年闸北二模文- 3 -

17 闸北文 16.(本题满分 15 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 9 分) 如图所示,某市拟在长为 8 km 道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM , 该曲线段为函数 y ? Asin ? x ? A ? 0, ? ? 0? ? x ??0,4?? 的图像,且图像的最高点为 S 3, 2 3 ,赛道的后 一部分为折线段 MNP ,且 ?MNP ? 120? (1)求 M 、P 两点间的直线距离; (2)求折线段赛道 MNP 长度的最大值 17.(本题满分 16 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 10 分) 已知圆 C1 : ? x ? 1? ? y 2 ? 8 ,点 C2 : ?1,0? ,点 Q 在圆 C1 上运动, QC 2 的垂直平分线交 QC1 于点 P
2

?

?

(1)求动点 P 的轨迹 W 方程;
1? ? (2) 过点 S ? 0, ? ? 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点, 在 y 轴上是否存在定点 D , 使以 AB 3? ?

为直径的圆恒过这个点?若存在,请求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由

18. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 1 ai ? i ? 1,2, , n ? an an a1 ? ?1,1? an ? ? xn , yn ? ? ? xn?1 ? yn?1 , xn?1 ? yn?1 ? ? n ? 2? 2

? ?? ?

(1)证明:数列 an 是等比数列; (2)设 ? n 表示向量 an ?1 与 an 间的夹角,若 bn ? 2n?n ? 1 , Sn ? b1 ? b2 ?
? bn ,求 Sn ;

? ?

(3)设 cn ? an log 2 an ,问数列 ?cn ? 中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明 理由.

2015 年闸北二模文- 4 -

17 闸北文

闸北区 2015 年第二学期高三数学(文科)期中练习卷

文科答案
一. 填空题 1、偶函数; 6、 ? ?1,1? 二. 选择题 11、B 三.解答题 14、 (1) arccos 12、A 13、A、C 2、5 3、 ? 1, ? 8、4

? 5? ? 4?

4、 ?2 9、 b ? a

5、

55 18

7、

4 7

10、①②④

2 2 5

……………………………………………………5 分

(2) 15? ………………………………………………………………7 分

1 ? 1? x?0 ? ? x ?1 15、由 f ? x ? ? ? ,参考图像: 1 ??1 ? , x?0 ? x ?1 ?
(1)对于任意的 x ? R , f ? ? x ? ? 故 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 恒成立; ( 2 ) 由 于 y ? f ? x ? 为 单 调 递 增 函 数 , 故 如 果 x1 ? x2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 恒 成 立 , 因 此

?x ? ? f ? x? , 1? x

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,一定有 x1 ? x2 ;
(3)由图像可知当 m ? 1 时, y ? m 与 y ? f ? x ? 无公共点,方程 f ? x ? ? m 无实数根,故结论 (3)不正确; (4) g ? x ? ? 16、

?x x x ,若 g ? x ? ? 0 ,则只有 x ? 0 ,故结论(4)不正确. ?x? 1? x 1? x

解法一: (1)依题意,有 A ? 2 3

……………………………………………1 分
2015 年闸北二模文- 5 -

17 闸北文 又

T 2? , ? 3, 而T ? 4 ?

?? ?

?
6

……………………………1 分

? y ? 2 3 sin

?
6

x
2? ? 3 ,? M ? 4,3? ,又 P ? 8, 0 ? 3
………………………………………3 分

当 x ? 4 时, y ? 2 3 sin

? MP ? 42 ? 32 ? 5

(2)在 ?MNP 中, ?MNP ? 120 , MP ? 5 . 设 ?PMN ? ? ,则 0 ? ? ? 60 . 由 正 弦 定 理 得 ……………………………………1 分

10 3 MP NP MN , ? NP ? sin ? , ? ? 3 sin120 sin? sin ? 60 ? ? ?
……………………………………………………3 分

MN ?

10 3 sin ? 60 ? ? ? , 3
故 NP ? MN ?

10 3 10 3 10 3 sin ? ? sin ? 60 ? ? ? ? sin ?? ? 60 ? ……3 分 3 3 3

0 ? ? ? 60 ,? 当 ? ? 30 时,折线段赛道 MNP 最长. ……………………2 分
解法二 : (1)同解法一. (2)在 ?MNP 中, ?MNP ? 120 , MP ? 5. 由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2 MN ? NP ? COS ?MNP ? MP 2 , 即 MN 2 ? NP 2 ? MN ? NP ? 25 ;
2 2

…………………………3 分

3 2 ? MN ? NP ? 故 ? MN ? NP ? ? 25 ? MN NP ? ? ? ,从而 ? MN ? NP ? ? 25 …4 分 4 2 ? ?
即 MN ? NP ?

10 3 ,当且仅当 MN ? NP 时等号成立. 3

………………2 分

亦即,设计为 MN ? NP 时,折线段赛道 MNP 最长. 注:本题第(2)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方法, 还可设计为:① N ?

? 12 ? 3 9 ? 4 3 ? ? 12 ? 3 9 ? 4 3 ? N ;② N ? , ? ? 2 ? ? 2 , 6 ? ? ;③点 在线段 6 ? ? ? ?

MP 的垂直平分线上等.
17、 (1)

QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 P ,? PQ ? PC2 .
PC2 ? PC1 ? PQ ? PC1 ? QC1 ? 2 2 ? C1C2 ? 2 ,

………………1 分

所以动点 P 的轨迹 W 是以点 C1 、 C2 为焦点的椭圆. …………………………2 分
2015 年闸北二模文- 6 -

17 闸北文

设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? ,则 2a ? 2 2 , 2c ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,故 2 a b

x2 椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 …………………………………………………………2 分 2
1 ? y ? kx ? ? 1 ? 3 直线 l 的方程为 y ? kx ? ,联立直线和椭圆的方程得 ? 2 ,即 3 ? x ? y2 ? 1 ? ?2

a)

1? ? 9 ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 ,易知点 S ? 0, ? ? 在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交于两点. 3? ?

……………………………………1 分 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?
4k 16 , x1 x2 ? ? ,……………………2 分 2 3 ?1 ? 2k ? 9 ?1 ? 2k 2 ?

假设在 y 轴上存在定点 D ? 0, m ? 满足题设,则 DA ? ? x1 , y1 ? m ? , DB ? ? x2 , y2 ? m ? . 因为以 AB 为直 径的圆恒过点 D,则 DA ? DB ? ? x1 , y1 ? m ? ? ? x2 , y2 ? m ? ? 0 . ……………………2 分

1 1 即 x1 x2 ? ? y1 ? m ?? y2 ? m ? ? 0 ?*? ,因为 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ? , 3 3

所以(*)变为
1? ? 1? 1 1? ? ? x1 x2 ? ? y1 ? m ?? y2 ? m ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? m ? y1 ? y2 ? ? m 2 ? x1 x2 ? ? kx1 ? ? ? ? kx2 ? ? ? m ? kx1 ? ? kx2 ? ? ? m 2 3? ? 3? 3 3? ? ?
2 2 2 2 1 ?18m ? 18 ? k ? ? 9m ? 6m ? 15 ? ?1 ? . ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? k ? ? m ? ? x1 ? x2 ? ? m 2 ? m ? ? 3 9 9 ? 2k 2 ? 1? ?3 ?

………3 分

2 ? ?18m ? 18 ? 0 由假设得对于任意的 k ? R , DA ? DB ? 0 恒成立,即 ? 2 ,解得 m ? 1 . 因此,在 ? ?9m ? 6m ? 15 ? 0

y 轴上存在点 D,点 D 的坐标为 ? 0,1?

………………………………………………3 分

18、 (1) an ?

1 2

? xn?1 ? yn?1 ? ? ? xn?1 ? yn?1 ?
2

2

?

2 2 xn?12 ? yn?12 ? an?1 ………4 分 2 2

(2)

cos ? n ?

an?1 ? an an?1 ? an

?

2 ? ,?? n ? ……………………………………………2 分 4 2
………………………………………………2 分

? bn ?

n? ?1 2

bn ? 2n? n ? 1
2015 年闸北二模文- 7 -

17 闸北文

?1 ? ?2 ? ? S n ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? ? ?2 ? ?2 ?

?n ? ? ? ? ? ? 1? ? ? n 2 ? n ? ? n …………2 分 ?2 ? 4

或 S n ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?
n ?1

?2 ?2

? ?3 ? ?2

? ?

?n ?2

? ?

?

?n 4

2

? n ? 2 ? n ? 1 都算对

?

(3)

2? n ? 2? 2 , an ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? n 2 ? n 2? 2 ……………………………………………………2 分 ? cn ? ?2 2

2015 年闸北二模文- 8 -

17 闸北文

2 , c2 ? 0 ,? 0 ? c2 ? c1. 2 n ?1? n 2 ? ? n ? 1? 2??2 2 ? n 2? 当 n ? 3 时,有 cn ? 0 ,又由 cn ? cn?1 可得 , ?2 2 ? ?2 2 2 2 1 ? 2?n ? 2?n? 1 2 即 ? 2 ,? ? ? . 1? n ? 1? n ? 2
假设

?cn ? 中的第

n 项最小,由 c1 ?

,? n ? 5 . n 2 ? 6n ? 7 ? 0 , n ? 3 ? 2 或 n ? 3 ? 2 (舍) 即有 c5 ? c6 ? c7 ? ; 由 cn ? cn?1 ,得 3 ? n ? 5 ,又 0 ? c2 ? c1 ,? c5 ? c4 ? 故数列 ?cn ? 中存在最小项,最小项是 c5 ? ?

…………2 分

? c1 ;………………2 分

3 ?3 ? 2 2 ………………………………2 分 2

2015 年闸北二模文- 9 -


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