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江苏省盱眙县新马中学2013届高三下学期期初检测数学试题


新马中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题
一、填空题 1. 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的 是 ① ab ? 1 ; ④ a ? b ? 3;
3 3

. (写出所有正确命题的编号). ② a? b? ⑤

2;

a ?b ? 2 ;
2 2

1 1 ? ?2 a b

2. 、正四面体 ABCD 中, E , F 分别是棱 BC , AD 的中点,则直线 DE 与平面 BCF 所成角 的正弦值为 3.如图,半径为 1 的圆与直线 l 相交于 A、B 两个不同的点,设 ?AOB ? x ,当直 线 l 平行移动时,则圆被直线扫过部分(图中阴影部 分)的面积 s 关于 x 的函数

s(x) =____________________.
l A O x B

4.有一个底面半径为 1,高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆 柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点 P ,则点 P 到 点 O 的距离大于 1 的概率为________; 5.对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等” 在立体几何中类比上 , 述的命题,可以得到的命题是 。 6.过点 A(4,1) 的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为 .

7.定义在 R 上的函数 y ? f (x) 满足 f (? x) ? ? f ( x), f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,当 x ? ?? 1,1? 时

f ( x) ? x 3 ,求 f (2007) =

. 。

x 8.已知实数 x1 满足方程 x ? 2 ? 2 , x2 满足方程 x ? log2 x ? 2 ,则 x1 ? x2 ?

9. 对于函数 f ( x ) ,若存在区间 M ? [a, b], (a ? b) ,使得 { y | y ? f ( x), x ? M } ? M ,则 称区间 M 为函数 f ( x ) 的一个“稳定区间”.给出下列 4 个函数:
x 3 ① f ( x) = e ;② f ( x) = x ,③ f ( x) ? cos

?
2
1

x

④ f ( x) = ln x + 1

其中存在“稳定区间”的函数有
2 2

(填上所有正确的序号) . .

10.求与直线 x ? 3 y ? 10 垂直的圆 x ? y ? 4 的切线方程

11.以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形形状为
2 2

12. 经过圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 36 的圆心, 并且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 垂直的直线方程为___ 13.函数 f(x)= x - 4x ? 5x ? 2 的单调减区间为___________________
3 2

14.函数 y= x x 的导数为_______________ 二、解答题 15.如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,∠B1A1C1=90°,D、E 分别为 CC1 和 A1B1 的中点,且 A1A=AC=2AB=2. (I)求证:C1E∥平面 A1BD; (Ⅱ)求点 C1 到平面 A1BD 的距离.

16.已知函数 f ( x) ? 3x ? 9 x ? 5 .
3

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ?? 2,2?的最大值和最小值.

17.求曲线 y ? 2 x ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.
2

2

18..已知 f(x)=

bx ? 1 (ax ? 1) 2

(x≠-

1 ,a>0),且 f(1)=log162,f(-2)=1. a

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足 xn=[1-f(1)] [1-f(2)]?[1-f(n)] ,试求 x1,x2,x3,x4; (3)猜想{xn}的通项.

19. (本小题 12 分)若不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,试确定
2

3

实数 a 的取值范围.

20. :如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,AD= 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动.

(1)求三棱锥 E-PAD 的体 积; (2)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置 关 系,并说明理由; (3)证明:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE⊥AF.

参考答案 1.①③⑤

4

2.

3 3

1 ( x ? sin x), x ? (0,2? ) 2 2 4. 3
3. 5.夹在两个平行 平面之间的平行线段相等 6. ( x ? 3)2 ? y 2 ? 2 7.-1 8.2 9.②③ 10. 3x ? y ? 2 10 ? 0 11.等腰三角形 12. 2 x ? y ? 11 ? 0

13. (1,

5 ) 3
1

14.

3 -4 x 4

15. (Ⅰ)证明:取 A B 中点 F,连结 EF,FD. 1

1 1 B1 B , ,又 B1B ? C1C , C1 D ? C1C , 2 2 1 ∴ EF 平行且等于 C1 D , 2
∵ EF ? 所以 C1EFD 为平行四边形,?????4 分 ∴ C1E // DF ,又 DF ? 平面 A DB , 1 ∴ C1E // 平面 A DB .?????6 分 1

5

(Ⅱ) A B ? AD ? 5 , BD ? 6 ,?????8 分 1 所以 S?A1BD ?

1 3 1 1 1 1 6? 5? ? 21 , VB ? A1C1 D ? ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 2 3 2 2 2

VB? A1C1D ? VC1 ? A1BD ,??????10 分


1 1 1 ? ? 21 d ? , 3 2 3

d?

2 21 . 21 2 21 .??????12 分 21

所以点 C1 到平面 A BD 的距离为 1

16. (1) (??, ?1)和(1, ??) (2)函数 f ( x) 取得最小值 ?1 .函数 f ( x) 取得最大值 11. 本试题主要是考查了导数来判定函数的单调区间, 并能求解函数给定闭区间的最值问题。 基 本题型,需要熟练掌握。 解:(1) f '( x) ? 9 x 2 ? 9 . 令 9 x2 ? 9 ? 0 ,

解此不等式,得 x ? ?1或x ? 1 . 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1)和(1, ??) . (2) 令 9 x 2 ? 9 ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 . 当 x 变化时, f '( x ) , f ( x) 变化状态如下表: x ( ?2, ?1) -2 -1

( ?1,1)

1

(1, 2)

2

6

f '( x ) f ( x)

+ -1

0 11

-

0 -1

+

?

?

?

11

从表中可以看出,当 x ? ?2或x ? 1 时,函数 f ( x) 取得最小值 ?1 . 当 x ? ?1或x ? 2 时,函数 f ( x) 取得最大值 11.

17.设切点为 P( x0 , y0 ) ,则

y? ? (2x 2 ?1)? ? 4x ,∴ y? x ? x0 ? 4 ,即 4x0 ? 4 ,∴ x0 ? 1
当 x0 ? 1 时, y0 ? 1 ,故切点 P 的坐标为(1,1) . ∴所求切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) 即 4 x ? y ? 3 ? 0.

18 . 1 ) f(x)= (

1 ( x ? 1) 2

(x ≠ -1) ( 2 ) x1=1-f(1)=1-

1 3 3 2 2 ? 1? = ,x2= × ?1 ? ? = ,x3= × 4 4 4 3 3 ? 9?

5 1? 5 1 ? 3 ? ? n?2 . ?1 ? ? = ,x4= × ?1 ? ? = .⑶xn= 8 2(n ? 1) ? 16 ? 8 ? 25 ? 5

(1)把 f(1)=log162= ,f(-2)= 1,
1 ? b ?1 ? ? 2 4 (a ? 1) 代入函数表达式得 ? , ? ? ? 2b ? 1 ? 1 ? (1 ? 2a ) 2 ?

1 4

整理得 ? ?

?4b ? 4 ? a 2 ? 2a ? 1 ?? 2b ? 1 ? 4a ? 4a ? 1 ?
2

,解得 ?

?a ? 1 , ?b ? 0

于是 f(x)=

1 ( x ? 1) 2

(x≠-1).
1 4 3 4

(2)x1=1-f(1)=1- = ,
3 2 2 5 1 1 x2= × ?1 ? ? = ,x3= × ?1 ? ? = , ? ? ? ? 4

? ?

9?

3

3

?

16 ?

8

x4= × ?1 ? ?
5 8

1 ? 3 ?= . 25 ? 5
3 4 4 6 5 8 6 , ?, 10

(3) 这里因为偶数项的分子、 分母作了约分, 所以规律不明显, 若变形为 , , ,

7

便可猜想 xn=

n?2 . 2(n ? 1)

19. ?2 ? a ? 2 . 试题分析:a-2=0 时,显然符号要求,当 a-2 不等于零时,由于对应的二次函数的图象都在 x 轴下方,因而开口向下,判断式小于零. 当 a ? 2 时,原不等式变形为 ?4 ? 0 ,恒成立,即 a ? 2 满足条件;..........4 分 当 a ? 2 时,要使不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立, 必 须 ................... .........

?a ? 2 ? 0 ? 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 4 ? 4(a ? 2) ? 0
....8 分 化 简 得

?a ? 2 ? 2 ?(a ? a ? ) ? (



2



)



?a ? 2 ? 0 ??2 ? a ? 2

?

?2 ? a ? 2 ..............................10 分 综上所述, a 的取值范围是 ?2 ? a ? 2 . .........................12 分
考点:一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数图像之间的关系. 点评:在研究形如一元二次不等式恒成立问题时,要注意先对二次项系数进行讨论,然后再 结合二次函数的图像求解.

20. (1)解:∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AD, ∴三棱锥 E-PAD 的体积为 V ?

1 1 1 3 .????4 分 S?PAD ? AB ? ? ?1? 3 ?1 ? 3 3 2 6

(2)当点 E 为 BC 的 中点时, EF 与平面 PAC 平行.∵在△PBC 中, E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴EF//PC 又 EF ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC ∴EF//平面 PAC.?9 分 (3)证明:∵PA⊥平面 ABCD,BE ? 平面 ABCD, ∴EB⊥PA.又 EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP ? 平面 PAB, ∴EB⊥平面 PAB,

8

又 AF ? 平面 PAB,∴AF⊥BE. 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点,∴AF⊥PB, 又∵PB∩BE=B,PB,BE ? 平面 PBE,∴AF⊥平面 PB E. ∵PE ? 平面 PBE,∴AF⊥PE.????????14 分

9


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