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高中数学必修1(北师版)第四章4.1 函数与方程(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第四章 函数应用 4.1 函数与方程

一、知识清单
函数零点的概念与意义 二分法求近似零点 零点的存在性定理 函数的零点分布

二、知识讲解
1.函数零点的概念与意义 描述: 对于函数 y = f (x) ,我们把使 f (x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f (x) 的零点.函数 y = f (x) 的零点就是方程 f (x) = 0 的实数根,也就是函数 y = f (x) 的图象与 x 轴交点的横 坐标. 例题: 求下列函数的零点: (1)f (x) = ?x 4 + x 2 ;(2)f (x) = log2 x + 1. 解:(1)由 ?x 4 + x 2 = 0 ,得 ?x2 (x ? 1)(x + 1) = 0 ,解得 x1 = 0,x2 = ?1 , x3 = 1.故函数 f (x) = ?x4 + x2 的零点是 ?1 ,0 ,1 . (2)由 log2 x + 1 = 0 ,得 log2 x = ?1 ,即 log2 x = log2

f (x) = log2 x + 1 的零点是

1 . 2

1 2

, 解得 x =

1 .故函数 2

下列函数有零点的有( ) ? ? ? ? 3 ? x 2 ① y = a ? 1;② y = x ? 2x + 1;③ y = √ x2 + 1;④ y = x3 ? 2x2 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解:C ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ③中 y = √ x2 + 1,令 y = 0,即 √ x2 + 1 = 0,x2 = ?1 无解,所以,此函数没有零点,其 余函数均有零点.

2.零点的存在性定理 描述: 如果函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) < 0 , 那么函数 y = f (x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ∈ (a, b) 使得 f (c) = 0 ,这个 c 也就 是方程 f (x) = 0 的根. 例题: 在下列区间中,函数 f (x) = ex + 4x ? 3 的零点所在的区间为(

1 A.(? , 0) 4
解:C

1 B.(0, ) 4

1 1 C.( , ) 4 2

1 3 D.( , ) 2 4



g(x) =

x

(?∞, +∞)

h(x) = 4x ? 3

(?∞, +∞)

因为 g(x) = ex 在 (?∞, +∞) 上是增函数,h(x) = 4x ? 3 在 (?∞, +∞) 上是增函数,所以
1 1 f (x) = ex + 4x ? 3 在 (?∞, +∞) 上是增函数,又 f (? ) = e? 4 ? 4 < 0, 4 1 1 1 1 f (0) = e0 + 4 × 0 ? 3 = ?2 < 0,f ( ) = e 4 ? 2 < 0 ,f ( ) = e 2 ? 1 > 0 ,所以 4 2 1 1 f ( ) ? f ( ) < 0. 4 2

若 a < b < c,则函数 f (x) = (x ? a)(x ? b) + (x ? b)(x ? c) + (x ? c)(x ? a) 的两个零点分 别位于区间( ) A.(a, b) 和 (b, c) 内 B.(?∞, a) 和 (a, b) 内 C.(b, c) 和 (c, +∞) 内 D.(?∞, a) 和 (c, +∞) 内 解:A 因为 f (a) = (a ? b)(a ? c),f (b) = (b ? c)(b ? a),f (c) = (c ? a)(c ? b),且 a < b < c,所 以 f (a) > 0,f (b) < 0 ,f (c) > 0 ,所以 f (x) 在 (a, b),(b, c) 上各有一个零点,故选 A .

3.函数的零点分布 描述: 函数的零点分布 函数的零点在数轴上的分布情况,尤其指二次函数的零点分布问题. 解决二次函数的零点分布问题的主要方法 利用二次函数的图象列不等式组. 例题: 求实数 m 的取值范围,使关于 x 的方程 x2 + 2(m ? 1)x + 2m + 6 = 0, (1)有两个实数根,且一个比 2 大,一个比 2 小; (2)有两个实数根,且都比 1 大; (3)有两个实数根 α, β ,且满足 0 < α < 1 < β < 4; (4)至少有一个正根; 解:设 f (x) = x 2 + 2(m ? 1)x + 2m + 6,它的图象是一条开口向上的抛物线. (1)如果 f (2) < 0 ,那么抛物线就一定与 x 轴有两个不同的交点,而且交点的横坐标一个比 2 大,一个比 2 小,于是由 f (2) < 0 ,解得 m < ?1. (2)有两个实数根,且都比 1 大的条件是

? Δ = 4(m ? 1)2 ? 4(2m + 6) ? 0, ? ? ? f (1) = 1 + 2(m ? 1) + 2m + 6 > 0, ? ? ? ? 2(m ? 1) > 1, 2
2 ? ? ? m ? 4m ? 5 ? 0, 5 ?m > ? , 4 ? ? ? m < 0.



5 < m ? ?1 . 4 (3)有两个实数根 α, β ,且满足 0 < α < 1 < β < 4 的条件是
解得 ?

? ? ?

? f (0) > 0, ? f (1) < 0, ? f (4) > 0,


解得 ?

(4)方程至少有一个正根有三种可能: ① 有两个正根,此时应有

7 5 <m<? . 5 4

? 2m + 6 > 0, ? 1 + 2(m ? 1) + 2m + 6 < 0, ? 16 + 8(m ? 1) + 2m + 6 > 0.

Δ ? 0, ? ? ? ? f (0) > 0, ? ? ? 2(m ? 1) > 0, ? 2


? m ? ?1 或 m ? 5, ? m > ?3, ? m < 1,
所以 ?3 < m ? ?1 . ②有一个正根,一个负根,此时应有 f (0) < 0 ,解得 m < ?3. ③有一个正根,另一个为零,此时利用根与系数的关系可知

{
所以 m = ?3. 综上所述:m ? ?1.

6 + 2m = 0, 2(m ? 1) < 1,

4.二分法求近似零点 描述: 对于图象在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a) ? f (b) < 0 的函数 y = f (x) ,通过不断的把函数 y = f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近函数的零点,进而得到函数零 点近似值的方法叫做二分法(bisection). 二分法的精度 通过二分法最后确定的函数零点所在的区间 (a, b) 的长度 ε ,即 ε = |a ? b| . 二分法的近似解 通过二分法最后确定的函数零点所在的区间 (a, b) 内任意一点都可以作为函数零点的近似解,特 别地,可以将区间端点作为函数零点的近似值. 例题: 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

f (1) = ?2 f (1.375) = ?0.26.

f (1.5) = 0.625 f (1.25) = ?0.984 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = ?0.054

那么方程的一个近似解(精确到 0.1)为( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 解:C 根据题意知函数的零点在 1.40625 至 1.4375 之间,取其中点作为函数零点符合题目要求,所以 1.4 是方程的一个近似解,故选 C.

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