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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章精要课件 组合(二)


1.2.2(二)

1.2.2
【学习要求】
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组合(二)

1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题. 【学法指导】 学习本节注意结合知识背景理解“有序”“无序”, 是排列问 题还是组合问题,问法的细微变化就可能导致问题性质的变 化,

解题时要注意审题.

试一试·双基题目、基础更牢固

1.2.2(二)

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1.若集合 M={x|Cx≤21},则组成集合 M 的元素的个数为( C ) 7 A.1 B.3 C.6 D.7

试一试·双基题目、基础更牢固

1.2.2(二)

2.(1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有

45 ________条;
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(2)平面内有 10 个点, 以其中每 2 个点为端点的有向线段共

90 有________条.
2 解析 (1)C10=45;

(2)A2 =90. 10

试一试·双基题目、基础更牢固
排列和组合的区别和联系: (1)从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览;

1.2.2(二)

3.判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题,并回顾

(2)从甲、乙、丙、丁四名学生中选出 2 名担任班长和团支
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部书记. 解 (1)是组合问题,(2)是排列问题.
组合与排列的区别和联系: (1)区别:①排列有顺序,组合无顺序.②相同的组合只需选出 的元素相同,相同的排列则需选出的元素相同,并且选出元素 的顺序相同.
(2)联系:①都是从 n 个不同的元素中选出 m(m≤n)个元素; ②排列可以看成先组合再全排列.

研一研·题型解法、解题更高效

1.2.2(二)

题型一
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简单的组合应用题

例 1 某人决定投资 8 种股票和 4 种债券,经纪人向他推荐了 12 种股票和 7 种债券.问:此人有多少种不同的投资方式? 解 需分两步:
第 1 步,根据经纪人的推荐在 12 种股票中选 8 种,共有 C8 种 12 选法;
第 2 步, 根据经纪人的推荐在 7 种债券中选 4 种, 共有 C4种选法. 7
根据分步乘法计数原理,此人有 C8 · 4=17 325(种)不同的投资 12 C7 方式.

研一研·题型解法、解题更高效

1.2.2(二)

小结

(1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合

问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出 元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素之间的顺序
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无关. (2)要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用, 在分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏.

研一研·题型解法、解题更高效

1.2.2(二)

跟踪训练 1 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社
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区公益活动.若每天安排 3 人,则不同的安排方案共有 ________种.(用数字作答) 140
解析 C3C3=140. 7 4

研一研·题型解法、解题更高效
题型二 有限制条件的组合问题

1.2.2(二)

例 2 在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件.
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(1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种? (4)恰好有一件是次品,再把抽出的 3 件产品放在展台上, 排列一排进行对比展览,共有多少种不同的排法?
解 (1)所求的不同抽法的种数,就是从 100 件产品中取出 3 100×99×98 3 件的组合数,所以共有 C100= =161 700(种). 3×2×1

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1.2.2(二)

(2)从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C1种,从 98 件合格 2 品中抽出 2 件合格品的抽法有 C2 种, 因此抽出的 3 件中恰好 98 有 1 件次品的抽法有 C1×C2 =9 506(种). 2 98 (3)方法一 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,
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包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况.抽出的 3 件中有 1 件是次品的抽法,有 C1C2 种;抽出的 3 件中有 2 件是次品的 2 98 抽法,有 C2C1 种.因此根据分类加法计数原理,抽出的 3 件 2 98 中至少有一件是次品的抽法有 C1×C2 +C2×C1 =9 604(种). 2 98 2 98
方法二 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数, 也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格 品的抽法的种数,即
3 C3 -C98=161 700-152 096=9 604(种). 100

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1.2.2(二)

1 (4)分两步:①选取产品,有 C2C2 种方法; 98

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3 ②选出 3 个产品排列,有 A3种方法.
3 根据分步乘法计数原理,不同的排法共有 C1C2 A3= 2 98

57 036(种).

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小结

1.2.2(二)

解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”

和“间接法(排除法)”. 其中用直接法求解时, 则应坚持“特 殊元素优先选取”的原则,优先安排特殊元素的选取,再安
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排其他元素的选取.而选择间接法的原则是“正难则反”, 也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从 反面问题入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至多”、 “至少”等组合问题时更是如此. 此时正确理解“都不是”、 “不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决 这些组合问题的关键.

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1.2.2(二)

跟踪训练 2 “抗震救灾, 众志成城”, 在我国“四川 5· 12” 抗震救灾中, 某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴赈灾前 线,其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家.问:
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(1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多 少种? (2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种? (3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种?
解 (1)分步: 首先从 4 名外科专家中任选 2 名, C4种选法, 有 2 再从除外科专家的 6 人中选取 4 人,有 C4种选法,所以共有 6 C2· 4=90(种)抽调方法. 4 C6

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(2)“至少”的含义是不低于,有两种解答方法. 方法一 (直接法)
按选取的外科专家的人数分类:
①选 2 名外科专家,共有 C2· 4种选法; 4 C6
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1.2.2(二)

②选 3 名外科专家,共有 C3· 3种选法; 4 C6 ③选 4 名外科专家,共有 C4· 2种选法; 4 C6 根据分类加法计数原理,共有 C2· 4+C3· 3+C4· 2=185(种) 4 C6 4 C6 4 C6
抽调方法. 方法二 (间接法)
不考虑是否有外科专家,共有 C6 种选法,考虑选取 1 名外科 10 专家参加, C1· 5种选法; 有 4 C6 没有外科专家参加, C6种选法, 有 6 所以共有:C6 -C1· 5-C6=185(种)抽调方法. 10 4 C6 6

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1.2.2(二)

(3)“至多 2 名”包括“没有”、“有 1 名”、“有 2 名”三 种情况,分类解答.
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①没有外科专家参加,有 C6种选法; 6 ②有 1 名外科专家参加,有 C1· 5种选法; 4 C6 ③有 2 名外科专家参加,有 C2· 4种选法. 4 C6 所以共有 C6+C1· 5+C2· 4=115(种)抽调方法. 6 4 C6 4 C6

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题型三 例 3 与几何有关的组合应用题

1.2.2(二)

(1)四面体的一个顶点为 A,从其他顶点和各棱中点中

取 3 个点,使它们和点 A 在同一平面上,有多少种不同的 取法?
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(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点, 在其中取 4 个不共 面的点,有多少种不同的取法?
解 (1)(直接法)如图,含顶点 A 的四面体的 3 个面上,除点 A 外都有 5 个点,从中取出 3 点 必与点 A 共面共有 3C3种取法;含顶点 A 的三 5 条棱上各有三个点,它们与所对的棱的中点共 面,共有 3 种取法.根据分类加法计数原理, 与顶点 A 共面的三点的取法有 3C3+3=33(种). 5

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1.2.2(二)

(2)(间接法)如图,从 10 个点中取 4 个点的取法有 C4 种,除 10 去 4 点共面的取法种数可以得到结果.从四面体同一个面上
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的 6 个点取出的 4 点必定共面.有 4C4=60(种),四面体的每 6 一棱上 3 点与相对棱中点共面,共有 6 种共面情况,从 6 条 棱的中点中取 4 个点时有 3 种共面情形(对棱中点连线两两相
4 交且互相平分),故 4 点不共面的取法为:C10-(60+6+3)

=141(种).

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1.2.2(二)

小结
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解答几何组合应用问题的思考方法与一般的组合应用

题一样,只要将图形中隐含的条件准确理解,分析有哪些限 制条件.计算时可用直接法,也可用间接法,要注意在限制 条件较多的情况下,需要分类计算符合题意的组合数.

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跟踪训练 3 面体?

1.2.2(二)

(1)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四

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(2)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥? 4 解 (1)正方体 8 个顶点可构成 C8个四点组,其中共面的四点
组有正方体的 6 个表面和正方体相对棱分别所在 6 个平面的 四个顶点,故可以确定的四面体有 C4-12=58(个). 8 (2)由(1)知,正方体共面的四点组有 12 个,以这个四点组构 成的四边形为底面,以其余的四个点中任意一点为顶点都可 以确定一个四棱锥,故可以确定四棱锥 12C1=48(个). 4

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.2.2(二)

1.身高各不相同的 7 名同学排成一排照相,要求正中间的同
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学最高,左右两边分别顺次一个比一个低,这样的排法种 数是 A.5 040 C.18 B.36 D.20 ( D )

解析 最高的同学只能站在中间,它别无选择;从剩下的 6 名 同学中任选 3 名,有 C3种不同的方法,他们由高到低的排列次 6 序唯一;剩下的 3 名同学由高到低的排列次序也唯一.
∴不同的排法共有 C3=20(种). 6

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1.2.2(二)

2.某中学要从 4 名男生和 3 名女生中选 4 人参加公益活动, 若男生甲和女生乙不能同时参加,则不同的选派方案共有 ( A )
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A.25 种

B.35 种

C.820 种 D.840 种 解析 分 3 类完成: 男生甲参加, 女生乙不参加, C3种选法; 有 5
男生甲不参加,女生乙参加,有 C3种选法; 5 两人都不参加,有 C4种选法. 5 所以共有 2C3+C4=25(种)不同的选派方案. 5 5

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1.2.2(二)

3.某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学 从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同
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的选法共有________种.(用数字作答) 30

解析 分两类,A 类选修课 2 门,B 类选修课 1 门,或者 A 类选修课 1 门,B 类选修课 2 门, 因此,共有 C2· 1+C1· 2=30(种)选法. 3 C4 3 C4

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1.2.2(二)

32 4.正六边形顶点和中心共 7 个点,可组成________个三角形.
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解析

不共线的三个点可组成一个三角形,7 个点中共线的是:

正六边形过中心的 3 条对角线,即共有 3 种情况,故组成三角 形的个数为 C3-3=32. 7

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1.2.2(二)

应用组合知识解决实际问题的四个过程
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