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高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理——塞瓦定理


塞瓦定理:
设P、Q、R分别是?ABC的BC、CA、AB边上的点,则 AP、BQ、CR三线共点 BP CQ AR A 的充要条件是: ? ? ?1 PC QA RB 证:先证必要性:设AP、BQ、CR相交于点M ,则: R Q BP S?ABP S?BMP S?ABM CQ S?BCM AR S?ACM M ? ? ? 同理: ? , ? PC S ?ACP S ?CM

P S ?ACM QA S ?ABM RB S ?BCM
BP CQ AR 以上三式相乘,得: ? ? =1 C P B PC QA RB A BP CQ AR ‘ 再证充分性:若 ? ? ? 1,设AP与BQ相交于M ,且直线CM 交AB于R , PC QA RB B1 C1 BP CQ AR拻 AR AR 由塞瓦定理有: ? ? ‘ ? 1,于是:‘ = 因为R和R’ 都在线 PC QA R B R B RB 段AB上,所以R’ 必与R重合,故AP、BQ、CR相交于一点点M ; B 例1:证明:三角形的中线 交于一点; AC BA CB 证明:记?ABC的中线AA1,BB1,CC1,我们只须证明 1 ? 1 ? 1 ? 1 C1B A1C B1 A
C

A1

而显然有:AC1 ? C1B, BA1 ? A1C , CB1 ? B1 A 即

AC1 BA1 CB1 ? ? ? 1成立, ??ABC交于一点; C1B A1C B1 A
A A

【练习 1 】证明:三角形的角平 分线交于一点; 【练习 2】证明:锐角三角形的 高交于一点; C 1 例2:在锐角?ABC中,角?C的平分线交

B1
C

C1

B1
C

于AB于L,从L作边AC和BC的垂线,垂 足分别是M 和N,设AN 和BM的交点是
B

A1

B

A1

P,证明:CP ? AB 证:作CK ? AB 下证CK、BM 、AN 三线共点,且为P点,要证CK、BM 、AN 三线共点,
AM CN BK 依塞瓦定理 即要证: ? ? ? 1 又 MC ? CN MC NB AK AM BK AM AL 即要证明: ? ? 1 ?AML ? ?AKC ? ? AK NB AK AC BK BC AL BC ? ?BNL ? ?BKC ? ? 即要证 ? ?1 NB BL AC BL AL BC 依三角形的角平分线定理可知: ? ?1 AC BL ? CK、BM 、AN 三线共点,且为P点 ? CP ? AB
C N M A K L B

例3.设AD是?ABC的高,且D在BC边上,若P是AD上任一点,BP、CP分别与AC、 AB交于E和F,则?EDA=?FDA 证:过A作AD的垂线,与DE、DF的延长线分别 交于M、N。欲证?EDA ? ?FDA, 可以转化为证明AM ? AN

AD ? BC 故MN // BC,可得?AME ? ?CDE,?ANF ? ?BDF AM AE AN AF AE ? CD AF ? BD ? , ? , 于是AM ? , AN ? CD CE BD BF CE BF BD CE AF AD、BE、CF 共点于P,根据塞瓦定理可得: ? ? ?1 DC EA FB AE ? CD AF ? BD ? ? ? AM ? AN ??EDA ? ?FDA CE BF 【练习3】已知?ABC外有三点M、N、R,且?BAR ? ?CAN ? ? , ?CBM ? ?

?ABR ? ? , ?ACN ? ?BCM ? ? ,证明:AM、BN、CR三线共点;

例4.在?ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1, AC BA CB sin ?ACC1 sin ?BAA1 sin ?CBB1 证明: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? C1B AC B1 A sin ?C1CB sin ?A1 AC sin ?B1BA 1
证:如图对?ACC1和?BCC1应用正弦定理,可得: AC1 sin ?ACC1 CC1 AC sin ?ACC1 sin ?B sin ?B ? ? 即: 1 ? ? C1C sin ?A C1 B sin ?C1CB C1B sin ?C1CB sin ?A BA sin ?BAA1 sin ?C CB1 sin ?CBB1 sin ?A 同理: 1 ? ? , ? ? A1C sin ?A1 AC sin ?B B1 A sin ?B1 BA sin ?C 从而 AC1 BA1 CB1 sin ?ACC1 sin ?BAA1 sin ?CBB1 ? ? ? ? ? C1 B A1C B1 A sin ?C1CB sin ?A1 AC sin ?B1 BA

【练习4】在?ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1,使AA1、BB1、CC1相交于一点, 证明,关于角平分线对称于这些直线的直线AA2、BB2、CC2也相交于一点;
课外作业:

1.设A1、B1、C1是?ABC的内切圆与边 BC、CA、AB的切点,证明: 直线AA1、BB1、 CC1三线共点; 2.从圆上的点A、D引切线,相交于点 S。在AD弧上取点B和C,直线AC和BD相交于 P,AB和CD相交于点Q,证明,直线 PQ过点S; 3.在?ABC的边上向外作正方形, A1、B1、C1是正方形的边 BC、CA、AB的对边的中点, 证明,直线 AA1、BB1、CC1相交于一点;

练习 1答案:证:记?ABC的角平分线分别是AA1 , BB1 , CC1 , ? AC1 BA1 CB1 ? ? ? 1 ? 三角形的角平分线交于一点; C1B A1C B1 A

AC1 b BA1 c CB1 a ? , ? , ? C1B a A1C b B1 A c

练习2答案:证:记锐角?ABC的角平分线分别是AA1 , BB1 , CC1 , 设CB1=x,那么AB1=b ? x, 则:c 2 ? (b ? x ) 2 ? BB1 ? a 2 ? x 2 ? CB1 ? x ? a 2 ? b2 ? c2 2b

c2 ? b2 ? a 2 b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 则:B1 A ? 同理可得:AC1 ? , C1 B ? 2b 2c 2c 2 2 2 2 2 2 AC1 BA1 CB1 c ? a ?b b ?a ?c BA1 ? , A1C ? ? ? ? ?1 2a 2a C1 B A1C B1 A ? 锐角三角形的三条高交于一点;

练习3的答案:证:设AM 与BC交于M ', BN 与AC交于N ',CR与AB 交于R ', ?ABC的三个内角分别 记为?A、?B、?C 1 AB ? BM ? sin(?A ? ? ) ? BM‘ S ?ABM‘ AB sin ?BAM AM ? AB sin ? ? sin(?B ? ? ) ? ? ? ‘ CM S ?ACM‘ AC sin ?CAM AC ? CM ? sin(?C ? ? ) ? 1 AC sin ? ? sin(?C ? ? ) AM ‘ ‘ BM AB sin ? ? sin(?B ? ? ) CN ' BC sin ? ? sin(?C ? ? ) AR CA sin ? ? sin(?A ? ? ) 即: ‘ = 同理: = , = ‘ CM AC sin ? ? sin(?C ? ? ) AN ' BA sin ? ? sin(?A ? ? ) BR CB sin ? ? sin(?B ? ? )

BM ' CN ' AR ' 将以上三式子相乘可得: ? ? =1, 根据塞瓦定理可知:AM '、BN '、CR ' 三点共线。 CM ' AN ' BR '

练习4的答案: 证: A2、B2、C2 位于?ABC的边上,根据例4的结论有: AC2 BA2 CB2 sin ?ACC2 sin ?BAA2 sin ?CBB2 ? ? ? ? ? C2 B A2C B2 A sin ?C2CB sin ?A2 AC sin ?B2 BA 又 AA2、BB2、CC2关于角平分线对称于AA1、BB1、CC1,则 ?ACC2 ? ?C1CB , ?ACC1 ? ?C2CB , ? sin ?ACC2 sin ?BAA2 sin ?CBB2 sin ?C1CB sin ?A1 AC sin ?B1 BA ? ? ? ? ? sin ?C2CB sin ?A2 AC sin ?B2 BA sin ?ACC1 sin ?BAA1 sin ?CBB1 ? 从而 C1 B A1C B1 A ? ? ?1 AC1 BA1 CB1 AC2 BA2 CB2 ? ? ? 1 ? AA2、BB2、CC2三线共点 C2 B A2C B2 A

课后练习答案:

1.证:显然AC1 ? B1 A, ?

BA1 ? C1 B,

CB1 ? A1C

AC1 BA1 CB1 ? ? ? 1 即:AA1、BB1、CC1三线共点 C1 B A1C B1 A sin ?ASP sin ?DAP sin ?SPP sin ?ASQ sin ?CAQ sin ?SDQ 2.证: ? ?1? ? ? sin ?PSC sin ?PAS sin ?PPA sin ?QSC sin ?QAS sin ?QDA 又 ? ?DAP ? ?SDQ , ?SDP ? ?DAQ , ?PAS ? ?QDA , ?PDA ? ?QAS , sin ?ASP sin ?ASQ ? ? ? S、P、Q位于一条直线上 sin ?PSD sin ?QSD
3.证:记直线AA1、BB1、CC1与边BC、CA、AB的交点分别为A2、B2、C 2 ? BA2 S ?ABA1 AB BA1 sin ?ABA AB sin(?B ? ? ) 1 = ? ? ? ? ? A2 C S ?ACA1 AC CA1 sin ?ACA1 AC sin(?C ? ? ) AC2 AC sin(?A ? ? ) ? ? C 2 B BC sin(?B ? ? )

其中?=?CBA1 ? ?BCA1 ? arct an2 CB BC sin(?C ? ? ) 同理: 2 ? ? B2 A AB sin(?A ? ? ) 将上面三条等式相乘可 得: BA2 CB2 AC2 ? ? =1 A2 C B2 A C 2 B ? AA1、BB1、CC1共点


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