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中山市2008-2009高一第二学期期末考试数学


广东省中山市 2008-2009 学年高一第二学期期末统一考试

数学
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分。共 100 分,考试时间 100 分 钟。 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需

改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.)

5 1. sin(? ? ) 的值是 6
A.

3 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

2.国务院 2009 年 4 月 6 日发布新医改意见,从今年起,中国逐步向城乡居民统一提供疾病 预防控制、妇幼保健、健康教育等基本卫生服务. 我市某医院积极响应新的医改方案,从该 院 120 名男医生,180 名女医生中,抽调部分医生成立一支医疗小分队,支援农村医疗卫生 事业,由于名额限制在 15 人,则按照分层抽样的方法所抽取的男医生人数应为 A.6 B.9 C.12 D.18 ? ? 3.若 a ? ( x,1) 与 b ? (4, x) 共线且方向相同,则实数 x 的值为 A.2 B.-2 C. ?2 D.0 4.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字 1~5 进行了标记,投掷 100 次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表: 落在桌面的数字 频数 1 32 B.0.35 2 18 3 15 4 13 5 22 D.0.78

如果他再投掷一次,则落在桌面的数字不小于 4 的概率大约是 A.0.22 C.0.65

1 1 5.已知 tan ? ? ? ,则 ? 3 cos 2 ?
A.9 B.10 C.

1 9

D.

10 9

6.下列函数的图象与右图中曲线一致的是

A. y ?| sin x | B. y ?| sin x | ? C. y ?| sin 2 x | D. y ?| sin 2 x | ? 7.程序框图如下:

1 2 1 2

如果上述程序运行的结果为 S=40,那么判断框中应填入 A. k ? 6 B. k ? 5 C. k ? 6 D. k ? 5 8.五四青年节歌咏比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统 7 计图如右,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和 8 方差分别为 9 A. 84 , 4.84 B. 84 , 1.6 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4 9.如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于 1 1 点 P( x, y) ,我们把 叫做 ? 的正割,记作 sec? ;把 y x
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

9 4 4 6 4 7 3

叫做 ? 的余割,记作 csc? . 则 sec A. ? 3 B.

2? 2? = ? csc 3 3

3

C. ?

3 3

D.

3 3

10.已知向量 a =(cos

?

? ? ? ? ? 3 3 x x x,sin x),b =( cos , sin ),函数 f ( x) ? a ? b , g ( x) ? | a ? b | , ? 2 2 2 2
B.函数 g ( x) 为奇函数 D.函数 g ( x) 的最大值为 2

则下列性质正确的是 A.函数 f ( x) 的最小正周期为 2?
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

C.函数 f ( x) 在 [0, ? ] 递减

第 II 卷(非选择题共 60 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

b 11.已知 | a |? 5 , | b |? 4 , a 与 b 的夹角为 120°,计算 a ? ?
12.已知 cos(

?

?

?

?

? ?

.

?
2

??) ?

3 ,则 cos2? ? 5

.

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13.改革开放 30 年以来,我国高等教育事业迅速发展,对我省 1990~2000 年考大学升学 百分比分城市、县镇、农村进行统计,将 1990~2000 年依次编号为 0~10,回归分析之后 得到每年考入大学的百分比 y 与年份 x 的关系为:

城市: ? ? 2.84 x ? 9.50 ; 县镇: ? ? 2.32 x ? 6.76 ;农村: ? ? 0.42 x ? 1.80 . y y y 根据以上回归直线方程,城市、县镇、农村三个组中, 快. 按同样的增长速度,可预测 2010 年,农村考入大学的百分比为 14.若动直线 x ? a 与函数 f ( x ) ? sin( ? x

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的大学入学率增长最 %.

?
6

) sin(? ? x


?
6

和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 )

???? ? M , N 两点,则 MN 的最大值为

三、解答题(本大题共 5 小题,共 44 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

1 ? 15. 分)已知函数 f ( x) = 3tan( x ? ) . (9 2 3 (1)求 f ( x) 的定义域、值域; (2)讨论 f ( x) 的周期性,奇偶性和单调性.

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

? ? ? ? ? ? 16. 分)已知向量 a , b 为非零向量,且 | a ? b |?| a ? b | . (9 ? ? (1)求证: a ? b ; ? ? ? ? ? (2)若 | a |? 2, | b |? 1 ,求 a ? 2b 与 b 的夹角 ? .

17. 分)甲、乙两位同学报名参加 2010 年在广州举办的亚运会志愿者服务,两人条件相 (9 当,但名额只有一人. 两人商量采用抛骰子比大小的方法决定谁去,每人将一颗质地均匀的 正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次, 两次点数和较大的 当选志愿者. 甲先抛掷两次,第 1 次向上点数为 3,第 2 次向上点数为 4. (1)记乙第一次出现的点数为 x ,第二次出现的点数为 y ,用 ( x, y ) 表示先后抛掷两次 的结果,试写出两次向上点数和与甲相同的所有可能结果. (2)求乙抛掷两次后,向上点数和与甲相同的概率? (3)求乙抛掷两次后,能决定乙当选志愿者的概率?

18. 分)已知函数 f ( x) ? sin( (9

x) . 2 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)当 x ?[0,2] 时,函数 f ( x) 的图象与 x 轴围成草垛型平面区域,为了估算该区域的

?

面积,采用计算机随机模拟试验,先产生 0~2 之间的均匀随机数 A, 0~1 之间的均匀随 机数 B,再判断 sin( A) ? B 是否成立. 我们做 2000 次试验,得到 1273 次 sin( A) ? B ,由此 试估算该草垛型平面区域的面积(结果保留两位小数).

19. (8 分)已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (1)求 tan ? 的值; (2)定义行列式运算

a b c d

? ad ? bc ,求行列式

sin ? 1

tan ? cos ?

的值;

(3)若函数 f ( x) ?

cos( x ? ? ) ? sin ? sin( x ? ? ) cos ?

( x ?R ),

求函数 y ? 3 f (

?
2

? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 的最大值,并指出取到最大值时 x 的值.

中山市高一级 2008—2009 学年度第二学期期末统一考试

数学科试卷答案
一、选择题:DAABD BBCAD 二、填空题:11.-10; 三、解答题: 15. 解: (1)由 12.

7 ; 25

13.城市; 10.2;

14. 2.

1 ? ? 5? x ? ? ? k? , k ? Z ,解得 x ? ? 2k? , k ? Z . ……(2 分) 2 3 2 3 5? ∴ 定义域 {x | x ? ? 2k? , k ? Z } . 值域 R. ……(3 分) 3

(2)周期函数,周期 T ?

?

1 ? ? ? 5? x ? ? ? k? , k ? Z ,解得 ? ? 2k? ? x ? ? 2k ? , k ? Z 2 2 3 2 3 3 ? 5? ∴ 函数的单调递增区间为 (? ? 2k? , ……(9 分) ? 2k? ), k ? Z . 3 3
由?

?

1 2

? 2? . 非奇非偶函数.

……(6 分)

? k? ?

16. 解: (1)证明:∵ | a ? b |?| a ? b | , ∴ (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 , ……(2 分)

?

?

?

?

?

?

?

?

b 整理得, a? ? 0 ,
∴ a?b. ……(4 分) ? ? ? ? ? ?2 b b (2) (a ? 2b)? ? a? ? 2 | b | ? 0 ? 2 ? ?2 ,

? ?

?

?

……(5 分) ……(6 分)

? ? ? ? ? ? ? ? | a ? 2b |? (a ? 2b) 2 ? | a |2 ?4a ? ? 4 | b |2 ? 22 ? 4 ? 0 ? 4 ? 11 ? 2 2 . b ? ? ? (a ? 2b)? b ?2 2 ? ? ? ?? 又 cos? ? ? , ……(8 分) 2 | a ? 2b || b | 2 2 ? 1 ? ? ? ∴ a ? 2b 与 b 的夹角 ? ? 135? . ……(9 分)

17. 解: (1)乙两次向上点数和与甲相同,即乙两次向上点数和为 7,所有可能结果有: ……(2 分) (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) . (2)乙抛掷两次后,共有 6 ? 6 ? 36 种结果,而向上点数和为 7 的结果有 6 种,所以向上 6 1 点数和与甲相同的概率为 p ? ……(5 分) ? . 36 6 (3)若乙当选志愿者,则向上点数和应大于 7,所有可能结果有: (2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) , 共 15 种,所以能决定乙当选志愿者的概率为 p ? 18. 解: (1)先列表,后描点并画图 ? ? 3? 0 x π 2 2 2

15 5 ? . 36 9

……(9 分)



x y

0 0

1 1

2 0

3 -1

4 0

……(3 分) ……(5 分) (2)A 为 0~2 之间的均匀随机数, B 为 0~1 之间的均匀随机数,点 ( A, B) 所落区域为

0 ? x ? 2, 0 ? y ? 1 的矩形内,面积为 2 ?1 . 如果 sin( A) ? B ,则点 ( A, B) 即落草垛型平面区 域内. 设草垛型区域面积为 S,则 S 1273 ,解得 S ? 1.27 . ……(9 分) ? 2 ? 1 2000
19. 解: (1)∵ 角 ? 终边经过点 P(?3, 3) , ∴ tan ? ? ?
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

3 . ……(2 分) 3 3 1 (2) sin ? ? , cos ? ? ? . 2 2 sin ? tan ? 3 3 3 . ? sin ? cos ? ? tan ? ? ? ? ? 1 cos ? 4 3 12
(3) f ( x) ? cos( x ? ? )cos? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x ( x ?R ), ∴函数 y ? 3 cos(

……(4 分) ……(8 分)

?
2

? 2 x) ? 2cos 2 x

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?
∴ ymax ? 3 , 此时 x ? k? ?

?
6

) ? 1( x ?R ),
……(8 分)
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

……(7 分)

?
6

( k ? Z) .


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