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王见《数学》教案


煤矿工人安全生产培训讲课

教 案
授课教师: 单 时 位:贵州松河煤业发展有限责任公司 间:2013 年 11 月 28 日


班 级 工人培训班 2013 年 时 间 月 课 题 日 月 日-


科 目


数 学

/>任课教师

章 节





数学 培养与社会主义现代化建设要求相适应,德智体美全面发展。具

教学目的 有综合职业能力。在生产、服务、技术和管理第一线工作的高素质劳 动者和中初级专门人才。 教学重点 基本数式运算、一般方程及方程组、函数及三角函数、立体几何等。 教学难点 方程组及其不等式的运算,函数及三角函数、立体几何。 课程类型 教学用具 新课 教学方法 无 讲授

教学过程

附后

小结

第1章 1.1 1.2 1.3 数(式)的运算 解方程(组) 指数与对数的运算 1.1 数的基本知识 整式的运算 分式的运算 数的乘方和开方运算 数的基本知识
有理数 无理数 实数 数轴 倒数 相反数

方程与不等式

数(式)的运算

整数和分数统称为有理数。 无限不循环小数叫做无理数。 有理数和无理数统称为实数。 规定了原点、正方向和单位长度的直线 叫做数轴。 乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。 只有符号不同的两个数叫做互为相反 数。

绝对值

几何定义:一个数 a 的绝对值就是数轴 上表示 a 的点与原点的距离,数 a 的绝对值 记作|a|。
代数定义:

?a ? | a |? ?0 ??a ?
例1

(a ? 0) ( a ? 0) (a ? 0)

求 3.4 的绝对值

解(1)因为 3.4>0,所以|3.4|=3.4。

例2

若 a、 b 是两个已知数, 且 c=|a-b|-|b-a|, 求c 。

解 若 a>b,则 a-b>0,b-a<0。 所以 c=|a-b|-|b-a|=(a-b)-(a-b)=0 若 a<b,则 a-b<0,b-a>0。 所以 c=|a-b|-|b-a|=(b-a)-(b-a)=0 若 a=b,则 a-b=0,b-a=0。 所以 c=|a-b|-|b-a|=0 综上所述,c=0。 整式的运算
幂的运算法则 an· am=an+m (a· b)n=an· bn (a、b≠0,m、n 是整数) (am)n=am· n

am ? a m?n n a

常用乘法公式

(a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2

(a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2

(a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2
因式分解 多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积,多项式的因式分解和 整式的乘法是相反方向的变换。

x + ax + bx + ab

2

因式分解 乘 法

( x ? a)(x ? b)

分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分 式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,即(M 为不等于零的整式)

A A? M ? B B?M

A A?M ? B B?M

分式的运算

分式的加减运算是使用通分进行的;分式

的乘除运算是使用约分进行的。 分析 分式的加、 减法关键是求最小公分母, 基本方法:

①先将各分母分解因式;②将所有因式全部取出,公因式应 取次数最高的;③将取出的因式相乘,积为最小公分母。在 分式的乘除运算中, 先要将各分式的分子、 分母都因式分解, 相乘时约去分子分母的公因式,再化简。 数的乘方和开方运算
正整数指数幂

a ? a ?? a??? ? a ?????? a ? an ?? ?
n个a

(n 是正整数)

零指数幂 负整数指数幂

a 0 ? 1 (a≠0)

a ?n ?

1 an

(a≠0,n 是正整数)

平方根 立方根

若 x2=a (a≥0),则称 x 为 a 的平方根(二次方根) 若 x3=a (a≥0),则称 x 为 a 的立方根(三次方根)

例2 解
-8 的立方根为

求-8 的立方根,16 的四次方根。

3

- 8= - 2

16 的四次方根为

? 4 16

?2

1.2 解一元二次方程 解简单的二元二次方程组 解一元二次方程

解方程(组)

ax2 ? bx ? c ? 0   (a ? 0)
? b ? b 2 ? 4ac x? 2a
判别式

? ? b2 ? 4ac
当△>0 时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时,方程有两个相等的实数根; 当△<0 时,方程没有实数根。 指数的运算 对数的运算 指数的运算 有理指数幂
一般地,我们规定 m m (m n

a n= a

n

为既约分数,m、n 都是正整数)中,当 n 为偶数时,a≥0;当 n 为奇数时,a 为任意实 数。

我们把整数指数幂的概念推广到了有理指数幂。 法则 1 ap·aq=ap+q

法则 2 法则 3 例

(aq)p=aq·p (a·b)p=ap·bp 求值:

2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
1 1 1 1 3 1 ?1 3 2 3 6 2 2 3 ? 1.5 ? 12 ? 2 ? 3 ? ( ) ?12 ? 2 ? 3 ? (3 ? 2 ) ? (2 ? 3) 6 2 3 6 1 2

? 2?3 ?3 ? 2 ? 2 ?2
1 1 1 ? ? 3 3

1 2

1 3

( ?1)?

1 3

?2

2?

1 6

?3 ? 2? 2 ? 2 ?3 ?3 ?3

1 6

?

1 3

1 3

1 2

1 3

1 6

?3

1 1 1 ? ? 2 3 6

? 21 ? 31 ? 6

解 对数的运算 在代数式 ab=N 中有 a、b、N 三个量,若已知其中两 个量,就可以求出第三个量。已知 a、b 求 N 是乘方运算; 已知 b、N,求 a 是开方运算;已知 a、N,求b是什么运算 呢? 例如: (1)已知 2x=8,求 x; (2)已知 2x=5,求 x。它们都是已知底数和幂值,求指数的运算。由于 23=8, 所以(1)中的 x=3,但(2)中的 x 是多少呢?要想顺利 地解决这个问题,还需要学习新的知识:对数。 对数的定义 一般地,在式 ab=N(a>0,a≠1)中,称 b 为以 a 为 底 N 的对数。并且把 b 记为 logaN,即 logaN=b

其中 a 称为对数的底数(简称底) ,N 称为真数。 由于 a>0,所以 ab 总是正数,即零和负数没有对数。 由于 a0=1,所以 loga1=0,即 1 的对数等于 0。 由于 a1=a,所以 logaa=1,即底的对数等于 1。 例1 求下列各式的值:

解(1)log31=0 (2)log28 解(2)因为 23=8,所以 log28=3。 对数的运算法则 设 a>0,a≠1,M、N 都是正实数,则有: 法则 1 法则 2 法则 3

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
M log a ? log a M ? log a N N

loga M p ? p ? loga M
例1 解 求 log232 的值。

log2 32 ? log2 25 ? 5

1 1 7 log 2 128 ? log 2 128 ? log 2 128 ? ? 7 ? 2 2 2
常用对数 我们把以 10 为底的对数称为常用对数。通常把 log10N 简记为 lgN。 自然对数 以无理数e≈2.71828 为底的对数称为自然对数。把 logeN 简记为 lnN。 换底公式 设 a>0,a≠1, N 是正数,则

1 2

log a N ?
log a N ?

lg N lg a
ln N ln a

第2章 2.1 集合

集合

一个家庭 一篮鲜花 一次考试的科目 共同点:组成它们的事物(整体的成员)是被指定的。

集合的概念: 在数学里,我们用集合(简称集)这个概念来表示由一 些指定的事物组成的整体。集合中的每个事物称为该集合的 元素。 通常,事物 a 是集合 M 的一个元素记作 a∈M ,读作 a 属于 M;事物 a 不是集合 M 的一个元素记作 a 不属于 M。 在数学中,由数字组成的集合称为数集、由方程或不等 式的解组成的集合称为解集。 一些常用的数集都有特定的记法,如下表所示:
集 合 表 述 自然数(即非负整数)的全 体 正整数的全体 整数的全体 有理数的全体 实数的全体 正实数的全体 负实数的全体 集 合 名 称 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 负实数集 集 合 符 号 N N+ Z Q R R+ R-

M ,读作 a

集合的表示方法 列举法:通过列举集合的每个元素来表示集合的方法叫做列 举法。 {李明、张静、李俊、李虹} {数学、物理、语文、英语、机械设计、金属加工} {2、4、6、8} 描述法:用特定条件指定集合的元素,从而表示集合的

方法叫做描述法。 {x|x 是本节“导入”所举例中花束内的花} {x|x>5} 例题解析 例:用描述法表示下列集合: (1)方程 x2-1=0 的解集。 (2)大于或等于 3 的整数的全体。 解: (1)要指定这个集合的元素,条件就是 x2-1=0。 因此,这个集合可以表示为: {x|x2-1=0} (2) “大于或等于 3”可以写成 x≥3。另外,这个集合 的元素必须是整数,即 x∈Z。因此,这个集合可以表示为: {x|x≥3,x∈Z} 集合与集合的关系

通常,对于集合 A 和集合 B,如果 A 的任何一个元素都 是 B 的元素,那么两者的关系就是集合 A 包含于集合 B(或 集合 B 包含集合 A) , 集合 A 包含于集合 B 也可说成集合 A 是

集合 B 的子集。 集合与集合之间还存在相等的关系。如: {x|x2-1=0}={-1,1} {2、4、6、8}={4、2、6、8} 例 :分别写出下列各题中两个集合之间的关系: (1)A={2、4、6},B={-2、0、2、4、6、8} (2)A={2、-5}, B={x | (x+5)(x-2)=0}

解: (1)因为集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素, 而集合 B 的元素并不都是集合 A 的元素(比如 0) ,所以两者 的关系是 A

?

B。

(2)集合 B 的元素是方程(x+5)(x-2)=0 的解,应该 是-5,2。可见,集合 B 的每个元素都属于集合 A;反之, 集合 A 的每一个元素都属于集合 B。所以这两个集合的关系 是 A = B。 例:四家饭店(A、B、C、D)招聘女服务员对身高的要 求:

饭店 A B C D

1.65 米 包括 不包括 包括 不包括

1.75 米 包括 不包括 不包括 包括

设服务员身高为 x 米,根据上表,这四家饭店提出的要 求可表示为: 饭店 A: 1.65≤x≤1.75 ; 饭店 B: 1.65<x<1.75 ; 饭店 C: 1.65≤x<1.75 ; 饭店 D: 1.65<x≤1.75 。

将这四家饭店的要求推广到一般的情况。设身高的下限 为 a 米,身高的上限为 b 米(a<b) ,则这四种要求可表示 为: a≤x≤b a<x<b a≤x<b a<x≤b

上述四种不等式可以对应实数 x 的四种集合。这四种集

合都可用区间来表示,实数 a 和 b 称为相应区间的端点。我 们对这四种集合的具体规定如下:

除上面提到的四种集合外,符合不等式 x≥a,x≤b, x >a,x<b 的实数 x 的集合也可用区间表示,其表示方法与 上面四种区间类似。 需注意的是,这些区间只有一个端点, 另一端对应数轴的无穷远处。 为此,我们规定:符号“∞”表示无穷大, “+∞”表示 正无穷大, “-∞”表示负无穷大。 第三章 3.1 3.2 3.3 3.4 函数的概念及性质 反函数 指数函数 对数函数 函数

水的高度表示体积 水的上表面面积表示半径 V=15h (圆柱的体积等于底面积乘以高) h 的取值范围就是[0,10] S=π r2 r 的取值范围就是[4,7] 3.1 函数的概念及性质 一般地,设 x、y 是两个变量,当 x 在某个数集 D(即 x

的取值范围)内取任意一个确定的值,按照某个确定的对应 关系 f ,y 都有唯一的值与 x 对应,那么我们就说 x 是自变 量,y 是变量 x 的函数,数集 D 是这个函数的定义域。通常 将 y 是 x 的函数记作 y=f(x) ,x∈D 当自变量 x 在定义域中取确定的值 a 时,它所对应的函 数值记作 f (a)所有函数值组成的集合叫做函数的值域。 如果一个函数的定义域没有被特别指出,那么我们就认 为这个函数的定义域是使函数表达式有意义的所有实数构 成的集合。 例 1:设 f(x)=x2-2x+3,求 f (0)、f(3)、f (-3)、f(a)。 解 f(0)=02-2×0+3=3 f(3)=32-2×3+3=6 f(-3)=(-3)2-2×(-3)+3=18 f(a)=a2-2 a+3 表示一个函数的方法有:解析法、列表法和图像法。 解析法:用代数式来表示两个变量间的关系表示的方法 叫做解析法。 列表法:所谓列表法是指用表格来表示两个变量之间函 数关系的方法。例如,
学期 序号 成绩 1 95 2 90 3 88 4 92 5 87 6 83 7 94 8 85 9 93 10 89 11 94 12 96

上表中,学期序号和成绩是两个变量。表中列出了不同

学期序号对应的成绩。 图像法:所谓图像法是指用图像来表示两个变量之间函 数关系的方法。

从图中可看出玉米单价(即每吨玉米的价格)随着时间 的的变化而不断起伏;任意时刻都对应着唯一的玉米单价。 所以,在这里玉米单价是时间的函数。 例 :画出函数 y=6x(x∈(0,10])的图像。 解 y=6x 是一次函数,而定义域是(0,10],由此可知 图像是一条直线段。所以只要描出函数 y=6x 图像上的两个 端点,然后用直尺将这两个端点连接起来即可。 列表、描点:描出以(0,0)为坐标的点A,再描出以 (10,60)为坐标的点B。
y
x 0 0 10 60

连线:通过点A和点B画出一条直线段。这条直线段 AB 就是函数 y=6x , x∈(0,10]的图像。应特别注意的是, 由于图像中不包括点A(0,0) ,因此,点A用空心点表 示。 函数的单调性

观察 y=x2 的图像,总结函数值随自变量取值的变化规 律。 1.y 轴左侧,即在区间(-∞,0]上,自变量越大函 数值越小。

2.y 轴右侧,即区间[0,+∞)上,自变量越大函数 值越大。 一般地,在函数 f(x)定义域内某个给定区间 I 上, 任选两个自变量的取值 x1、x2 ,如果当 x2>x1 时,总有 f (x2)>f(x1) ,我们就说函数 f(x)在区间 I 上是增函

数; 如果当 x2>x1 时,总有 f(x2)<f(x1) ,我们就说 函数 f(x)在区间 I 上是减函数。 如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数或减函数,那 么我们就说函数 y=f(x)在区间 I 上具有单调性,区间 I 叫做函数 y=f(x)的单调区间。 单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是 下降的。
类 条 型 件

图像特征 图 例

(区间 I 上的)增函数 当 x2>x1 时,有 f(x2)>f(x1) 沿 x 轴正方向图像上升

(区间 I 上的)减函数 当 x2>x1 时,有 f(x2)<f(x1) 沿 x 轴正方向图像下降

例:函数 y=f(x)的定义域是[-10,10],下图是它 的图像,根据图像指出函数 y=f(x)的单调区间,以及在 每一个单调区间上函数 y=f(x)是增函数还是减函数?

解:函数 y=f(x)的单调区间有[-10,-4)、[-4, -1)、[-1,2)、[2,8)、[8,10]。 其中函数 y=f(x)在区间 [-10,-4)、[-1,2)、 [8,10]上是减函数;在区间[-4,-1)、[2,8)上是增函 数。 3.2 反函数

研究水面半径随水面面积变化的规律研究水位高随体 积变化的规律:
V=15h(h∈[0,10])

反函数

h?

V (V∈[0,150]) 15

S=πr2 (r∈[4,7])

反函数

r?

S(S∈[16π,49π]) π

图形

函数关系式

自变量 h V r S

定义域 [0,10] [0,150] [4,7] [16π ,49π ]

值域 [0,150] [0,10] [16π ,9π ] [4,7]

V=15h S=π r2

h?

V 15

r?

S π

通常,在函数 y=f(x)(x∈D)中,设它的值域为M, 根据该函数中 x、y 的关系,用 y 把 x 表示出来,得到 x =g(y)。如果 x=g(y)(y∈M)也是一个函数,那么就把函 数 x=g(y)(y∈M)叫做函数 y=f(x)(x∈D)的反函数,

记作:x=f-1(y) 一般情况下,将函数 x=f-1(y)改写成:y=f-1(x) 函数 y=f(x)与函数 y=f-1(x)互为反函数。 函数 y=f(x)的定义域是它的反函数 y=f-1(x)的值 域; 函数 y=f(x)的值域是它的反函数 y=f-1(x)的定义域。 3.3 指数函数 细胞分裂的个数 次分裂成两个细胞。 一个这样的细胞经过 x 次分裂后,得到 y 个与它本身 相同的细胞, 那么细胞个数 y 与分裂次数 x 的关系是怎样的 呢? 某种细胞的分裂规律为:一个细胞一

关于细胞分裂问题,分析如下:

初始细胞个数是 1,此时经过的分裂次数是 0,即 20=1 个; 经过第 1 次分裂后细胞的总数是 21=2 个; 经过第 2 次分裂后细胞的总数是 22=4 个; 经过第 3 次分裂后细胞的总数是 23=8 个; 经过第 4 次分裂后细胞的总数是 24=16 个; ?? 经过第 x 次分裂后细胞的总数是个 2x。 设细胞总数为 y,有 y=2x。 一般地,我们把形如 y=ax(a>0,a≠1)的函数叫做 指数函数。 由实数指数幂的运算性质可知:当 a>0 时,对于每一 个实数 x 的值,都有唯一确定的实数值 ax 与它对应。因此, 指数函数 y=ax 的定义域是实数集R。

两函数相同的性质有: 1.两个图像都在 x 轴上方,即值域都是R+。 2. 两个图像都经过点(0,1) ,可见当 x=0 时,对这 两个函数都有 y=1。 一般地,指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质 如下:
函 数 图像 性 质 (1)定义域是 R ,值域是正实数集R+

y=ax,x∈R a>1

0<a<1

(2)当 x=0 时,y=1
(3)在(-∞,+∞)内是 增函数 (3)在(-∞,+∞)内是 减函数

例 1 : 假设银行中一年定期的存款利率是 2.25%,利 息的税率是 20%。若把你的压岁钱 1000 元存入银行,存取 方式为一年期整存整取,而且办理了到期自动转存业务,那 么 x 年后到期取出, 连本带息共有多少元?由此推算 5 年后 应取出多少钱?(精确到 0.01) 解:一年后到期取出,连本带息共有 1000+1000×2.25%×(1-20%) =1000×(1+2.25%×80%)=1000×1.018 元 如果到期自动转存,两年后到期本息共有 (1000×1.018)+(1000×1.018)×2.25%×(1-20%) =1000×1.018×(1+2.25%×80%)=1000×1.0182 元 依此类推,x 年后到期取出,本息的和(单位:元)用 y 表示,y 与 x 的关系是:y=1000×1.018x 将 x=5 代入上式,可得 5 年后取出,连本带息共有 1000×1.0185≈1093.30 元 3.4 对数函数 细胞分裂的次数 某种细胞的分裂规律为:一个细胞一

次分裂成 2 个。1 个细胞经第 1 次分裂成为 2 个;经过第 2 次分裂成为 4 个??那么,第几次分裂后恰好出现 16 个细 胞?第几次分裂后恰好出现 128 个细胞?

设这样的细胞经过 x 次分裂后,得到的细胞个数是 y。 以分裂次数 x 为自变量就可以得到指数函数:y=2x。 显然,只要求出这个函数的反函数,上面的问题就可以 解决了。 根据对数的定义,指数函数式 y=2x 可以写成对数的形 式:x=log2y。 显然,给定一个 y 值,由上式可以得到唯一的 x 值,因 此, x=log2y 表示的是指数函数 y=2x 的反函数。 按照习惯, 我们用 x 表示自变量,用 y 表示函数,这个函数就应写成: y=log2x。 一般地,函数 y=logax(a>0,a≠1)与指数函数 y=ax 互为反函数。因为 y=ax 的值域是(0,+∞) ,所以函数 y =logax 的定义域是(0,+∞) ;y=ax 的定义域是 R,所以 函数 y=logax 的值域是 R 。我们把函数 y=logax(a>0, a≠1)叫做对数函数。

y=log2x 的图像特征: 1.图像经过点(1,0) ; 2.图像在 y 轴右侧; 3.图像沿 x 增大的方向是上升的,即在区间(0,+∞) 上是增函数。

函 数 图像 性 质

y=logax,x>0 a>1

0<a<1

(1)定义域是R+ ,值域是 R

(2)当 x=1 时,y=0
在(0,+∞)内是增函数 在(0,+∞)内是减函数

例 1 :指出下列对数函数在区间(0,+∞)内是增函数还是 减函数? (1)y=log3x (2)y=log10x

解增函数。 (2)因为 a=10>1,所以 y 在区间(0,+∞)内是增 函数。 例 2 : 比较两个实数的大小:log34 与 log35 解: 对数函数 y=log3x 是增函数。 因为 4<5, 所以 log34 <log35。

(1)因为 a=3>1,所以 y 在区间(0,+∞)内是
例 3 : 假设银行中现行一年定期的存款利率是 2.25%,利 息的税率是 20%。 若把你的压岁钱 1000 元人民币存入银行, 存取方式为一年期整存整取,而且办理了到期自动转存业 务, 当这笔钱连本带息超过 1200 元时, 至少经过了多少年? 解由上一节的例题可知,存款年数 x 与本息的和 y 成指数函 数关系,即 y=1000×1.018x。 若我们以本息的和为自变量 x,以存款年数为 y,则两 者的关系为:y=log1.018(x/1000) 将 x=1200 代入上式,可得 y≈10.22。 因为在整存整取的方式下,只有到期才能付当年利息, 所以至少 11 年后取出,连本带息才能超过 1200 元。


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