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高考文科数学一轮平面向量的数量积


平面向量的数量积 ? 栗汝成 第2讲 考纲要求 平面向量的数量积 考纲研读 平面向量数量积的运算结果是 1.理解平面向量数量积的含义及 数量,要熟悉数量积的性质和运 其物理意义. 算律,会用定义求平面向量的数 2.了解平面向量的数量积与向 量积,会利用数量积的几何意义 量投影的关系. 解决向量的投影及夹角问题,熟 3.掌握数量积的坐标表达式, 悉两个向量平行与垂直关系时 会进行平面向量数量积的运算. 2 的坐标表示.因为 a · a = | a | ,所 4.能运用数量积表示两个向量 以|a|= a· a,由此可知,要求向 的夹角,会用数量积判断两个平 量的长度(模),也要转化为数量 面向量的垂直关系. 积的形式. |a|· |b|cos<a,b> 1.向量的数量积:a· b=______________. a· b |a| 2.向量的投影:向量 b 在 a 方向上的投影等于____. 3.向量数量积的坐标表示:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), x1x2+y1y2 则 a· b=____________. 4.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件是: a· b>0 且 a 与 b 不共线; a 与 b 的夹角是锐角?_______ a· b<0 且 a 与 b 不共线. a 与 b 的夹角是钝角?_______ 1.(2010 年广东广州摸底)已知 a=(λ,2),b=(-4,10),且 a⊥b,则实数λ的值为( C ) 4 A. 5 4 B.- 5 C.5 D.-5 解析:a⊥b?-4λ+20=0?λ=5.选C. 2.已知向量 1 A.2 ? 1? a=?cosθ,2?的模为 ? ? 1,则 cos2θ 等于( A ) 1 D.8 1 B.-2 2 1 C.-8 1 3 2 解析:由条件知,cos θ+4=1,∴cos θ=4.∴cos2θ=2cos2θ 3 1 -1=2-1=2.选 A. 3. (2011 年广东揭阳二模)在 Rt△ABC 中, ∠C=90° , AC=3, →· → =( B ) 则AB AC A.-9 B.9 C.-16 D.16 →· → =(AC → +CB → )· → =|AC → |2=9 或AB →· → =|AB → |· → 解析:AB AC AC AC |AC →| | AC → |· →| → |2=9.选 B. |cosA=|AB |AC =|AC →| |AB 4.已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),若a∥b,则 tanα= 3 4 -3 ____ 4 ;若 a⊥b,则 tanα=_____. 3 解析:a∥b?3cosα=4sinα?tanα=4.a⊥b?3sinα+4cosα=0 4 ?tanα=-3. 5. (2010 年广东广州六中月考)平面直角坐标系中 a=(1,2), a· b =5,|a+b|=3 3 2,则|b|等于_____. 解析:(a+b)2=a2+2a· b+b2=5+10+|b|2=18,所以|b|= 3. 考点1 向量的数量积运算 例 1:已知 ?1 2 ? a=?3x ,x?,b=(x,x-3),x∈[-4,4]. ? ? (1)求 f(x)=a· b 的表达式; (2)求 f(x)的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角. 1 2 1 3 2 解析: (1)f(x)=a· b=3x · x+x· (x-3)=3x +x -3x, x∈[-4,4]. (2)f′(x


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