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导数知识点总结及例题讲解


高二数学复习讲义—导数及其应用 知识归纳
1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x ) ?x , ?y -f(x 0 ) ,比值 叫做函数 y=f(x)在 x 0 ?x 到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0

) = 。如果当 ?x ? 0 时, ?x ?y x ? 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处 ?x 可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的 导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。 即f (x 0 ) = lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ?x ?x ?0 ?x

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这 两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv ' . 若 C 为常数, (Cu) ' ? C ' u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数 的导数: (Cu ) ' ? Cu ' . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的 导数与分母的积,减去分母的导数与分子的

说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?y ?y 如果 不存在极限, ?x ? 0 时, 有极限。 ?x ?x 就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤: (1) 求函数的增量 ?y =f (x 0 + ?x ) -f (x 0 ) ; (2)求平均变化率

u ' v ? uv' ?u? 积再除以分母的平方: ? ? ‘= v2 ?v?
(v ? 0) 。 形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合 函数求导步骤:分解——求导——回代。法 则:y'| X = y'| U ·u'| X 5. 单调区间:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某 个区间可导, 如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数; 如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 , 则 f ( x) 为常 数; 6.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值 点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线 的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左 侧切线的斜率为负,右侧为正; 7.最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x) 在 [a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数? ( x) 在(a,b)内的极值; ②求函数? ( x) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? ( x) 的各极值与?(a)、?(b)比较, 其中最大的是最大值, 其中最小的是最小值。

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x
?y 。 ?x ?0 ?x

(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim

2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是 曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切 线的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p (x 0 ,f (x 0 ) ) 处的切线的斜率是 f’ (x 0 ) 。 / 相应地, 切线方程为 y-y 0 =f(x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.几种常见函数的导数: ① C? ? 0; ② x n ? ? nx n ?1 ; ③

? ?

(sin x)? ? cos x ;
x x x

④ (cos x)? ? ? sin x ;

⑤ (e )? ? e ; ⑥ (a )? ? a x ln a ;

1 ⑦ ? ln x ?? ? ; x

1 ⑧ ? l o g a x ?? ? log a e . x

高考题型 1.导数定义的应用 例 1 (北京高考)如图,函数 f ( x) 的图象是 折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别为
(0,,,,, 4) (2 0) (6 4) ,

解 : y/ ? ( x ? a ) ( 3x? 2a? , b) 由 y / ? 0 得
2a ? b ,∴当 x ? a 时, y 取极大值 3 2a ? b 0 ,当 x ? 时 y 取极小值且极小值为 3 x ? a, x ?

?x ?0

lim

f ?1 ? ?x ? ? f ?1? ? _________. y ?x
4 3 2 1 O A C

负.故选 C.或当 x ? b 时 y ? 0 ,当 x ? b 时,
y ? 0 选 C.

B 1 2 3 4 5 6

x

点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也 是考试的热点题型. 3.利用导数解决函数的单调性问题 例 5 ( 全 国 高 考 ) 已 知 函 数

0? x?2 ?? 2 x ? 4   解: 由图可知 f ?x ? ? ? , 根 2? x?3 ? x ? 2   
据导数的定义 知 lim
?x ?0

f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1, a ? R .
(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间;
? 2 1? (Ⅱ) 设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函 ? 3 3?

f ?1 ? ?x ? ? f ?1? ? f ??1? ? ?2 . ?x

例 2 ( 重 庆 高 考 ) 已 知 函 数 (Ⅰ) 略, f ?x ? ? x 2 ? bx ? c e x ,其中 b, c ? R , f ?x ? ? c 2 (Ⅱ)若 b ? 4?c ? 1?, 且 lim ? 4 ,试 x ?0 x 证: ? 6 ? b ? 2 . 解 : f ??x ? ? x 2 ? ?b ? 2?x ? b ? c e x , 易 知 f ?0? ? c .故 f ?x ? ? c f ?x ? ? f ?0? lim ? lim ? f ??0? ? b ? c , x ?0 x ?0 x x?0

?

?

数,求 a 的取值范围. 解 :( 1 ) f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1 求 导 得
2 f ?( x)? 3 x ? 2a ? x 1

?

?

当 a 2 ? 3 时, ? ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上 递增; 当 a2 ? 3 ,
f ?( x) ? 0 求 得 两 根 为

?b ? c ? 4, 所以 ? 2 解得 ? 6 ? b ? 2 . ? ? b ? 4 c ? 1 , ?
2. 利用导数研究函数的图像 例 3 ( 安 徽 高 考 ) 设 a < b, 函 数
2 y ?( x? a ) ( x ? 的图像可能是 b )

x?

?a ? a 2 ? 3 , 3

? ?a ? a 2 ? 3 ? 即 f ( x) 在 ? ??, ? 递 增 , ? ? 3 ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? ? 3 3 ? ?
? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增。 ? ? ? 3 ? ?







? 2 1? (2)因为函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减 ? 3 3?

? 2 1? 函数,所以当 x ? ? ? , ? ? 时 f ? ? x ? ? 0 恒成 ? 3 3?

? ? 2? ? f ?? ? 3 ? ? 0 ? ? ? 立, 结合二次函数的图像可知 ? 解 ? f ?? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? 3?
得a ? 2. 点评:函数在某区间上单调转化为导函数

a?2 。从而 3 a?2 ? ?1 ? ? ? 1, ?? 1 ? a ? 1, ? ? ? 3 或 解 得 ? a?2 ? a ? 2 a ? ? , ?a ? ? ? . 3 ? ? 3 ? ?? 1 ? a ? 1, ?? 5 ? a ? 1, ? ? 或? ? 1 1 a?? , a?? , ? ? 2 2 ? ?

f ??x ? ? 0 ,得 x1 ? a, x2 ? ?

f ? ? x ? ? 0 或 f ? ? x ? ? 0 在区间上恒成立问题,
是解决这类问题的通法.本题也可以由函数

1? ? 1 ? ? 所以 a 的取值范围是 ? ? 5,? ? ? ? ? ,1?. 2? ? 2 ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? 在? , ? 上递减,所以 ? ? 3 3 ? ?
? ?a ? a 2 ? 3 2 ?? ? ? 3 3 求解. ? 1 ? ?a ? a 2 ? 3 ?? ? 3 3 ? 【 变 式 1 】( 全 国 高 考 ) 若 函 数 1 1 f ?x ? ? x 3 ? ax 2 ? ?a ? 1?x ? 1 在 区 间 ?1,4? 3 2
上是减函数,在区间 ?6,??? 上是增函数,求 实数 a 的取值范围. 解 : f ?x ? ? x 2 ? ax ? ?a ? 1? , 令 f ??x ? ? 0 得
x ? 1 或 x ? a ? 1 ,结合图像知 4 ? a ? 1 ? 6 ,

点评:这种逆向设问方式是今后高考命题的 一种趋势,充分体现高考“能力立意”的思 想,高考中应高度重视。 (4) 利用导数的几何意义研究曲线的切线问 题 例 6 (江西高考)若存在过点 (1,0) 的直线与 曲线 y ? x3 和 y ? ax 2 ? 于
25 64 7 25 C. ? 或 4 64 15 则a等 x ? 9 都相切, 4

A . ?1 或 -

B . ?1 或
7 D. ? 或 7 4

21 4

解 : 设 过 (1, 0 ) 的 直 线 与 y ? x3 相 切 于 点
( x0 , x03 ) , 所 以 切 线 方 程 为 y ? x03 ? 3x0 2 ( x ? x0 )

故 a ? ?5,7?. 点评:本题也可转化为 f ??x ? ? 0,x ? ?1,4? 恒 成立且 f ??x ? ? 0,x ? ?6,??? 恒成立来解. 【变式 2】 ( 浙江高考)已知函数 3 f ( x) ? x ? (1 ? a) x 2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不 . 单调 ,求 a 的取值范围. .. 解:函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 f ??x ? ? 0 在区间 (?1,1) 上有实数解,且无重 根. 又 f ??x ? ? 3x 2 ? 2?1 ? a ?x ? a?a ? 2? , 由

即 y ? 3x0 2 x ? 2 x03 ,又 (1, 0)在切线上,则
3 x0 ? 0 或 x0 ? ? , 2

当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax 2 ? 切可得 a ? ? 当 x0 ? ?
25 , 64

15 x ?9相 4

3 2 7 2 7 x? 时 , 由 y? 与 2 4 4 15 y ? ax 2 ? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以 4 选 A.

点评:函数的切线问题,切点是关键,因 为它是联结曲线和其切线的“桥梁” ,在 做题中往往需要设出切点. 【变式】 ( 辽宁高考)设 P 为曲线 C :

4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 成立,即有 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 .
8 8 解不等式,得 ? ? a ? .这时, f (0) ? b 是 3 3 唯一极值.因此满足条件的 a 的取值范围是 8 8 [? , ] . 3 3 6.利用导数解决实际问题 例 8 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形 状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 2: 1, 问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体 积最大?最大体积是多少? 解:设长方体的宽为 x (m) ,则长为 2 x (m),

y ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切
? ?? 线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,则点 P 横坐 ? 4?

标的取值范围为(
1? ? A. ? ?1, ? ? 2? ?



0? B. ? ?1,
?1 ? D. ? , 1 ?2 ? ?

1? C. ? 0,

高为 h ? 故

18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4

3? ? ? 0<x< ? . 2? ?















解:由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范
? ?? 围为 ?0, ? ,可得曲线 C 在点 P 处切线的斜 ? 4?

V ?x ? ? 2 x 2 ?4.5 ? 3x ? ? 9 x 2 ? 6 x 3 ?m 3 ?

3? ? ?0 ? x ? ? 2? ?

率范围为 ?0, 1? ,又 y ? ? 2 x ? 2 ,设点 P 的横坐 标 为 x 0 , 则 0 ? 2 x0 ? 2 ? 1 , 解 得
1 ? 1 ? x0 ? ? ,故选 A . 2 5. 利用导数求函数的极值与最值 例 7 ( 天 津 高 考 ) 已 知 函 数

从 而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V ' ?x ? ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 ,因 此 x ? 1. 当 0 ? x ? 1 时, V ' ?x ? ? 0 ;当 1 ? x ?
3 时, 2

V ' ?x ? ? 0 ,故在 x ? 1处 V ?x ? 取得极大值,并
且这个极大值就是 V ?x ? 的最大值,从而最大 体积 V ? V ' ?x ? ? 9 ? 12 ? 6 ? 13 m 3 ,此时长方 体的长为 2 m,高为 1.5 m

f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b ( x ? R ), 其 中
4 3 2

a, b ? R .若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,

求 a 的取值范围. 解: f ?( x) ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是 方程 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根. 为 使 f ( x) 仅 在 x ? 0 处 有 极 值 , 必 须

? ?

导数及其应用
一、选择题

[基础训练 A 组]
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

1.若函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

的值为( B ) A. f ' ( x0 ) B. 2 f ' ( x0 ) C. ?2 f ' ( x0 ) D. 0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] h ? 0 h 2h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 2h 2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, lim
h ?0

那么物体在 3 秒末的瞬时速度是(C ) A. 7 米/秒 C. 5 米/秒 B. 6 米/秒 D. 8 米/秒

s ' (t ) ? 2t ? 1, s ' (3) ? 2 ? 3 ?1 ? 5
3.函数 y = x3 + x 的递增区间是(C ) A. (0,??) C. (??,??) B. (??,1) D. (1,??)

y ' = 3x 2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
4. f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(D ) A. C.

19 3 13 3

B.

16 3 10 3 10 3
D )

D.

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' (?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ?

5.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.必要非充分条件

对于 f ( x) ? x3 , f ' ( x) ? 3x 2 , f ' (0) ? 0, 不能推出 f ( x) 在 x ? 0 取极值,反之成立

6.函数 y ? x 4 ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为(D ) A. 72 B. 36 C. 12 D. 0

y ' ? 4 x3 ? 4, 令y ' ? 0, 4 x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y ' ? 0;当x ? 1时, y ' ? 0
得 y极小值 ? y |x?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ymin ? 0 二、填空题 1.若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_______ ?1 __________; f ' ( x0 ) ? 3x02 ? 3, x0 ? ?1

3 2.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为_ ? 4 3 y ' ? 3x 2 ? 4, k ? y ' |x ?1 ? ?1, tan ? ? ?1, ? ? ? 4
3.函数 y ?

sin x x cos x ? sin x 的导数为__ _______________; x x2

y' ?

(sin x)' x ? sin x ? ( x)' x cos x ? sin x ? x2 x2

4.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________;

1 , x ? ey ? 0 e

1 1 1 1 y ' ? , k ? y ' |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x x e e e

5 5 . 函 数 y ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 5 的 单 调 递 增 区 间 是 _____________________ (??, ? ), (1, ??) 3 5 令y ' ? 3x 2 ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3 三、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x 2 ? 5 相切的直线方程。
解:设切点为 P(a, b) ,函数 y ? x3 ? 3x 2 ? 5 的导数为 y ' ? 3x 2 ? 6 x 切线的斜率 k ? y ' |x ?a ? 3a 2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x3 ? 3x 2 ? 5 得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。 2.求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。 解: y ' ? ( x ? a)' ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)' ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)'
? ( x ? b) ( x ? c) ? ( x ? a) ( x? c)? ( x? a) ( x ? b)

3 .求 函 数 f ( x) ? x5 ? 5 x4 ? 5 x3 ? 1 在区间 ?? 1,4?上的最大值与最小值。 解: f ?( x) ? 5x 4 ? 20 x 3 ? 15x 2 ? 5x 2 ( x ? 3)( x ? 1) , 当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 , ∵ 0 ?[?1, 4] , ?1?[?1, 4] , ?3 ?[?1,4] 列表:

x
f ' ( x)
f ( x)

?1
0 0

(?1, 0)

0
0

(0, 4)
+ ↗

+ ↗

1

又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ; ∴函数 y ? x 5 ? 5x 4 ? 5x 3 ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。

4.已知函数 y ? ax 3 ? bx 2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a, b 的值; (2)求函数 y 的极小值。 解: (1) y ' ? 3ax 2 ? 2bx, 当 x ? 1 时, y ' |x ?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x ?1 ? a ? b ? 3 ,

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 即? ?a ? b ? 3
(2) y ? ?6 x3 ? 9 x 2 , y ' ? ?18x 2 ? 18x ,令 y ' ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1
? y极小值 ? y |x?0 ? 0


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